全概率分析和总结.docx

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1、第三节条件概率、全概率公式1.条件概率的定义定义1.5 设A, B为两个事件，目P (B) 0,那么称P (AB) /P (B)为事件B已发生 的条件下事件A发生的条件概率，记为P (AB),即P (A | B )= RAB)P(B)易验证，P (A | B )符合概率定义的三条公理，即：1对于任一事件A,有PR | BH);2 pg | b)=i；3P( A|B) P(AB), i ilil其中A, A, A,为两两互不相容事件. 12n这说明条件概率符合定义L3中概率应满足的三个条件，故对概率已证明的结果都适用 于条件概率.例如，对于任意事件A , A,有I 2P (A UA|B) =P

2、(A |B) +P (A B) -P (A A |B)1212I 2又如，对于任意事件A,有P (Ap) =1-P (A|B).例L12 某电子元件厂有职工180人，男职工有100人，女职工有80人，男女职工中非 熟练工人分别有20人与5人现从该厂中任选一名职工，求： (1)该 职工为非熟练 工人的概率是多少？(2)假设被选出的是女职工，她是非熟练工人的概率又是多少？解 题(1)的求解我们已很熟悉，设A表示“任选一名职工为非熟练工人”的事件， 那么P (A) =25/180=5/36而题(2)的条件有所不同，它增加了一个附加的条件，被选出的是女职工，记“选 出女职工”为事件B,那么题(2)就是

3、要求出“在B事件发生的条件下A事件发生的概率”, 这就要用到条件概率公式，有P (A | B) WB)P(B)/=(5/180)/(80/180)= 1/16此题也可考虑用缩小样本空间的方法来做，既然选出的是女职工，那么男职工就可排 除在考虑范围之外，因此“B已发生条件下的事件A ”就相当于在全部女职工中任选一人，并选 出了非熟练工人.从而。样本席总数不是原样本空间。的180人，而是全体女职工人数 80人，而上述事件中包含的样本点总数就是女职工中的非熟练工人数5人，因此所求概率 为P (A | B) =5/80=1/16例1.13 某科动物出生之后活到20岁的概率为0,活到25岁的概率为0.5

4、6求现年为20岁的动物活到25岁的概率.解设A表示“活到20岁以上”的事件，B表示“活到25岁以上”的事件，贝情P (A) =0.7PB)=0.5 阻BA.得P (B | A)=PRB)P(A) 4)0B)P(A) =0.56/0.7=0.8.例1.14 一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一 只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率解 设A表示“第一次取到正品”的事件，B表示“第二次取到正品”的事件由条 件得P (A) =(3x4)/4)=3/5 P(AB)= (3 2)/ 4)= 3/1P 故有P (B | A) =P (AB)

5、 /P (A) =(3/10)/( 3/5)= 1/2.此题也可按产品编号来做，设L 2, 3号为正品，4, 5号为次品，那么样本空间为Q=1, 2, 3, 4, 5,假设A已发生，即在1, 2, 3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共 有4只产品，其中有2只正品，故得P (B | A) =2/4=122.乘法定理由条件概率定义P (B | A)=P (AB) P (A), P (A) 0,两边同乘以P (A)可得P (AB) =P (A) P (B | A),由此可得定理(乘法定理)设P (A) 0,那么有P (AB ) =P (A) P (B | A)易知，假设P (B) 0,

6、那么有P (AB) =P (B) P (A | B)乘法定理也可推广到三个事件的情况，例如，设A, B, C为三个事件，且P (AB) 0, 那么有P (ABC ) =P (C | AB) P (AB) =P (C | AB) P (B | A) P (A)般地设n个事件为人J，P (A .A )=PA (A1 2 n事实上，由AAAi1 212)P (A | A12 AA1 2,假设P (A A .)0,那么有nA1 2)P| A ) .P (A | A(AAA .A31 2n 1). n-1P(A 尸(AA? .P (A A .A J 0 故公式右边的条件概率每一个都有意义，由条件概率定义

7、可知P (A)P I A ) P(A (A1216A P(A A ) P(A A A) =P(A )，一1 P(A ) P(AA )11 2I A ) .P| A .A )A (A A 2 n-i 31 2n 1P(AA A) n/A A 八、 n_. =P(AA .A )P(AAA )12n1 2 n 1例L15一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解 设A (日,2,3为第i次抽到合格品的事件，那么有1=10/100-9/99-90/980.0083.P(A AA P(A)P(A-|a)p(a 1 2 3213例1.16

8、设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只 与所取颜色相同的球.假设在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取 到白球的概率.解 设R (曰234标第诙取到红球的事件，R 一(i=l,2,3,4表)示第i次取到白球的事件.那么有例L17袋中有n个球，其中n-1个红球，1个白球n个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i(=12.n)人取到白球的概率.解 设A表示“第i人取到白球”(i=12.，n)的事件，显然P (A ) =l/n.1由瓦 A ,故二T 于是12 41 2= l/n.n 1P (A )=P (穴 A ) =P (A-p

