一阶微分方程课件.ppt
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1、关于一阶微分方程关于一阶微分方程现在学习的是第1页,共88页一、可分离变量方程一、可分离变量方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解.分离变量法现在学习的是第2页,共88页例1 求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解分离变量,2xdxydy 两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为为所所求求通通解解xcey 典型例题典
2、型例题现在学习的是第3页,共88页.0)()(2通通解解求求方方程程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为解现在学习的是第4页,共88页例例 3 3 衰衰变变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tM随随时时间间t变变化化的的规规律律.解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件)0(衰衰变变系
3、系数数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代入代入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM 0衰变规律现在学习的是第5页,共88页例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为,262. 0ghSdtdVQ 流量系数孔口截面面积重力加速度现在学习的是第6页,共88页cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 设在微小的时间间隔,ttt 水面的高度由h降
4、至 ,hh ,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较(1)和(2)得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2现在学习的是第7页,共88页dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即为未知函数的微分方程.可分离变量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为现在学习的是第8页,共88页解例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间
5、内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0设鼓风机开动后 时刻 的含量为2CO)%(txt,dttt 在 内,2CO的通入量2CO的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 现在学习的是第9页,共88页2CO的通入量2CO的排出量2CO的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0
6、C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后, 车间内 的百分比降低到%.056. 02CO现在学习的是第10页,共88页二、齐次方程二、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu 作变量代换,xuy 即即代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程1.定义现在学习的是第11页,共88页,0)(时时当当 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 )(uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得得通通解解,0u 当当, 0
7、)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解现在学习的是第12页,共88页例 6 求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx,令令xyu ,则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为解现在学习的是第13页,共88页2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例 7 求解微分方程
8、解现在学习的是第14页,共88页,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 现在学习的是第15页,共88页例 8 抛物线的光学性质实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面解轴轴设设旋旋转转轴轴 ox如图),0 , 0(光光源源在在)(:xyyL xyoMTNRL为上任一点,为上任一点,设设),(yxM,yMT 斜斜率率为为为为切切线线,1,yMN 斜斜率率为为为为法法线线,NMROMN 现在学习的是第16页,共88页 yNMRyxyxyyOMN1tan11tan, 022 yy
9、xyy得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantanNMROMN 由夹角正切公式得xyoMTNRL现在学习的是第17页,共88页,令令xyu ,112uudxduxu 得得分离变量,1)1(22xdxuuudu ,令令221tu ,)1(xdxtttdt 积分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即现在学习的是第18页,共88页平方化简得,2222xCxCu 得得代代回回,xyu )2(22CxCy 抛物线轴轴的的旋旋转转抛抛物物面面方方程程为为所所求求旋旋转转轴轴为为 ox).2(222CxCzy 现在学习的是第19页,共88页可化为齐次的方程可化为齐次的方程的的微微分分方方程程形
10、形如如)(111cybxacbyaxfdxdy 为齐次方程.,01时时当当 cc,令令kYyhXx ,(其中h和k是待定的常数)dYdydXdx ,否则为非齐次方程.)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2.解法1.定义现在学习的是第20页,共88页 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一组解.)(11YbXabYaXfdXdY 得通解代回 ,kyYhxX, 0)2( 未必有解, 上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba现在学习的是第21页,共88页,11 bbaa令令),)(1cbyaxcby
11、axfdxdy 方方程程可可化化为为,byaxz 令令,则则dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb , 0 b若若可分离变量的微分方程., 0, 01 ab若若),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分离变量的微分方程.,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量.现在学习的是第22页,共88页.319的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得,令令XYu 现在学习的是第23页,共88页,11uudXduXu 分离变量法得,
12、)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代代回回,将将2, 1 yYxX得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程变为现在学习的是第24页,共88页利用变量代换求微分方程的解.)(52的的通通解解求求例例yxdxdy 解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解解得得得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为.)tan(xCxy 现在学习的是第25页,共88页)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的
13、., 0)( xQ当当例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的;非线性的.三三、一阶线性方程一阶线性方程现在学习的是第26页,共88页. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)现在学习的是第27页,共88页2. 线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxv
14、y.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:)(xuC 现在学习的是第28页,共88页常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy现在学习的是第29页,共88页代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdx
15、xPdxxP )()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解现在学习的是第30页,共88页.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解例10现在学习的是第31页,共88页例11 如图所示,平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得,32xyy 解解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 现在学习的是
16、第32页,共88页 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 现在学习的是第33页,共88页伯努利(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程.伯努利方程伯努利方程时时,当当1 , 0 n时时,当当1 , 0 n解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.现在学习的是第34页,共88页,1 nyz 令令,则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出
17、通解后,将 代入即得nyz 1,得,得两端除以两端除以ny代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn现在学习的是第35页,共88页.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解,得,得两端除以两端除以ny例 12现在学习的是第36页,共88页例13 用适当的变量代换解下列微分方程:;22. 122xxexyyy 解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezx
18、dxxxdx 所求通解为).2(222Cxeyx 现在学习的是第37页,共88页;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 现在学习的是第38页,共88页;1. 3yxdxdy 解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式,11udxdu 分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代代回回将将yxu 所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解. yxdydx 方程变形为方程变形为现在学
19、习的是第39页,共88页四、全微分方程四、全微分方程1.定义:0),(),( dyyxQdxyxP则dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu 全微分方程或恰当方程,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程现在学习的是第40页,共88页2.解法:0),(),( dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关.xQyP 通解为 yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy ;),(Cyxu 用直接凑全微分的方法.全微分方程现在学
20、习的是第41页,共88页.0)3()3(2323的的通通解解求求方方程程 dyyxydxxyx解,6xQxyyP 是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为,42344224yyxx 例14现在学习的是第42页,共88页.0324223的的通通解解求求方方程程 dyyxydxyx解,64xQyxyP 是全微分方程,将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为),1(32yxyd 例15现在学习的是第43页,共88页积分因子法积分因子法定义: 0),( yx 连
21、连续续可可微微函函数数,使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成成为为全全微微分分方方程程. .则则称称),(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子. .问题: 如何求方程的积分因子?现在学习的是第44页,共88页1.公式法:,)()(xQyP xQxQyPyP ,两两边边同同除除 xQyPyPxQ lnln求解不容易特殊地:;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y ,dxdx 现在学习的是第45页,共88页;.有有关关时时只只与与当当yb )(1lnxQyPQdxd )(xf .)()( dxxfex , 0 x ,dydy )(1lnyPxQPdyd )(
22、yg .)()( dyygey 现在学习的是第46页,共88页2.观察法:凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122现在学习的是第47页,共88页可选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx .0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( . x 例16则原方程为, 0)()3(2322 dy
23、yxxdxxyyx现在学习的是第48页,共88页, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd , 0 原方程的通解为.)(2123Cxyyx (公式法)可积组合法现在学习的是第49页,共88页.0)1(222的的通通解解 dyyxdxyxx解将方程左端重新组合,有例17 求微分方程, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为.)(322322Cyxx 现在学习的是第50页,共88页.0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy
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