任意角的概念与弧度制.ppt

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1、关于任意角的概念与弧度制现在学习的是第1页，共19页任意角的三角函数之一任意角的三角函数之一角的概念的推广角的概念的推广现在学习的是第2页，共19页2.2.在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正正角角，按顺时针方向旋转形成的角叫做，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角负角。1.1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。个位置所形成的图形。 这样，钟表的指针在旋转时所形成的角总是负角。这样，钟表的指针在旋转时所形成的角总是负角。一、角的相关概念：一、角的相

2、关概念：现在学习的是第3页，共19页3.3.在图在图1.6中，一条射线的端中，一条射线的端点是点是O，它从起始位置，它从起始位置OA按按逆时针方向旋转到终止位置逆时针方向旋转到终止位置OB，形成了一个正角，记作，形成了一个正角，记作。点。点O是角的顶点，射线是角的顶点，射线OA、OB分别是分别是的的始边、终边始边、终边。 4.4.如果一条射线它从起始位置如果一条射线它从起始位置OA没有作任何旋转，终止位没有作任何旋转，终止位置置OB与起始位置与起始位置OA重合，我们称这样形成的角为重合，我们称这样形成的角为零度角零度角，又称零角，记作又称零角，记作=0 现在学习的是第4页，共19页角应包括正角

3、、负角和零角角应包括正角、负角和零角 现在学习的是第5页，共19页为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角，为此为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角，为此使使角的顶点与原点重合角的顶点与原点重合，角的始边与角的始边与x轴的正半轴重合轴的正半轴重合图图1-9中的中的30， 390，-330角，角，都是第一象限角；都是第一象限角；图图1-10中的中的300，-60角，都是第角，都是第四象限角；四象限角；585角是第三象限角。角是第三象限角。 角的终边角的终边(除端点外除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第在第几象限，我们就说这个角是第几象限角几象限角 二、象限角二、象限角终边在坐标轴

4、的角，称为象限界角，它不属于象限角终边在坐标轴的角，称为象限界角，它不属于象限角现在学习的是第6页，共19页 所有所有与角与角终边相同的角终边相同的角，连同角，连同角在内，可构成一个在内，可构成一个集合集合 S=|=+k360，kZ，即任一与角，即任一与角终边终边相同的角，都可以表示成相同的角，都可以表示成与周角的整数倍的和与周角的整数倍的和 注意以下几点注意以下几点（1）k Z ;（2） 是任意角；是任意角；（3）终边相同的角不一定是等角；但相等的角一定是终边相）终边相同的角不一定是等角；但相等的角一定是终边相同的角；同的角；（4）终边相同的角有无数个，他们相差）终边相同的角有无数个，他们相

5、差360的整数倍；的整数倍；（5）k360与与之间为之间为“+”，k360- 看作看作k360+（-）三、终边相同的角三、终边相同的角现在学习的是第7页，共19页例例1 判定下列各角是第几象限角判定下列各角是第几象限角(1) - -60； (2)585； (3) - -95012 例例3 3 在直角坐标系中，写出终边在在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合轴上的角的集合(用用0到到360的角表示的角表示) 例例2 2 设设P =P =锐角锐角 ，Q =Q =小于小于9090 的角的角 ，M M =第一象限角第一象限角 ，S = S = 小于小于9090 的正角的正角 ，则下列六，则下列六个

6、关系：个关系： P=Q P=Q P=M P=M P=S P=S P P Q Q P P M M Q Q M M中，正确的有中，正确的有 个？个？（1）四）四（3）-95012=-2360+（-23012）（2）58012=360+225，三，三 （3）=| =n180+90，nZ现在学习的是第8页，共19页例例7 7 设设 为第三象限角，求为第三象限角，求 所在象限，并画所在象限，并画图表示在该象限的什么区域内图表示在该象限的什么区域内. .2 例例6 6 若若 是第四象限角，则是第四象限角，则180180 - - 是第几象限角？是第几象限角？例例5 5 写出与写出与6060角终边相同的角的集

7、合角终边相同的角的集合S S，并把，并把S S中中适合不等式适合不等式-360-360720720的元素的元素写出来：写出来： 例例4 4 在在0 0- 360- 360间，找出下列各角终边相同的角间，找出下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角，并判断它是哪个象限的角. .（1 1）-140-140 （2 2）670670 （3 3）-850-8503636现在学习的是第9页，共19页任意角的三角函数之二任意角的三角函数之二弧度制弧度制在物理学和日常生活中在物理学和日常生活中，一个量，常常需要用，一个量，常常需要用不同的方法进行度量，不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满不同的度量方法