9、 (A | A-) J2I 2I 21类似有P (A ) =P (A A312n 1 nn nP(A )用 A Nn12P (A ) =P (A A312n 1 nn nP(A )用 A Nn12A1=P(A)P(l0P21=l/n.1 n 2a-n 1.K A)=n 1 n n1- l=l/n2因此，第i个人(J2,.n)取到白球的概率与i无关，都是这个例题与例1.7(3实)际上是同一个概率模型.3.全概率公式和贝叶斯公式为建立两个用来计算概率的重要公式，我们先引入样本空间Q的划分的定义定义L6设。为样本空间，A1A，A为。的一组事件，假设满足lAA=,4 12.大nu2 A =Q, i1那

10、么称A, A, .，A为样本空间C的一个划分. I 2n例如：A,仄就是。的一个划分.假设A, A,，A是。的一个划分，那么，对每次试验，事件A, A,，A中必有12n12n一个且仅有一个发生.定理L2 (全概率公式)设B为样本空间Q中的任一事件，A,., A瞥的一 个划分,且P (a)oe,2,m,那么有P (B) =P ) P (B |) +PP (B) =P ) P (B |) +P)P (B |) +.+PA(A22)RB I A)= P(A)P(BA|).nnji 1称上述公式为全概率公式.全概率公式说明，在许多实际问题中事件B的概率不易直接求得，如果容易找到。的 一个划分A，A,且

11、P (A )和P (BA)为，或容易求得，那么就可以根据全概 1nii率公式求出P (B).证 P (B ) =P (BQ)=P (B (A U A U .U A )=P (BA U BA U .U BA ) 12n12n=P (BA ) +P (BA ) +.+P (BA) 12n=P(A)P(B | A )+P(A)P(B | A ) +.+P (A ) P (B | A )I122nn另一个重要公式叫做贝叶斯公式.定理13(贝叶斯(Bayes)公式)设样本空间为Q, B为Q中的事件，A , A ,，A 12为。的一个划分，且P (B) 0, P (A)0i=l,2,.n,那么有ii=12

12、,n.i=12,n.P (AI B尸二产?n P(E| a )P(A)j 1称上式为贝叶斯(Bayes公式，也称为逆概率公式.证由条件概率公式有P(AB)=P(AB) P(A)P(M)i , =12e,Pn P(B k )P(A)j j ji例1.18某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数1234概率0.10.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机取出1。件来检验，假设发现其中有次品，那么认为该批产品不 合格，求一批产品通过检验的概率.P(B I A)=l,P (A ) =0.1,oP(A尸.2,P(B I

13、 A 尸i解 以A表示一批产品中有i件次品，i-0,12334,表示通过检验，那么由题意得 iCio _22 =0.9, Cio10()P(A20.4,P(A20.4,P(B | A )=2C10一坪.=0.809,Cio100P(A 0.2,3P(B | A 尸3=0.727,Cio100P(A 0.1,4Cio =0.652.一 m .Cio100由全概率公式,P (B)P (B)P(AF(B A)=o. lx 1 +0.20.2,P(B | A 尸0.04,P(B | A 2=0.02,P(B | A 尸).05.由全概率公式得P (B) =P (A ) P (B | A ) +P (A

14、 ) P (B | A ) +P (A ) P (B | A)=0.45x0.04+0.35:0.02+0.20.05=0.035由贝叶斯公式得P (A1| B ) =(0.450.04)/0.035=0.5,14PA 21 B )=(0.3S 0.02)/0.035=0.200P(AJ B)=(0.28 0.05)/0.035=0.286由此可疝，该次品由甲车间生产的可能性最大.例L20由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反响为阳性的概率为0.95;被诊断者没有癌症，试验反响为阴性的概率为0.95现对 自 然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.

15、005,求：试验反响为阳性，该被 诊断者确有癌症的概率.解 设A表示“患有癌症：A袤1示“没有痛症；B表示“试验反响为阳性：那么由条件得P (A) =0.005,P( A )=0.995, P(B | A)=0.95,P(B | A) =0.95由此 P (B | A) =1-0.95=0.05由贝叶斯公式得, I 、P(A)P(B、)P (A B) =；=0.087.P(A)P(B,) P(A)P(Bk)这就是说，根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反响为阳性的概 率为95% ,没有患癌症的被诊断者，试验反响为阴性的概率为95% ,都叫做先验概率而 在得到试验结果反响为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率0。87叫做后3佥概率.此 项试验也说明，用它作为普查，正确性诊断只有8.7% (即1000人具有阳性反响的人中大约 只有87人确实患有癌症)，由此可看出，假设把P (B | A)和P (A | B)搞混淆就会造成误 诊的不良后果.概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式称为条件概率的三个重要公式.它们在解决某些 复杂事件的概率问题中起到十分重要的作用.