二次函数一般式的图像和性质.ppt

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1、现在学习的是第1页，共49页1 的顶点坐标是的顶点坐标是_，对称，对称轴是轴是_ 2怎样把怎样把 的图象移动，便可得到的图象移动，便可得到 的图象？的图象？ （h，k） 2ya xhk直线直线xh 23yx2325yx现在学习的是第2页，共49页3 的顶点坐标是的顶点坐标是 ，对，对称轴是称轴是 2325yx(2，5) 直线直线 x2 4在上述移动中图象的开口方向、形状、顶在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？ 有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、

2、形状有变化的：抛物线的开口方向、形状 现在学习的是第3页，共49页我们复习了将抛物线我们复习了将抛物线 向左平移向左平移2个单位个单位再向下平移再向下平移5个单位就得到个单位就得到 的图象，的图象，将将 化为一般式为化为一般式为 ，那么如何将抛物线，那么如何将抛物线 的图的图像移动，得到的像移动，得到的 图像呢？图像呢？ 新课新课23yx2325yx2325yx23127yxx23yx23127yxx 的图象怎样平移的图象怎样平移就得到就得到2yax2yaxbxc那么一般地，函数那么一般地，函数的图象呢？的图象呢？ 现在学习的是第4页，共49页1用配方法把用配方法把2yaxbxc2ya xhk

3、化为化为的形式。的形式。 的形式，求出顶点坐标和对称轴的形式，求出顶点坐标和对称轴。215322yxx2ya xhk例例1 用配方法把用配方法把化为化为215322yxx21342x解： 顶点坐标为（顶点坐标为（3，2），对称轴为），对称轴为x32169952xx21652xx21322x现在学习的是第5页，共49页答案：答案： ，顶点坐标是，顶点坐标是(1，5)，对称轴是直线对称轴是直线 x1 的形式，求出顶点坐标和对的形式，求出顶点坐标和对称轴。称轴。2247yxx2ya xhk2215yx练习练习1 用配方法把用配方法把化为化为现在学习的是第6页，共49页 的方法和我们前面学过的用配方法

4、解二次方程 “ ”类似具体演算如下：化为化为的形式。的形式。2用公式法把抛物线用公式法把抛物线2yaxbxc2ya xhk2yaxbxc2ya xhk把变形为20axbxc现在学习的是第7页，共49页2yaxbxc24,24bacbaa2bxa 所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。2yaxbxc22222bbbca xxaaaa222424bacbaxaa22424bacba xaa2bca xxaa现在学习的是第8页，共49页 的形式，求出对称轴和顶点坐标21522yxx 2ya xhk例例2 用公式法把化为21522yxx 15,1,22abc 221541144221,21124224

5、22bacbaa 21122yx 解：在中，顶点为（1，2），对称轴为直线 x1。现在学习的是第9页，共49页 的形式，并求出顶点坐标和对称轴。答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x22286yxx 2ya xhk2222yx 练习练习2 用公式法把化成现在学习的是第10页，共49页32yaxbxc图象的画法图象的画法 2yaxbxc2ya xhk步骤：1利用配方法或公式法把化为的形式。2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。现在学习的是第11页，共49页 的图像，利用函数图像回答：例例3 画出2286yxx (1)x取什么值时，y0？(

6、2)x取什么值时，y0？(3)x取什么值时，y0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？现在学习的是第12页，共49页分析：分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像现在学习的是第13页，共49页(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称，对称轴是轴是x2. (2) 当当x1时，时，y0，即图象与，即图象与x轴交于点轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容易知道，根据轴对称，很容易知道(1 ，0)的轴对称点是点的轴对称

7、点是点(3，0) 又当又当x0时，时，y6，即图象与，即图象与y轴交于点轴交于点(0，6)，根据轴对，根据轴对称，很容易知道称，很容易知道(0，6)的轴对称点是点的轴对称点是点(4，6)用光滑曲线把五个点用光滑曲线把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，6)，(4，6)连结起来，就是连结起来，就是2286 0yxx 的图象。的图象。 现在学习的是第14页，共49页解：列表xy2210063046228 6 0yxx 现在学习的是第15页，共49页（2,2）x=2（0,6）（1,0）（3,0）（4,6）2286yxx 由图像知：由图像知： 当当x1或或x3时，时， y0；(2)当当1x

8、3时，时， y0；(3)当当x1或或x3时，时， y0；(4)当当x2时，时， y有最大值有最大值2。xy现在学习的是第16页，共49页练习练习3 画出画出222yxx的图像。的图像。x10123y52125现在学习的是第17页，共49页x=1y=x22x2现在学习的是第18页，共49页 （3）开口方向：当）开口方向：当 a0时，抛物线开口向时，抛物线开口向上；当上；当 a0时，抛物线开口向下。时，抛物线开口向下。4二次函数二次函数2yaxbxc的性质：的性质：（1）顶点坐标）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线）对称轴是直线2bxa 现在学习的是第19页，共49页2bxa 24

9、-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果如果a0，当，当时，函数有最小值，时，函数有最小值，如果如果a0，当，当时，函数有最大值，时，函数有最大值，（4）最值：）最值：现在学习的是第20页，共49页2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；当时，时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。（5）增减性：）增减性：现在学习的是第21页，共49页 与与y轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线抛物线2ya