8、可以满足我们的不同需要。足我们的不同需要。现在学习的是第10页，共19页周角，将它分为周角，将它分为360等分，把一等分确定为等分，把一等分确定为1个个单位，即单位，即1度角。度角。 当半径不同时（如图当半径不同时（如图1-13），同），同样的圆心角所对的弧长与半径之样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数。我们称这个常数为该比是常数。我们称这个常数为该角度的角度的弧度值弧度值。 我们规定，在单位圆中长为我们规定，在单位圆中长为1的弧所对应的圆心角称为的弧所对应的圆心角称为1弧度弧度角，它的单位符号是角，它的单位符号是rad，读作，读作弧度。弧度。 现在学习的是第11页，共19页一般地，任一正角的

9、弧度数都是一个正数；任一负角的一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0。这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。度制。 【角度与弧度的互化角度与弧度的互化】 1. 360=2rad，180=rad . .radrad01745. 01801. 2 815730.57)180(1. 3 rad现在学习的是第12页，共19页例例1（1）将）将112 30化为弧度；（化为弧度；（2）将）将 弧度化为度；弧度化为度；125 例例2、把下列角化为、把下列角化为2k + （0 2

10、 ，k Z）的形式）的形式.（1） ；（；（2） ；并指出所在象限；并指出所在象限. 427631例例3、用弧度制表示第一、用弧度制表示第一第四象限的角的集合第四象限的角的集合,22232|;,2322|,222|;,222|ZkkkZkkkZkkkZkkk 75;85 二二;436427)1( 三;674631)2(现在学习的是第13页，共19页特殊角的度数与弧度数的对应表特殊角的度数与弧度数的对应表 度度0 15 30 45 60 75 90 120 135 150 弧弧度度012 6 4 3 125 2 32 43 65 度度 180 210 225 240 270 300 315 33

11、0 360 弧弧度度 67 45 34 23 35 47 611 2现在学习的是第14页，共19页设设R是圆的半径，是圆的半径，l是所对的弧长，在使用弧度制时是所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角，圆心角的弧度值通常也用的弧度值通常也用来表示，由弧度的来表示，由弧度的定义可知，角定义可知，角的弧度数的绝对值满足：的弧度数的绝对值满足： rl 即即 l=|R 弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积。的积。 角度制时弧长公式为：角度制时弧长公式为： 其中其中n表示角度数表示角度数。 180 nl 弧度制时弧长公式为：弧度制时弧长公式为：现在学习的是第

12、15页，共19页例例4 4、利用弧度制证明扇形面积公式、利用弧度制证明扇形面积公式S= lR，其，其 中中l l是扇形的弧长，是扇形的弧长，R是圆的半径。是圆的半径。 21证明：如图证明：如图1-15，因为圆心角为，因为圆心角为1的扇形的面积为的扇形的面积为 221R 而弧长为而弧长为l的扇形的圆心角的的扇形的圆心角的大小为大小为 radRl所以所以扇形的面积为扇形的面积为 221RRlS lR21 360|2RnS 角角度度制制：21|2R现在学习的是第16页，共19页几个需要注意的问题几个需要注意的问题：在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度），只在表示角的集合时，一定要使用统一单

13、位（统一制度），只能用角度制或弧度制的一种，绝对不能混用；能用角度制或弧度制的一种，绝对不能混用；用弧度制表示终边相同的角用弧度制表示终边相同的角 2k + ( k Z) 时，是时，是 的偶数倍的偶数倍，而不是，而不是 的整数倍；的整数倍；1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而小，而1 是圆的是圆的 1/360 所对的圆心角（或该弧）的大小；所对的圆心角（或该弧）的大小；不管是以不管是以“弧度弧度”还是以还是以“度度”为单位的角的大小都是一个与半为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值；径的大小无关的定值；1. 用弧度单位

14、表示角的大小时，用弧度单位表示角的大小时，“弧度弧度”两字可以省略不写两字可以省略不写，如，如sin2理解为理解为sin（2弧度）；一般弧度表示时，常写成多弧度）；一般弧度表示时，常写成多少少 的形式；的形式； 但以度为单位，不能省略；但以度为单位，不能省略；现在学习的是第17页，共19页例例5、 根据下列已知条件，解决扇形的有关问题根据下列已知条件，解决扇形的有关问题（1） 已知扇形的周长为已知扇形的周长为10cm，面积为，面积为4cm2，求扇形中心角，求扇形中心角的弧度数。的弧度数。（2） 已知一扇形的弧为已知一扇形的弧为72 ，半径为，半径为20 cm，求扇形的面，求扇形的面积。积。（3） 已知一扇形的周长为已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取，当它的半径和圆心角取什么值时，才能是扇形的面积最大？最大面积是多少？什么值时，才能是扇形的面积最大？最大面积是多少？21 80 S. 2,100102 此此时时为为时时，扇扇形形的的面面积积最最大大，cmcmr现在学习的是第18页，共19页8/21/2022感谢大家观看现在学习的是第19页，共19页