二次根式(14页).doc

《二次根式(14页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次根式(14页).doc（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-二次根式第课时使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.【难点】会求二次根式中字母的取值范围.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】复习平方根和立方根的有关知识.导入一:唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小

2、的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?要解决这个问题,我们得从二次根式说起.设计意图将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.导入二:1.教师出示复习题:(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.(2)5的平方根是;5的算术平方根是.学生口答:(1)4的平方根是2;0的平方根是0;-16没有平方根.(2)5的平方根是;5的算术平方根是.2.教师出示教材第2页“思考”题:用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:(1)面积为3的正

3、方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为.学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3).设计意图以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.1.二次根式的概念思路一过渡语(针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,分别表示什么意义?它们有什么共同特征?教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式

4、子表示的非负数)的算术平方根.讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:一般地,我们把形如(a0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a0”?教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.设计意图让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.思路二像,这样的式子有什么共同特点呢?学生观察,交流发现:

5、一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.教师进一步明确:形如(a0)的式子叫做二次根式.引导学生说一说对二次根式的认识:(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a0,0.设计意图加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.2.例题讲解过渡语二次根式的定义怎样理解?让我们一起来学习几个例题.下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.,(x3),(y-1),(xy0).引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次

6、根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.解:,(x3),(xy0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.解题策略当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.【变式训练】下列各式中,一定是二次根式的是()A.B.C.D.(其中a0)解析的被开方数-9D.x解析:是二次根式,因此2x-10,在分母上,因此0.则解得x.故选C.3.当x=时,二次根式有最小值,其最小值是.解析

7、:二次根式有意义,x+30,即x+3的最小值是0,x+3=0,解得x=-3.答案:-304.求下列各式中字母a的取值范围:(1);(2);(3);(4).解:(1)由a+10,得a-1.字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.(2)由0,得1-2a0,即a0,所以字母a的取值范围是全体实数.第1课时1.二次根式的概念2.例题讲解例1例2教材作业【必做题】教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.【选做题】教材第5页习题16.1第7题.我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同

8、时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.第课时1.理解()2=a(a0)和=a(a0),并利用它们进行计算和化简.2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a0)和探究=a(a0),会用这个结论解决具体问题.3.了解代数式的概念.在明确()2=a(a0)和=a(a0)的算理的过程中,感受数学的实用性.通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解

9、决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】自学教材第34页的内容.导入一:教师出示问题:先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.设计意图以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.导入二:1.什么叫二次根式?2

10、.当a0时,叫什么?当a0时,有意义吗?学生口答,老师点评.通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.设计意图复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.思路一1.二次根式的性质1:()2=a(a0)过渡语我们先来探究性质1:()2=a(a0).提问:你能解释下列式子的含义吗?()2,()2,()2.学生口述,教师根据情况评价.()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.()2=;()2=;=;()2=

11、.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.教师引导学生说出每一个式子的含义.是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2.是的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a0).(教材例2)计算:(1)()2;(2)(2)2.学生独立完

12、成,两名学生板演,再集体订正.解析(1)直接运用()2=a(a0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22()2=45=20.解题策略把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.【变式训练】计算:(-2)2.解析把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a0)化简.解:(-2)2=(-2)2()2=43=12.知识拓展形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.设计意图让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题

13、和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.2.二次根式的性质2:=a(a0)过渡语我们再来探究一下性质2:=a(a0).提问:你能解释下列式子的含义吗?教师引导学生说出每一个式子的含义.表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.4=22,=2,因此=2;0.01=0.12,=0.1,因此=0.1;=,=,因此=;0=02,=0,因此=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导

14、学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a0).(教材例3)化简:(1);(2).引导学生根据=a(a0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.学生独立完成,集体订正.解:(1)=4.(2)=5.知识拓展(1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a0).小组讨论:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析

15、,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=设计意图让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.思路二请同学们阅读和自学课本第34页的内容,并思考下面的问题:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=.(2)猜想当a0时,()2=.2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.通过观察,你得到的结论是什么?试着说一说.(2)发现:当a0时,=,当a0时,=.学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.1.(1

16、)根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以=.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a0).2.先计算=2;=2;=3;=3;.可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a0时,=a,当a0时,=-a.归纳并板书:二次根式的性质:1.()2=a(a0);2.=a(a0).提问:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:()2表示a

17、的算术平方根的平方,()2=a(a0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=设计意图在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.3.代数式提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,-x3,(a0),这些式子有哪些共同特征?学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.设计意图学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.4.例题讲解(补充)计算:(-5)2,

18、-.解析利用()2=a(a0)和=a(a0)化简,注意被开方数的符号.解:(-5)2=(-5)2()2=252=50.(补充)比较2与3的大小.解析直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.解:(2)2=22()2=44,(3)2=32()2=45,又440,30,23.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项()2=a(a0)任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身被开方数a是非负数=|a|=任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值底数a可以是任何实数代数式用运算符号把数和表示数