10、xbxc与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线2yaxbxc2yaxbxc 12,0 ,0 xx12,x x20axbxc抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中，其中为方程为方程的两实数根的两实数根现在学习的是第22页，共49页 与与x轴的交点情况轴的交点情况可由对应的一元二次方程可由对应的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)抛物线抛物线的根的判别式判定：的根的判别式判定： 0有两个交点有两个交点抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交； 0有一个交点有一个交点抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切； 0没有交点没有交点抛物线与抛物线与x轴相离。轴相离。现在学习的是第23页，共49

11、页例例4 已知抛物线已知抛物线247,yxkxkk取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在x轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。现在学习的是第24页，共49页 ，所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点；抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，所以200407kk4022 1kba 现在学习的是第25页，共49页 ，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上

12、。抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即 224 1744044 1kkacba 24120kk122,6kk ，整理得，解得：由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。 224 1744044 1kkacba 现在学习的是第26页，共49页所以当x2时， 。解法一（配方法）：2281yxx22277x 7y最小值2241xx224441xx例例5 当当x取何值时，二次函数取何值时，二次函数 有最大值或最有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？小值，最大值或最小值是多少？2281yxx现在学习的是第27页，共49页因为所以当x2时， 。因为

13、a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 2281yxx224 2 18842,722 244 2bacbaa 7y最小值总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；(2)用公式法解法二（公式法）：现在学习的是第28页，共49页又例例6已知函数已知函数 ，当，当x为何值时为何值时，函数值，函数值y随自变量的值的增大而减小。随自变量的值的增大而减小。211322yxx 解法一： ， 102a 抛物线开口向下， 21169922xx 21913222x 21352x 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。 211322yxx 现在学习的是第29页，共49页102a 331222b

14、a 解法二：，抛物线开口向下， 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。现在学习的是第30页，共49页例例7 已知二次函数已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，求此函数的解析式，求此函数的解析式现在学习的是第31页，共49页解：解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组 21041 322041mmmmm ，由解方程得121,22mm不合题意，舍去所求函数解析式为21111232 ,222yxx 。21122yxx 即现在学习的是第32页，共49页 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若aa0开口向上；5抛物线抛物线y

15、ax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0开口向下。现在学习的是第33页，共49页5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线2bxa 若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故若b0对称轴为y轴，若a，b同号对称轴在y轴左侧，现在学习的是第34页，共49页5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)， c0抛物线经过原点；c0与y轴交于正半轴； c0与y轴交于负半轴。现

16、在学习的是第35页，共49页例例8 已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2bxc的图象的图象，判断以下各式的值是正值还是负值，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc现在学习的是第36页，共49页分析：已知的是几何关系分析：已知的是几何关系(图形的位置、形图形的位置、形状状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用形结合的作用现在学习的是第37页，共49页解：解：(1)因为抛物线开口向下，所以因为抛物线开口向下，所以a0；判断判断a的符号的符号现在学习的是第38页，共

17、49页(2)因为对称轴在因为对称轴在y轴右侧，所以轴右侧，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判断判断b的符号的符号现在学习的是第39页，共49页(3)因为因为x0时，时，yc，即图象与，即图象与y轴交点的轴交点的坐标是坐标是(0，c)，而图中这一点在，而图中这一点在y轴正半轴轴正半轴，即，即c0；判断判断c的符号的符号现在学习的是第40页，共49页2404acba240acb240bac(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，且，且a0，所以，所以，故，故。判断判断b24ac的符号的符号现在学习的是第41页，共49页 ，且，且a0，所以，所以b2a，故，故2ab0

18、；(5)因为顶点横坐标小于因为顶点横坐标小于1，即，即12ba判断判断2ab的符号的符号现在学习的是第42页，共49页(6)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，点的时，点的纵坐标为正值，即纵坐标为正值，即a12b1c0，故，故abc0；判断判断abc的符号的符号现在学习的是第43页，共49页(7)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，点的时，点的纵坐标为负值，即纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故故abc0判断判断abc的符号的符号现在学习的是第44页，共49页最最大大？是是多多少少时时场场地地面面积积当当的的变变化化而而变变化化，随随矩矩形形一一边边长

19、长矩矩形形面面积积的的篱篱笆笆围围成成矩矩形形场场地地，用用总总长长为为例例SllSm.609现在学习的是第45页，共49页求求抛抛物物线线解解析析式式过过点点已已知知抛抛物物线线),6, 0(),0 , 3(),0 , 2(2 CBAcbxaxy一般式一般式交点式交点式顶点式顶点式1练习练习现在学习的是第46页，共49页3222013222 x)(x)(xxy.的最大值和最小值的最大值和最小值数数分别在下列范围内求函分别在下列范围内求函)(cba),(P,x)a(cbxaxy.值为值为的的则则且经过点且经过点是是的对称轴的对称轴抛物线抛物线 032032现在学习的是第47页，共49页4321

20、142303212120211000421212.D.C.B.A)(a)(ba)(ba)(ba)().,(y,x,x),x)(,x(xcbxaxy.的的个个数数为为其其中中正正确确下下列列结结论论：轴轴交交于于点点与与两两点点，且且轴轴交交于于的的图图象象与与已已知知二二次次函函数数 2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-3-2-112345121 2 xy现在学习的是第48页，共49页1 21xy轴相交于负半轴轴相交于负半轴且与且与图象经过点图象经过点的图象开口向上，的图象开口向上，二次函数二次函数y),)(,(cbxaxy.012152 _cba )(c )(b )(a )()a(其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是问：给出四个结论：问：给出四个结论：04030201 _1)4( 1)3(02)2(0)1()(是是其中正确结论的序号其中正确结论的序号问：给出四个结论：问：给出四个结论： acabaabcb现在学习的是第49页，共49页