不定积分的计算课件.ppt

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1、关于不定积分的计算现在学习的是第1页，共47页问题问题cos2xdx 解决方法解决方法利用复合函数求导的逆运算，设置中间利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量变量. .过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx xCx2cos2sin21 说明结果正确说明结果正确一、第一换元积分法一、第一换元积分法现在学习的是第2页，共47页( ( )( )fxx dx ,ux对于形如对于形如的积分，设的积分，设( ( )( )( )fxx dxFxC( ( )( )( )( ( )( )FxCFxxfxx ( )f ux及如果如果 ( ),f u

2、duF uC+连续，且连续，且则则该积分法可由下面的逆运算证明该积分法可由下面的逆运算证明这种积分方法也叫做这种积分方法也叫做“”。现在学习的是第3页，共47页定理定理1( ( )( )( )( ( ).fxx dxf u duFxC可导可导, 则有换元公式则有换元公式设设 f (u)具有原函数具有原函数 F (u), u = (x) 连续连续dxxg)(如何应用上述公式来求不定积分如何应用上述公式来求不定积分? ? 则使用此公式的关键在于将则使用此公式的关键在于将 ( )( )fxx dx化为化为的形式，的形式，,)(dxxg假设要求假设要求所以，第一类换元积分法也称为凑微分法所以，第一类换

3、元积分法也称为凑微分法.现在学习的是第4页，共47页例例1 求求 1.21dxx解解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则则 111112(21)21221221dxdxdxxxx112duu1ln |2uC1ln |21|.2xC想到公式想到公式duuln uC注意换回原变量注意换回原变量现在学习的是第5页，共47页例例2 求求 2sin.xx dx221sinsin22xx dxxxdx1sin2udu1cos.2uC 解：解：则则2,2uxduxdx21cos.2xC 想到公式想到公式sindu ucosuC 现在学习的是第6页，共47页 这种换元法又称为凑

4、微分法或配元法这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进一个即引进一个新变量以代替原来的变量新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练以后对于变量代换熟练以后, 可可以不写出中间变量以不写出中间变量 u. 例例1 求求 1.21dxx解法二：解法二：111(21)21221dxdxxx1ln |21|.2xC现在学习的是第7页，共47页例例3 求求 1sin.xdxx一般地一般地, 有有 1sinxdxx解解1()2().fx dxfx dxx2cos.xC 12dxdxx2 sinxdx12 sin2xdxx现在学习的是第8页，共47页例例4 求求 tan.xdxsintancosxxdxd

5、xx解解ln cos.xC cot xdx类似类似?dcotxxsinsindxxln sin xCcossinxdxx1cos ,cosdxx cossindxxdx 1sin,cosx dxx 1lnduuCu现在学习的是第9页，共47页例例5 求求 2sincos.xxdx2sincosxxdx解解31sin.3xCsin(cos )(cos ) cos ;x fx dxfx dx cos(sin )(sin ) sin .x fx dxfx dx一般地一般地, 有有 sincosdxxdx2sinsinxdx323uu duC现在学习的是第10页，共47页例例6 求求解解.cossin

6、52 xdxx xdxx52cossin24sincoscosxxxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明: :当被积函数是三角函数当被积函数是三角函数( (如正弦函数和余弦函如正弦函数和余弦函数数) )相乘时，拆开奇次项去凑微分相乘时，拆开奇次项去凑微分. .sincosdxxdx )(sincossin42xxdx现在学习的是第11页，共47页例例7 求求 3sin.xdx3sin xdx解解2(cos1) cosxdx2coscoscosxdxdx31coscos.3xx

7、C2sinsinxxdx2sincosxdx cossindxxdx 323uu duC现在学习的是第12页，共47页例例8 求求 211xxxxedxdxeee解211 ()xxdeearctan.xeC()().xxxxe f edxf ede1.xxdxee一般地一般地, 有有 xxdee dx211arctanduuuC现在学习的是第13页，共47页例例9 求求 一般地一般地, 有有 .2 lndxxx2 lndxxx解1ln ln.2xC1(ln )(ln ) ln .fx dxfx dxx1(ln )2lndxx1lndxdxx1lnduuCu现在学习的是第14页，共47页),(2

