新高考一轮复习苏教版 双曲线 作业.docx

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1、一轮分层练案（四十八）双曲线A级基础达标1 .渐近线方程为x土y=0的双曲线的离心率是（）B. 1C巾D. 2【答案】C由题意可得,=1,e=、/1+）2=3 + 12=金.应选C.2 .一种画双曲线的工具如下图，长杆0B通过0处的钱链与固定好的短 杆0A连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A,另一端固定在点B,套上 铅笔（如下图）.作图时，使铅笔紧贴长杆0B,拉紧绳子，移动笔尖M（长杆 0B绕0转动）画出的曲线即为双曲线的一局部.假设|OA| = 10, |0B|=12,细绳 长为8,那么所得双曲线的离心率为（）B4D.yJ【答案】D 设|MB| = t,那么由题意,可得|M0| = 12t

2、, |MA| = 8-t,有|MO| |MA| =40, b0）上一点M（ 3,4）关于一条渐近线的对称点恰为右焦点 a Df2,那么该双曲线的标准方程为（）A,520_,B.205 -I2222cjD 工一JJ 525 1d.2520 1【答案】A 点M（ 3,4）与双曲线的右焦点F2（c,0）关于渐近线y=7x对称，那么 a2= -1 3c a，b、得 c = 5, =2,所以 b2 = 25 a2=4a2,所以 a2=5, b2 = 20,那么该双b c 3a2=, -z ,I a 2 22曲线的标准方程为着一会4 .离心率为勺的双曲线C：记一R=l（a0, b0）的左、右焦点分别为Fi

3、，F2, M是双曲线C的一条渐近线上的点，且0M_LMF2，0为坐标原点，假设SZOMF2=16,那么双 曲线的实轴长是（）B. 16A. 32C. 84D. 4【答案】B 由题意知F2（c,0）,不妨令点M在渐近线y=上，由题意可知|F2Ml =后不 =b,所以|OM|=4c2b2 = a.由 SZSOMF2=16,可得呼b=16,即 ab=32,又 a?+b2=c2, - =坐，所以a=8, b=4, c=4小,所以双曲线C的实轴长为16.应选B.5 .（多项选择）双曲线C过点（3,也）且渐近线为y=土坐x,那么以下结论正确的选项是（） x21 . C的方程为彳一y2=l8 . C的离心率

4、为小C.曲线y = e 21经过c的一个焦点D.直线x也y1=0与C有两个公共点【答案】AC 设双曲线C的方程为正一衣=l（a0, b0）,根据条件可知户争 所以 222方程可化为去一器=1,将点（3,也）代入得b2=l,所以22=3,所以双曲线C的方程为,一3+1 2a/39 一一1 安、7, c - /a2+b2,故B错；双曲线C的焦点为,故B错；双曲线C的焦点为看一yj 整理得2y = 1,故A对；离心率e= 1 於=故C对；联立故C对；联立（2,0）, （-2, 0）,将 x = 2 代入得 y = el=0,、x-也 y-l=02吸y + 2=0,那么A = 8 8=0,故只有一个公

5、共点，故D错.应选A、C.6.（多项选择）R, F2分别是双曲线C： y2 x2=l的上、下焦点，点P是其一条渐近线 上一点，且以线段BF2为直径的圆经过点P，贝M）A.双曲线C的渐近线方程为y = xB.以F1F2为直径的圆的方程为x? + y2=lC.点P的横坐标为1D. PFF2的面积为也【答案】ACD 等轴双曲线C: y2x2=l的渐近线方程为y=x,故A正确；由双曲 线的方程可知尸尸2| = 2吸，所以以F1F2为直径的圆的方程为x?+y2=2,故B错误；点P（x0,yo）在圆x?+y2 = 2上，不妨设点P（xo, yo）在直线y = x上，所以由彳解得|xo|=l,lyo=xo,