19、的字母连接起来的式子叫代数式式子中不能出现“=,”;单个的数字或单个的字母也是代数式1.计算的结果是()解析:=3.故选B.2.下列各式:m2-3;(a0);a-1=6;3x-50;66.其中代数式的个数是()个个个个解析:a-1=6是方程,不是代数式;3x-50是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.3.+的值是.解析:+=2+2=4.故填4.4.(1)当x时,=2-x成立;(2)计算=.解析:(1)当x-20时,=2-x,所以x2;(2)因为3,所以3-,0).学生讨论,得出:(1)先把被开方数化为20210,再利用=计算;(2)先把被开方数化为(9m)2与n乘积的形式,再

20、利用=计算.解:(1)原式=20.(2)原式=9m.教师针对练习中的错误进行纠正,引导学生归纳:两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积,即=(a0,b0).设计意图鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.知识拓展(1)当a0,b-4C.a4D.-4a0,y0,则=.解析:=xy.故填xy.5.化简:(1);(2)(a0,b0).解:(1)=69=54.(2)=3a=3a=3ab.6.计算:(1);(2)47;(3)35;(4).解:(1)=6.(2)47=47=28=252.(3)35=35=15.(4)=a.第1课时1.二次根式的乘法2

21、.积的算术平方根的性质3.例题讲解例1例2例3教材作业【必做题】教材第7页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第1题.【选做题】教材第11页习题16.2第6题.本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.学生基本掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应将被开方数进一步分解因数,以

22、便把开得尽方的因数移到根号外面,从而使计算简便.第课时1.会进行简单的二次根式的除法运算.2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.【重点】会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.【难点】二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.【

23、教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习二次根式的乘法法则.导入一:化育中学有一块直角三角形的花台,计划让九年级的同学负责花台周围的清洁卫生.已知直角边AC= m,BC=3 m,你能求出斜边AB的边长吗?在学习了下一章后,根据勾股定理得AB=.在上面的问题中,你会计算的结果吗?学习这节课后,你将很容易地解答这类问题.设计意图创设问题情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.导入二:1.请同学们回忆=(a0,b0)是如何得到的?学生回忆二次根式乘法的运算法则的推导过程,并总结学习方法.2.计算下面的式子,并请每一个同学举出一个例子.(1)=,=;(2)=,=;教师巡视

24、学生举例和计算结果是否正确.这些式子的计算涉及我们这节课要学习的二次根式的除法等相关内容,让我们一起来探究一下.1.二次根式的除法思路一计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)=,=;(2)=,=;(3)=,=.参考上面的结果,用“”“0).即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.追问:a,b的取值范围为什么不同?学生思考,交流:因为分母不能为0,所以b0.当a0,b0.设计意图运用二次根式乘法的方法探索,使学生清楚新旧知识之间的区别与联系,培养学生从特殊到一般的归纳概括能力.思路二提问:比较上面的式子,你能得到什么样的结论呢?引导学生比较计算结果,发现规律.因为=,=,所

25、以=;因为=,=,所以=.由此可以看出两个二次根式相除,把被除数的被开方数除以除数的被开方数,根指数不变.明确二次根式的除法法则:=(a0,b0).过渡语你会应用二次根式的除法法则吗?尝试练习:(教材例4)计算:(1);(2).学生利用=(a0,b0)进行计算,根据学生计算情况指点.对于(2)题,需将除法转化成乘法后,再进行化简.解:(1)=2.(2)=3.设计意图由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式的除法法则,通过尝试练习使学生先学,教师后教,初步掌握二次根式的除法运算.知识拓展(1)当被除式的被开方数能被除式中的被开方数整除时,可直接利用二次根式除法法则计算.如=2.(2)当被除式中的

26、被开方数不能被除式中的被开方数整除时,或者被除式是整数而除式是二次根式时,可以利用分数的基本性质把分母中的根号化去.如=,=.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式除以单项式的法则进行运算,即系数之商作为系数,被开方数之商作为被开方数,如mn=(mn)(),其中a0,b0且n0.2.商的算术平方根的性质思路一过渡语=(a0,b0)反过来也成立吗?(1)=,=;(2)=,=;(3)=,=.参考上面的结果,用“”“0).学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现,教师明确商的算术平方根的性质:=(a0,b0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.设计意图让学生亲自动手

27、计算,提出猜想,归纳论证,得出结论,培养学生探究能力和探究的良好习惯.思路二过渡语二次根式的乘法公式可以逆用,那么除法公式可以逆用吗?学生阅读教材第8页内容:把=(a0,b0)反过来,就得到=(a0,b0),利用它就可以将二次根式化简.尝试练习:(教材例5)化简:(1);(2).学生独立完成后,找学生口述解题过程,教师将过程写在黑板上.解:(1)=.(2)=.引导学生归纳:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即=(a0,b0).设计意图鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.知识拓展(1)当a0,b0)得,再利用分数的基本性质可以变形,则有=.追问:观察化简结果3和,它们有什么特点?自己可以再举例说明.引导学生从上面两小题化简的过程来看:(1)把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)开出来;(2)把被开方数中所含有的分母化去.进一步归纳总结:如果二次根式满足下列两个条件:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含有分母.那么这样的二