8、12xdxdx ,ln1xddxx),1(12xddxx,21xddxx,xxdedxe,cossinxdxdx第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循这何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如一些函数的微分公式，例如等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子出合适的微分因子现在学习的是第15页，共47页例例10 求求 2

9、21.dxax2222111( )dxdxxaxaa解1arctan.xCaa211( )1 ( )xdxaaa211arctanduuuC1xddxaa现在学习的是第16页，共47页例例11 求求 221(0).dxaax2221111 ( )dxdxaxaxa解21( )1 ( )xdaxaarcsin.xCa211arcsinduuuC1xddxaa现在学习的是第17页，共47页例例12 求求 .(12ln )dxxx(1 ln )dxxx解1ln 12ln.2xC1(ln )12lndxx11(2ln1)2 12lndxx1lnduuCu1lndxdxx现在学习的是第18页，共47页例

10、例13 求求 2331.xx dx2331xx dx解3322(1).3xC 1322(1)3xx dx1332(1)1xdx 1332(1)xdx132223u duuC现在学习的是第19页，共47页例例14 求求 22.dxxa22()()dxdxxaxa xa解解111()2dxa xaxa111()2dxdxaxaxa111()()2d xad xaaxaxa1(lnln)2xaxaCa1ln.2xaCaxa现在学习的是第20页，共47页例例15 求求 2sin.xdx21 cos2sin2xxdxdx解解1(cos2)2dxxdx11cos2(2 )24dxxdx11sin2.24x

11、xC11cos222dxxdx现在学习的是第21页，共47页xxtansec解解xxdsecxxdsecxxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln类似可得类似可得xxdcscCxxcotcscln例例16. 求sec d .x x现在学习的是第22页，共47页小结小结积分常用技巧积分常用技巧:(1) 分项积分分项积分:(2) 降低幂次降低幂次:(3) 统一函数统一函数: 利用三角公式利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法）凑微分法（陪元方法）(4) 巧妙换元或配元。巧妙换元或配元。等xx22cossin1; )

12、2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx利用积化和差利用积化和差; 分式分项等分式分项等;利用倍角公式利用倍角公式 , 如如现在学习的是第23页，共47页作业作业P155 1 (1)-(18)现在学习的是第24页，共47页二、第二换元积分法二、第二换元积分法 0,xtt且 f x dx设设将积分将积分 化为化为 ( )( )ftdtF tC ,ftdt 1( ),f x dxFxC+若若则则若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。现在学习的是第25页，共47页例例1 1 求求1.1dxx解解,tx令令2,xt2,dx

13、tdt11dxx21tdtt1 121tdtt 121dxdtt2ln 1.ttC则则于是于是2ln 1.xxC现在学习的是第26页，共47页例例2 2 求求解解.11dxex xet 1令令21,xet则,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 11111ln1ln1ln1tttCCt .11ln2Cxex ,1ln2 tx11ln11xxeCe现在学习的是第27页，共47页说明说明当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例3 3 求求.

14、)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 现在学习的是第28页，共47页三、三、分部积分法分部积分法由导数公式由导数公式vuvuuv )(积分得积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或或uvvuvudd 分部积分法一般用于是解决分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积两种不同类型函数乘积的不定的不定积分问题的积分问题的.现在学习的是第29页，共47页例例1. 求求.dlnxxx解解: 令令

15、,lnxu vx 则则1,dudxx221xv 原式原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21uv dxuvu vdx 分析：分析：被积函数被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积是幂函数与对数函数的乘积, 采采用分部积分用分部积分.现在学习的是第30页，共47页例例2 2 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一）令令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.vu ,解（二）解（二）令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxs

16、insin.cossinCxxx 分析：分析：被积函数被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积是幂函数与三角函数的乘积, 采采用分部积分用分部积分.uv dxuvu vdx现在学习的是第31页，共47页(1) v要容易求出要容易求出; (2)要要比比vduudv容易积出容易积出. ddudvuvvduuvxuvuv x或分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择, u v, u v一般来说，一般来说， 选取的原则是：选取的原则是：现在学习的是第32页，共47页 解题技巧：解题技巧： 分部积分法求不定积分的关键是要确分部积分法求不定积分的关键是要确定定u，

