新高考一轮复习人教A版 综合突破五 第2课时 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 作业.docx

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1、课时作业知能提升1. 抛物线及一 =2%0)的焦点为凡 圆M的方程为f+y2py=0,假设直线x=4与x轴交于点R,与 抛物线交于点Q,且IQF|=%RQ.(I)求抛物线和圆M的方程；(2)过焦点厂的直线/与抛物线交于4 3两点，与圆M交于C,。两点(点A, C在y轴同侧)，求证：AC -BD 为定值.解：设。(4,州)，由|。尸|=土。|,得州+=%0,即 yo=2p,将点(4, 2)代入抛物线E的方程，得=2.所以抛物线E: x2=4y,圆”的方程为/+y22y=0.(2)证明：抛物线E: f=4y的焦点为b(0, I),由题可知直线/的斜率存在，所以设直线/的方程为丁=丘+1, A(xi

2、, yi), B(X2, J2).x2=4y,联立J得x24丘一4=0.y=bc+l9那么 A=16/2+l)0,且羽十及=4攵，xiX2=-4.由圆的方程可得圆M的圆心坐标为M(0, 1),半径为1,圆心就是抛物线E的焦点.由抛物线的定义可知|AF|=yi + l, 18fl =+ L那么 |AC| = |4F| 1 =y,山。| =出网 一 1 =”,AC |8。|=”=(丘 1 +1)(息2+1)=后工阳+攵(即+12)+1 = 4F+4F+1 = 1.即14cH。引为定值1.2. (2021届益阳市高三调研)椭圆C 5+W=l()的左、右顶点分别为人，4，上顶点为以点0(1, 0),直

3、线BD的倾斜角为135 .(1)求椭圆。的方程；(2)过。且斜率存在的动直线与椭圆。交于M, N两点，直线4与&N交于点P,求证：点P在定直线上.解：(1)由题意，kBD=- = tan 135 = 1,解得/?=1.椭圆C的方程为+y2=l.(2)证明：设P(x, y), M(xi, yi), Ng,竺)，设过。的动直线为)=%(尤一 1)(AWO),代入椭圆。的方程得, (39+1)6后尤+3人23 = 0,得 X+x2 =得 X+x2 =6也3Q+13-3 xM2 = 3F+=1那么3货=3=(小X2)(小+12),即X:示=分别由P, Al, M及P,42, N三点共线,分别由P, A

4、l, M及P,42, N三点共线,y _ y y _ y2寸无+小 xi+小 xy13 X2y3两式相除得：畀= %+3 xi+3%(3 庐一36P -八_ 3电卢丁百r+ij3Zr-3 63 Zr33+1 3炉+1II3V231c (xi 1)(%2 1)%i+小 X2y3(1+#) (q+V)3标(3Zr36A2+3A2+1)=2一小.设 4汨，yi), B(X2, 2),那么为+12 =-12Z?-Ulc-31一3修 XM2= 一3,3Z?3 + 6小标 + 942+32+/5解得x=3,即点。在定直线x=3上.3. (20212022学年山东日照高二上11月联考)双曲线C的渐近线方程为

5、壮小y=0,且过点(3,也).求双曲线C的标准方程；(2)假设点。(|, 0),过右焦点尸且与坐标轴都不垂直的直线/与。交于A, B两点,求证：ZAQF= ZBQF,解：(1)因为双曲线。的渐近线方程为xVy=0,那么设双曲线。的方程为fBVnZQWO), 又双曲线。过点(3,、，那么2=9 3X2 = 3,x2所以双曲线。的方程为%23y2=3,即大一y2=i. *(2)证明：由(1)知/(2, 0), /的斜率存在且不为0,设/的方程为丁=十一2)(攵W0), y=k (x2),2消去y得,一尸1,(1-3)x2+12x-12-3 = 0,显然 1一3合力0,贝I kAQ + kBQ= 3

6、+ X1-2 x22k(X|-2)k (%22)7k 2xiX2-2(xi+及)+6Xl%2 -2(Xl+%2)Xl%2 -2(Xl+%2)9- 4r71k 2 (一12合-3) +5XI2F+6 (13合)=3Q一123-3+/12标+工(1一33)=0,所以NAQ/=N3QE(2020全国新高考I卷)椭圆C：方=1(0)的离心率为坐,且过点A(2, 1).(1)求。的方程；(2)点M, N在。上，且AMJ_AN, ADLMN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|。|为定值.解：(1)由题设得*+*=1， crb1 1解得.2 = 6,f29 所以C的方程为此+4=1从=3.63(2)1 正明

7、：设 M(xi,)，i), Ng,2).?2假设直线A/N与x轴不垂直，设直线用N的方程为 =履+根，代入卷+=1得 X-/(l+2Zr)x2+4Z:mx+2/n2 6 = 0._ 4km 于友,无I+X2_ _ +2标，2，一6 八X1X2= l+2Zr, 由 AMA.AN 知AM AN=b,故(莺一2)(及2)+(y 1)(21) = 0,可得(F+ l)xX2(kmk2(x +%2)+(根 1)2+4=。2祖2 64 km将代入上式可得(F+1) +2/ (6一。一2)( +2攵2+，1)2+4 =。,化简得，3m2 + 8Z:m+422m 1 =0,即(2Z+3z+1)(2 攵+机1) = 0.因为A(2, 1)不在直线MN上，所以乂十加一120,故2%+3根+1=0, k丰1.于是MN的方程为 =伞一一；(攵W1).所以直线MN过点够，-).假设直线MN与x轴垂直，可得Mr, v)由AM AN=0 得(为一2)(加-2) + (y 1)(yi 1) = 0.又子+m=1,可得3才-8为+4=0,解得即=2(舍去)，xi=1.此时直线MN过点|, ).令。为AP的中点，即Q(*假设。与P不重合，那么由题设知AP是七的斜边，故|。|=%4*=平假设。与尸重合，那么|。|=；|与尸.综上，存在点戏，?，使得储。|为定值.