函数的极大值与极小值.ppt

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1、关于函数的极大值与极小值现在学习的是第1页，共16页知识回顾：知识回顾： 一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间内可导，在某个区间内可导，则函数在该区间则函数在该区间 如果如果f f(x)0(x)0, , 如果如果f f(x)0(x)0, , 则则f(x)f(x)为为增增函数函数; ;则则f(x)f(x)为为减减函数函数. . 如果在如果在恒有恒有f f(x)=0,(x)=0,则则f(x)f(x)为常为常数函数数函数. .现在学习的是第2页，共16页f(x)f(x) 当当x=xx=x0 0时时, f, f(x(x0 0)=0,)=0,且当且当x xx x0 0与与x

2、xx x0 0时f f(x(x0 0) )异号，则函数在该点单调性发生改变异号，则函数在该点单调性发生改变. .现在学习的是第3页，共16页现在学习的是第4页，共16页 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定义，如果及其附近有定义，如果f(xf(x0 0) )的值比的值比x x0 0附近所有各点的函数值都大，我们就说附近所有各点的函数值都大，我们就说f(xf(x0 0) )是函数的一个是函数的一个极大值极大值，记作，记作y y极大值极大值=f(x=f(x0 0) )，x x0 0是极大是极大值点值点。 如果如果f(xf(x0 0) )的值比的值比

3、x x0 0附近所有各点的函数值都小，我们附近所有各点的函数值都小，我们就说就说f(xf(x0 0) )是函数的一个是函数的一个极小值极小值。记作。记作y y极小值极小值=f(x=f(x0 0) )，x x0 0是极是极小值点小值点。 极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值. . （一）、函数极值的定义（一）、函数极值的定义新新 课课现在学习的是第5页，共16页1 1、在定义中，取得极值的点称为极值点，、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点极值点是是自变量自变量(x)(x)的值，的值，极值极值指的是指的是函函数值数值(y)(y)。注意注意2 2、极值是一个、极值是一个局部局部概念

4、，极值只是某个点的概念，极值只是某个点的函数值与它函数值与它附近点附近点的函数值比较是最大或最小的函数值比较是最大或最小, ,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义域内最大着它在函数的整个的定义域内最大或最小。或最小。现在学习的是第6页，共16页3 3、函数的、函数的极值不是唯一极值不是唯一的即一个函数在某区间上或的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。定义域内极大值或极小值可以不止一个。4 4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的个函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值，如下图所示，如下图所示， 是极大值点，是极大

5、值点， 是极小值点，而是极小值点，而 1x4x41()()f xf x现在学习的是第7页，共16页（二）、极值与导数的关系（二）、极值与导数的关系XX1左侧左侧X1X1右侧右侧 增增极大植极大植f(x1) 减减)(xf )(xf0)( xf0)( xf0)( xfXX2左侧左侧X2X2右侧右侧 减减极小植极小植f(x2) 增增)(xf )(xf0)( xf0)( xf0)( xf极大值与导数之间的关系极大值与导数之间的关系极小值与导数之间的关系极小值与导数之间的关系现在学习的是第8页，共16页（三）、导数的应用（三）、导数的应用例：例：求求f f（x x）x xx x的极值的极值. .解：解：

6、列表解得令.21, 0)(, 12)(xxfxxfx)(xf )(xf21)21,(),21(0)21(f极小值时,时,2 21 1当x当x因此,因此,.4 49 9) )2 21 1f(x)有极小值f(f(x)有极小值f(现在学习的是第9页，共16页(3)(3)用函数的导数为用函数的导数为0 0的点，顺次将函的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格成表格. .检查检查f f(x)(x)在方程根左右的值的在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值符号，求出极大值和极小值. .小结：小结：求函数求函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤: :(

7、1)(1)求导数求导数f f(x);(x);(2)(2)求方程求方程f f(x)=0(x)=0的根；的根；( (x x为极值点？为极值点？) )现在学习的是第10页，共16页解：解：当当x x变化时，变化时，yy，y y的变化情况如下表的变化情况如下表例：例：求求 的极值的极值31443yxx321(44)4(2)(2)3yxxxxx令令y=0y=0，解得，解得x x1 1= =2 2，x x2 2=2=228343x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)+00+ +极大值极小值283当当x=x=2 2时，时，y y有极大值且有极大值且y y极大值极大值= =当当x=2x=2时，时，y y有

8、极小值且有极小值且y y极小值极小值= =43)(xf )(xf现在学习的是第11页，共16页现在学习的是第12页，共16页练练 习习现在学习的是第13页，共16页a=2.a=2.例例4:4:函数函数 在在 处具有极值，求处具有极值，求a a的值的值1( )sinsin33f xaxx3x分析：分析：f(x)f(x)在在 处有极值，根据一点是极值点的处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，必要条件可知， 可求出可求出a a的值的值. .()03f3x1( )( sinsin3 )coscos33fxaxxaxx解：解： ，()03f1coscos(3)010332aa现在学习的是第14页，共16页五、课堂小结五、课堂小结(3)(3)用函数的导数为用函数的导数为0 0的点，顺次将函数的定义区的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格间分成若干小开区间，并列成表格. .检查检查f f(x)(x)在在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值. .求函数求函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤: :(1)(1)求导数求导数f f(x);(x);(2)(2)求方程求方程f f(x)=0(x)=0的根；的根；(x(x为极值点？为极值点？) )现在学习的是第15页，共16页感谢大家观看8/21/2022现在学习的是第16页，共16页