17、由计算的经验，可以得出以下顺序：，由计算的经验，可以得出以下顺序：“（反三（反三角函数）、角函数）、（对数函数）、（对数函数）、（幂函数）、（幂函数）、（指数（指数函数）、函数）、（三角函数）（三角函数）” ，当两种不同类型函数相，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为u.即即 把被积函数视为两个函数之积把被积函数视为两个函数之积 , 按按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序的顺序,前者为前者为 后者为后者为u.v现在学习的是第33页，共47页例例3. 求求.darccosxx解解: 令令,arccosxu 1 v, 则则,21

18、1xuxv 原式原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21uv dxuvu vdx现在学习的是第34页，共47页例例4 求求 arctan.xxdx解解 设设 u = arctanx, v= x, 则则 21arctanarctan()2xxdxxdx22211arctan22 1xxxdxx22111arctan1221xxdxx211 (1)arctan.22xxxC“ 反对幂指三反对幂指三”前者为前者为 后者为后者为u.vuv dxuvu vdx2211,12dudx vxx现在学习的是第35页，共47页例例5 求求 l

19、n.xdx解解 设设 u = lnx, dv = dx, 则则 1,dudx vxxln xdx于于是是“ 反对幂指三反对幂指三”前者为前者为 后者为后者为u.vuv dxuvu vdx11x nxxdxxlnxxxC现在学习的是第36页，共47页例例6 求求 2sin.xxdx22sin( cos )xxdxx dx2cos2 cosxxxxdx 2cos2sinxxxdx2cos2( sinsin)xxxxxdx 2cos2 sin2cos.xxxxxC 设设 u = x 2, , 则则 du = 2xdx, v = - -cosx, 于是于是解：解：sinvx=uv dxuvu vdx现

20、在学习的是第37页，共47页例例7 求求 sin.xexdxsinsinxxexdxxde解解sincosxxexexdxsincosxxexxdesincossin.xxxexexexdx 上式最后一项正好是所求积分上式最后一项正好是所求积分, 移到等式左边然后除以移到等式左边然后除以2, 可知可知 e x sinx 的一个原函数为的一个原函数为1(sincos ),2xexx1sin(sincos ).2xxexdxexxC于于是是uv dxuvu vdx现在学习的是第38页，共47页说明说明:分部积分题目的主要类型分部积分题目的主要类型:1) 直接分部化简积分直接分部化简积分 ;2) 分

21、部产生循环式分部产生循环式 , 由此解出积分式由此解出积分式 ;(注意注意: 两次分部选择的两次分部选择的 u , v 函数类型要一致函数类型要一致 , 解出积分后加解出积分后加 C )现在学习的是第39页，共47页不定积分计算练习题不定积分计算练习题51.d.xex12.d.12xx-13.d.lnxxx2114.sind.xxx728.tansecd.xx x()22arctan6.d.1xxx+arcsin2107.d.1xxx-25.d.23xxx-现在学习的是第40页，共47页19.12dxx+()arctan11.1xdxxx+4110.dxxx+14.arcsin d.x x12

22、.sind.xx x2ln16.d.xxx15.ln d.x x13.d.xxex-现在学习的是第41页，共47页例例1 求求.231dxx duu 1211ln2uC1ln 32.2xC解解: 令令32 ,ux则则d2d ,ux故故原式原式注意换回原变量注意换回原变量想到公式想到公式duuln uC现在学习的是第42页，共47页例例2 求求 1.21dxx解解 u = 2x + 1, du= 2dx, 则则 121dxx112duu1ln |2uC1ln |21|.2xC想到公式想到公式duuln uC现在学习的是第43页，共47页例例3 求求 2sincos.xxdx22sincossinsinxxdxxdx解解31sin.3xC例例4 求求 1sin.xdxx1sin2 sinxdxxdxx解解cos.xC 例例5 求求 ln.xdxxlnlnlnxdxxdxx解2ln2xC现在学习的是第44页，共47页例例6 求求 211xxxxedxdxeee解211 ()xxdeearctan.xeC1.xxdxee现在学习的是第45页，共47页例例7 求求 2331.xx dx12333231(1)xx dxxdx解解1332(1)(1)xdx 3322(1).3xC 现在学习的是第46页，共47页感谢大家观看现在学习的是第47页，共47页