6、那么点P的横坐标为1,故C正确；由上述分析可得PF1F2的面积为:X2也义1=也， 故D正确.应选A、C、D.X2 0, b0）的左、右焦点分别为Fi（5,0）, F2（5,0）,22那么能使双曲线c的方程为轰一5=1的条件是（） 10 yA.双曲线的离心率为（B,双曲线过点（5, 3C.双曲线的渐近线方程为3x4y = 0D.双曲线的实轴长为4【答案】ABC 由题意可得焦点在x轴上，且c = 5, A选项，假设双曲线的离心率为左x2 v2那么a=4,所以b?=c2a?=9,此时双曲线的方程为77= 1,故A正确；B选项，假设双曲 10 y81_（9、25 16a2=16,/线过点（5,方，那

7、么一萨=1，得2=此时双曲线的方程为正一方=1,故B正.a2+b2=25,y2确；C选项，假设双曲线的渐近线方程为3x4y = 0,可设双曲线的方程为正一行=m（m0）, x? y2所以c2=16m+9m=25,解得m=l,所以此时双曲线的方程为77七=1,故C正确；D 10 y22选项，假设双曲线的实轴长为4,那么a=2,所以b?=c2 M = 21,此时双曲线的方程为手一年=I 乙I1,故D错误.应选A、B、C.8 . P是双曲线C：与一y2=l右支上一点，直线1是双曲线C的一条渐近线.P在1上 的射影为Q, Fi是双曲线C的左焦点，那么|PFi| + |PQ|的最小值为.解析：设双曲线的

8、右焦点为F2,连接PF2（图略），因为|PFi| |PF2| = 2/，所以|PFi| = 2也 + |PF2|, |PFi| + |PQ|=22 + |PF2| + |PQ|,当且仅当 Q, P, F2三点共线，且 P 在 Q, F2之间 时，IPFJ + IPQI最小，且最小值为点F2到直线1的距离.由题意可得直线1的方程为y = 土方- X,焦点F2（/，0）,点F2到直线1的距离d=l,故IPQI + IPF1I的最小值为2也+1.【答案】22+1X29 .双曲线C：彳一y2=l的左焦点为F,过F的直线1交双曲线C的左、右两支分 别于点Q, P,假设|FQ|=t|QP|,那么实数t的取

9、值范围是.解析：由条件知 F( 2,0).设 P(xo, yo), Q(xi, yi),那么 FQ =(xi + 2, yi), QP =(x0xi, y()yi),那么(xi+2, yi)=t(x()xi, y()yi),所以 xi=t；+( ,因为点 P(x(), yo),fx3yo=3,16tQ(Xb 2都在双曲线C上,所以|(tx_2)2_3(ty0)2=3(l+t)2,消去如得它丁.易知xo2 小，所以一2 小，易知t0,所以00, b0)的右焦点为F(C,O).(1)假设双曲线的一条渐近线方程为y = x且c = 2,求双曲线的方程；(2)以原点。为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线

10、在第一象限的交点为A,过A作圆 的切线，斜率为一小，求双曲线的离心率.解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y = Lx,a所以a=b,所以 c2 = a2+b2 = 2a2=4,所以 a2=b2=2,22所以双曲线方程为牛一f = 1.(2)设点A的坐标为(xo, yo),所以直线AO的斜率满足巴一g)= -1, X。所以xo=3yo,依题意，圆的方程为x2+y2=c2,所以点A的坐标为将代入圆的方程得3yW+yW=c2,即丫0=上,所以Xo=3 2 1 2a。/代入双曲线方程得今一铲=1,即(b2c22c2 = a2b2, (2)又因为a2 + b2=c2,所以将b2=c2a2代入式，整理得3

11、4c42a2c2 + a4=0,所以 3()8()2+4=0,所以(3622)(。22) = 0,因为el,所以e=也， 所以双曲线的离心率为B级综合应用 2211 .双曲线C： 2-2=l(a0, b0),假设存在过右焦点F的直线与双曲线交于A,B两点，且探 =3吊那么双曲线离心率的最小值为()A巾B.小C. 2D. 22【答案】C 因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A, B两点，且病=3吊?，故直 线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A在左支，点B在右支，设A(xi, yi), B(x2, y2),右焦点 F(c,O),因为 AF=3BF,所以 c xi = 3(c X2),即 3x2x

