二重积分概念性质.ppt

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1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回关于二重积分概念性质现在学习的是第1页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出现在学习的是第2页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示现在学习的是第3页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回步骤如下：步骤

2、如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积现在学习的是第4页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10i

3、iniiM xyo设有一平面薄片，面上的闭区域占有Dxoy),(),yxyx处的面密度为在点（),(yx假定上连续，在D？平面薄片的质量是多少现在学习的是第5页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定义,),(上的有界函数是有界闭区域设Dyxf，个小闭区域任意分成将闭区域,21nD个小闭区域，表示第，其中iin也表示它的面积，),iii上任取一点（在每个 作乘积), 3 , 2 , 1( ,), nifiii，（ 并作和n1 ,),iiiif（二、二重积分的概念二、二重积分的概念现在学习的是第6页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 即即 Ddyxf

4、 ),(iiniif ),(lim10. . 径中的最大值如果当各小闭区域的直趋近于零时，这和式的极限存在，则称此),(yxf极限为函数二重积分， Ddyxf),(记为上的在闭区域D现在学习的是第7页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(1) 在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的.(2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体

5、的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值现在学习的是第8页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 在直角坐标系下用平行于在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域坐标轴的直线网来划分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为现在学习的是第9页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgy

6、xf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质现在学习的是第10页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有现在学习的是第11页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返

7、回返回 设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的上的最大值和最小值，最大值和最小值， 为为 D 的面积，则的面积，则性质性质 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续， 为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）现在学习的是第12页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 1 1 不不作作计计算算，估估计计 deIDyx )(22的的值值， 其其中中D是是椭椭圆圆闭

8、闭区区域域： 12222 byax )0(ab .在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区域区域 D的面积的面积 , ab现在学习的是第13页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 2 2 估估计计 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D： 20, 10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I.

9、5 . 04 . 0 I解解现在学习的是第14页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 3 3 判判断断 122)ln(yxrdxdyyx的的符符号号.当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又当又当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解现在学习的是第15页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 4 4 比较积分比较积分 Ddyx )ln(与与 Ddyx 2)ln(的大小的大小, 其中其中 D 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,

10、1), (2,0).解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D现在学习的是第16页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结现在学习的是第17页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找将二

11、重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处出它们的相同之处与不同之处.现在学习的是第18页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数平面区域上的二元函数思考题解答思考题解答

12、现在学习的是第19页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、 填空题填空题: :1 1、 当函数当函数),(yxf在闭区域在闭区域D上上_时时, ,则其在则其在D上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在 . .2 2、 二 重 积 分二 重 积 分 Ddyxf ),(的 几 何 意 义 是的 几 何 意 义 是_._.3 3、 若若),(yxf在 有 界 闭 区 域在 有 界 闭 区 域D上 可 积上 可 积 , , 且且21DDD , ,当当0),( yxf时时, , 则则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf ; ; 当当0),( yxf时时, , 则则 1

13、),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf . .练练 习习 题题现在学习的是第20页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回4 4、 Ddyx )sin(22_ , ,其中其中 是圆域是圆域 2224 yx的面积的面积 , , 16. .二、二、 利用二重积分定义证明利用二重积分定义证明: : DDdyxfkdyxkf ),(),(.(.(其中其中k为常数为常数) )三、三、 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: : 1 1、 DDdyxdyx 322)()(与与, ,其中其中D是由圆是由圆 2)1()2(22 yx所围成所围成 . . 2 2、 dyxdyxD2)ln()

14、ln(与与, ,其中其中D是矩形是矩形 闭区域闭区域: :10 , 53 yx . .现在学习的是第21页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回四、估计积分四、估计积分 DdyxI )94(22的值的值, ,其中其中D是圆是圆 形区域形区域: :422 yx . .现在学习的是第22页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、1 1、连续；、连续；2 2、以、以),(yxfz 为曲顶为曲顶, ,以以D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积 的代数和；的代数和； 3 3、,； 4 4、 . .三、三、1 1、 DDdyxdyx 32)()(； 2 2、

15、dyxdyxD2)ln()ln(. .四、四、 100)94(3622dyx. .练习题答案练习题答案现在学习的是第23页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取分割、求和、取极限极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示现在学习的是第24页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取分割、求和、取极限极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示现在学习的是第25页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 求曲顶柱体的体

16、积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示现在学习的是第26页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取分割、求和、取极限极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示现在学习的是第27页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取分割、求和、取极限极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示现在学习的是第28页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取分割、求和、取极限极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示现在学习的是第29页，共30页上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回感谢大家观看现在学习的是第30页，共30页