函数单调性与曲线凹凸性的判别法.ppt

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1、关于函数单调性与曲线凹凸性的判别法现在学习的是第1页，共38页本节要点本节要点 本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸性的判别法二、曲线的凹凸性的判别法数的单调性及曲线的凹凸性数的单调性及曲线的凹凸性.现在学习的是第2页，共38页一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法 1.问题的提出问题的提出 设函数设函数 如果函数如果函数 ,f xC a bD a b f x负负, 即即 0.fx如果函数如果函数 在在 f x, a b, a bx在在 上单调增加上单调增加, 则曲线的图形是

2、一条沿则曲线的图形是一条沿 轴正向轴正向逐渐上升的曲线逐渐上升的曲线, 因而曲因而曲线上各点处的切线斜率非线上各点处的切线斜率非ab yf xxyO同样同样,现在学习的是第3页，共38页 由导数的定义及极限的保号性由导数的定义及极限的保号性,上单调减少上单调减少, 则曲线的图形是一条沿则曲线的图形是一条沿 轴正向逐下降的轴正向逐下降的x 0,fx曲线曲线, 因而曲线上各点处的切线斜率非正因而曲线上各点处的切线斜率非正, 即即由此可见由此可见, 函数的单调性与其导函数的符号有密切的关函数的单调性与其导函数的符号有密切的关系系.我们可证明我们可证明:ab yf xxyO现在学习的是第4页，共38页

3、 若可导函数若可导函数 在区间在区间 上单调增加（减少）上单调增加（减少）, f x, a b,xa b 00 .fx 反之反之, 我们有我们有定理定理 （函数单调性的判别法）（函数单调性的判别法） 若若若若 有有,xa b ,f xC a b且且 则则: ,f xD a b若若 有有,xa b 则对任意的则对任意的 有有 0,fx则则 在在 上上 ,fxa b单调增加单调增加; 0,fx则则 在在 上上 ,fxa b单调减少单调减少.现在学习的是第5页，共38页证证 仅证仅证. 则由拉格朗日中则由拉格朗日中1212,x xa bxx 212112 ,f xf xfxxxx又因又因: 故故 0

4、,fxxa b 210,f xf x由此说明函数是单调增加的由此说明函数是单调增加的.值定理值定理, 得得现在学习的是第6页，共38页例例1 判定函数判定函数exy 解解 因因e0,xy exy exy xyO 我们知道我们知道, 函数函数 是是3yx 00.y的单调性的单调性.所以所以是单调增加的是单调增加的.单调增加的单调增加的, 但但此说明一个单调增加的函数此说明一个单调增加的函数,其导函数可能有若干个零点其导函数可能有若干个零点.作为一般结论作为一般结论, 我们有我们有现在学习的是第7页，共38页定理定理 若函数若函数 在区间在区间 上可导上可导, 且在且在 f xI 0,fxI例例2

5、 设设 则则sin ,yxx1cos ,yx 02,yxk 所以所以, 函数函数 在任何一个有限区间仅有有限个驻点在任何一个有限区间仅有有限个驻点, 由由y fx f x的任何一个有限区间内的任何一个有限区间内 仅有有限个零点仅有有限个零点, 则则是单调增加的是单调增加的.上面的定理知函数是单调增加的上面的定理知函数是单调增加的.现在学习的是第8页，共38页234X24681012Ysinyxx水平切线水平切线现在学习的是第9页，共38页例例3 讨论函数讨论函数e1xyx解解 因因 所以当所以当e1.xy ,0 ,0,xy 即即y0,0,xy的单调性的单调性.是单调减少的是单调减少的; 当当增

6、加的增加的. 即函数是单调即函数是单调 可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表x fx f x,000,0现在学习的是第10页，共38页 注注 此例说明了如何去讨论函数的单调性此例说明了如何去讨论函数的单调性: 若函数点若函数点点可导点可导, 则可根据函数的则可根据函数的将函数划分成若干个单调将函数划分成若干个单调区间区间. 但若函数在某些点不可导但若函数在某些点不可导, 则此方法不再适用则此方法不再适用.现在学习的是第11页，共38页例例4 求函数求函数3225yxx解解 函数函数 的定义域为的定义域为 并且在区间并且在区间 yf x, 2133