12、i=2c,因为 xi3a,故3x2xi4a,即2c24a, -22,即e22.所以双曲线离心率 a的最小值为2.12.我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“优美曲线”. B, F2是一对“优美曲线”的焦点，M是它们在第一象限的交点，当NBMF2=即寸，这一 对“优美曲线”中双曲线的离心率是()A. 2B.平C 巾D.y3【答案】D 设 FM = m, F2M = n(mn0), FiF2=2c,由余弦定理(2c)2 = m2 + n2 2mncos 60,即4c2 = m2+n2mn，设ai是椭圆的长半轴长，2为双曲线的实半轴长，由椭圆以 及双曲线的定义，可得m + n = 2

13、ai, m n = 2a2, Am = ai+a2, n = aia2,代入式，可得 3a4c2+ai=0,又?乎=1,即 c2=aia2,可得 3a乡一4廊+彳=0,解得 ai = 3a2, e-e2=- ai a2ai a2=1()2=1,解得 e2=，.应选 D. 2213.(多项选择)点P是双曲线E：器一5=1的右支上一点，Fi，F2为双曲线E的左、右焦点，APFE的面积为20,那么以下说法正确的有()2()A.点P的横坐标为年B. ZXPFF2的周长为丁NF1PF2小于方3PF1F2的内切圆半径为5X V解析：选ABCD 双曲线E: 7?%=1的a=4, b=3, c = 5,不妨设

14、10 yP(m, n), m0, n0,由PF1F2 的面积为 20,可得:|FiF2|n=cn = 5n = 20,即n=4,由哈一竽=1,可得m=当，故A正确；由P件，4),且Fi( 5,0),12 1212i535360F2(5,0),可得 kPF 产石，kPF2=y,那么 tanNRPF2= ,二年丁二乖金。小)，那么 NR PF? 5义35TT0, b0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BFJ_AF 时，|AF| = |BF|.求C的离心率;假设B在第一象限，证明：NBFA = 2NBAF.解：(1)设双曲线的离心率为e,焦距为2c,22在点一加 1中，当BFJ_AF时，点

15、B的横坐标为c,那么B点的纵坐标为y=, a因 |AF| = |BF|,b2所以 a+c=,即 a2+ac = b2,a2+ac = c2a2,所以 e? e2=0,又 el,解得 e=2.(2)由(1)知 2a=c, b2 = 3a2,22所以双曲线方程可化为今一券=.如图,设 B(x, y)(x0, y0), 贝J kAB=/ kBF = U?设 NBAF=0,那么tan 0=我，2tan2(x + a)y(x+a)2-3a2(j2-l)2tan。x+a2(x + a)y1 tan20y Y(x+a)2y2L(x+aJkBF=tanZBFA,2(x + a)y _ 丫 _ 丫2x2 + 2

16、ax+4a2 2ax c x又因为 0W2NBAFV 兀，OWNBFAV 兀，所以 NBFA = 2NBAF.C级迁移创新16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线h： y=x与直线b： y=一x之间的阴影部 分记为W,区域W中动点P(x, y)到h，b的距离之积为1.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)动直线1穿过区域W,分别交直线h，b于A, B两点，假设直线1与轨迹C有且只有 一个公共点，求证：40AB的面积恒为定值.解：由9中=1. 2 弋2|(x+y)(xy)|=2.因为点P在区域W内,所以 x + y 与 x y 同号，所以|(x + y)(x y)| = x? y2 = 2,22即

17、点P的轨迹C的方程为，一，=L(2)1殳直线1与x轴相交于点D,当直线1的斜率不存在时，|OD|=M |AB| = 2也，得Sab=|ABH0D| = 2;当直线1的斜率存在时，设其方程为y=kx+m,显然kWO,那么D(一最，0),消去y,整理得*2l)x2+2kmxy = kx + m, 把直线1的方程与轨迹C的方程联立得、.x2-y2=2,+ m2 + 2=0,由直线1与轨迹C有且只有一个公共点知A=4k2m24(k2 l)(m2+2)=0,得 m2 = 2(k21)0,即 kl 或 kv1.得力=曙，同理，得丫2=弟y = kx + m, 设 A(xi, yi), B(x2, y2),由：ly=x,所以 SAOAB=|OD|yi y2|m m1k 1+km m1k 1+k1 k2=2.综上，AOAB的面积恒为定值2.