7、31010101, 0333xfxxxxx当当 从而将定义域分成三个区间从而将定义域分成三个区间: 1,0.xfx ,0 , 0,1 , 1,.当当 因而函数单调增加因而函数单调增加;,0 ,0,xy 的单调区间的单调区间. f x内连续内连续. 的导数为的导数为现在学习的是第12页，共38页当当 因而函数单调减少因而函数单调减少;0,1 ,0,xy当当 因而函数单调增加因而函数单调增加.1,0,xy现在学习的是第13页，共38页,000,10101,3 3101, 03xfxxx 将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:x fx f x现在学习的

8、是第14页，共38页单调下降单调下降单调上升单调上升现在学习的是第15页，共38页 结合上面的两个例子结合上面的两个例子, 我们得到求函数单调区间的一我们得到求函数单调区间的一 确定函数的定义域确定函数的定义域; 求出函数的一阶导函数求出函数的一阶导函数, 并求出函数的驻点及不可并求出函数的驻点及不可 根据驻点和导数不存在的点根据驻点和导数不存在的点, 划分区间划分区间, 注意到注意到, 般方法般方法:导点导点;导函数在每一个区间内的符号不会改变导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的从而有确定的单调性单调性.现在学习的是第16页，共38页 应用应用: 证明不等式证明不等式.例例5

9、证明当证明当 时时, 有有0 x 2ln1.xxx 2ln1,f xxxx证证 令令 00.f 222111110,11xxfxxxx 所以函数所以函数 在区间在区间 中是单调增加的中是单调增加的, 因而因而 f x0,则则现在学习的是第17页，共38页当当 时时, 有有 0 x 00,f xf2ln1.xxx 注注 从这个例中可以归纳出利用单调性证明不等式的从这个例中可以归纳出利用单调性证明不等式的即即基本方法基本方法.现在学习的是第18页，共38页 问题问题 证明当证明当 时有时有:0 xx .f xg x 方法方法 构造函数构造函数 ,F xg xf x F x 验证验证 从而函数从而函

10、数 在在 00,0,F xFx F x 由此得到由此得到: 当当 时时, 有有0 xx 00,F xF x .f xg x0,x 在在 中连续中连续, 可导可导;且函数且函数给定的区间上单调增加给定的区间上单调增加;即即 现在学习的是第19页，共38页例例6 证明证明 21ln 10 .2xxxx证证 令令 2ln 1,2xF xxx所以所以 0,0,F xCD 00.F 111Fxxx 所以所以 在在 上单调增加上单调增加, 从而从而 F x0,221 10,11xxxxxx 且且现在学习的是第20页，共38页 000 .F xFx由此即得由此即得21ln 10 .2xxxx现在学习的是第2

11、1页，共38页二、曲线的凹凸性及判别法二、曲线的凹凸性及判别法xyo1x2x 122f xf x122xxf122xx yf x 考察右图中的曲线考察右图中的曲线, 注意到注意到即设点即设点 与点与点11,A xf x曲线是向下凸的曲线是向下凸的, 即任取曲线即任取曲线上两点上两点, 那么连接这两点的弦那么连接这两点的弦总位于这两点间的弧段的上方总位于这两点间的弧段的上方. 是曲线上任意两点是曲线上任意两点, 那么介于那么介于 之间之间22,B xf x12,x x122xxx的中点的中点 的函数值满足的函数值满足现在学习的是第22页，共38页122xxf 12.2f xf x由此我们引入曲线

12、凹凸性的定义由此我们引入曲线凹凸性的定义.现在学习的是第23页，共38页定义定义 设函数设函数 在区间在区间 中连续，如果对任意的中连续，如果对任意的 f xI则称曲线则称曲线 在区间在区间 内是下凸的（或称凹弧）内是下凸的（或称凹弧）. yf xI都有都有1212,x xI xx 1212,22f xf xxxfxyo1x2x122f xf x122xxf122xx yf x现在学习的是第24页，共38页xyo1x2x 122f xf x122xxf122xx yf x如果对任意的如果对任意的都有都有1212,x xI xx 1212,22f xf xxxf则称曲线则称曲线 在区间在区间 内

13、是上凸的（或称凸弧）内是上凸的（或称凸弧）. yf xI现在学习的是第25页，共38页上下凸性上下凸性, 则称点则称点 如果函数如果函数 的图形在经过点的图形在经过点 时改变了时改变了 f x00,xf x00,xf x yf xxyO00,xf x yf x的一个的一个拐点拐点.是曲线是曲线现在学习的是第26页，共38页设设 且导函数且导函数 在在 ,f xD I fx内单调增加（减少）内单调增加（减少）, 那么曲线那么曲线 在在 内是下凸内是下凸I yf xI（上凸）的（上凸）的.证证 设设 单调增加单调增加, 任取任取 ，记，记 fx1212,x xI xx120,2xxx 由微分中值定

14、理由微分中值定理 10110011,f xf xfxxxx 20220022,f xf xfxxxx现在学习的是第27页，共38页 121020012222f xf xxxxxf xff 0212114f xxxff120.2xxf xf 从而证明了曲线是下凸的从而证明了曲线是下凸的.现在学习的是第28页，共38页即有如下的即有如下的: 更进一步地更进一步地, 如果函数如果函数 在区间在区间 有二阶导数有二阶导数, 则则 f xI如果如果 则曲线则曲线 在在 内是下凸的；内是下凸的； ,0,xI fx yf xI我们可以通过二阶导函数的符号来判定曲线的凹凸性我们可以通过二阶导函数的符号来判定曲

15、线的凹凸性. 如果如果 则曲线则曲线 在在 内是上凸的内是上凸的. ,0,xI fx yf xI现在学习的是第29页，共38页例例7 对函数对函数 因因 由判别法知曲由判别法知曲 e ,xf x e0,xfx-2-1121234567 exf x 123456-2-11 lnf xx ln ,f xx线线 在定义域内是下凸的在定义域内是下凸的; 再对函数再对函数 exy 21/0,fxx 因因 知曲线知曲线 在定义域内在定义域内lnyx是上凸的是上凸的.现在学习的是第30页，共38页例例8 设函数设函数 3225,f xxx解解 当当 时时,0 x 3310110 21,39xxfxfxxx

16、x当当 时时 而当而当 时时, 二阶导数不存二阶导数不存12x 0,fx0 x 11,0 , 0,.22 求曲线的凹凸区间求曲线的凹凸区间. f x在在, 从而将函数从而将函数 的定义域划分成三个区间的定义域划分成三个区间:现在学习的是第31页，共38页 310 21,9xfxx x 将函数的二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表如下将函数的二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表如下:x fx f x1,2 121,0233 200,00现在学习的是第32页，共38页当当 1,0,2xfx 当当 1,0 ,0,2xfx 当当 0,0,xfx31, 3 22从而点从而点 是曲线的拐点是曲线的拐点, 而而

17、 不是曲线不是曲线0,0曲线如下图所示曲线如下图所示.曲线是上凸的曲线是上凸的;的拐点的拐点.曲线是下凸的曲线是下凸的;曲线是下凸的曲线是下凸的.现在学习的是第33页，共38页现在学习的是第34页，共38页图形经过下列点图形经过下列点:31, 71, 3 220,01, 35,02 Oyx现在学习的是第35页，共38页 利用曲线的凹凸性可以证明某些不等式利用曲线的凹凸性可以证明某些不等式.例例9 设设 是任意两个正数是任意两个正数, 证明不等式证明不等式, a b,ablnlnln2abaabbab1ln1,0,yxyx证证 设函数设函数ln0 ,yxx x故曲线故曲线 是下凸的，所以对是下凸的，所以对 lnyxx0,0,abab ,22f af babf现在学习的是第36页，共38页即即lnlnln,222ababaabb故不等式得证故不等式得证.现在学习的是第37页，共38页感谢大家观看8/21/2022现在学习的是第38页，共38页