几何学简介 (2).ppt

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1、关于几何学简介 (2)现在学习的是第1页，共49页欧欧几几里里德德几何学的历史简介现在学习的是第2页，共49页几何这个词最早来自于希腊语“”，由“”（土地）和“ ”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何 ”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译几何原本时，由徐光启所创。当时并未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译，另一方面由于几何原本中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、意并译。 现在学习的是第3页，共49页1607年出版的

2、几何原本中关于几何的译法在当时并未通行，同时代也存在着另一种译名形学，如狄考文、邹立文、刘永锡编译的形学备旨，在当时也有一定的影响。在1857年李善兰、伟烈亚力续译的几何原本后9卷出版后，几何之名虽然得到了一定的重视，但是直到20世纪初的时候才有了较明显的取代形学一词的趋势，如1910年形学备旨第11次印刷成都翻刊本徐树勋就将其改名为续几何。直至20世纪中期，已鲜有“形学”一次的使用出现。 现在学习的是第4页，共49页发展简史 由于人类生产和生活的需要，产生了几何学。 在原始社会里，人类在生产和生活中，积累了许多有关物体的形状、大小和相互之间的位置关系的知识。例如，古代的人们认识他们的猎物的形

3、状、大小，记住它们的居住地与打猎地之间的距离，以及打猎地在居住地的那个方位。 随着人类社会的不断发展，人们对物体的形状、大小和相互之间的位置关系的认识愈来愈丰富，逐渐地积累起较丰富的几何学知识。 现在学习的是第5页，共49页相传四千年前，埃及的尼罗河每年洪水泛滥，总是把两岸的土地淹没，水退 后，使土地的界线不分明。当时埃及的劳动人民为了重新测出被洪水淹没的土地的地界，每年总要进行土地测量，因此，积累了许多测量土地方面的知识。从而产生了几何学的初步知识。 后来，希腊人由于跟埃及人通商，从埃及学到了测量与绘画等的几何初步知识。希腊人在这些几何初步知识的基础上，逐步充实并提高成为一门完整的几何学。“

4、几何学”这个词，是来自希腊文，原来的意义是“测量土地技术”。“几何学”这个词一直沿用到今天。 现在学习的是第6页，共49页公元前338年，希腊人欧几里德，把在他以前的埃及和希腊人的几何学知识加以系统的总结和整理，写了一本书，书名叫做几何原本。1607年，我国的数学家徐光启和西方人利玛窦合作，把欧几里德的几何原本第一次介绍到我国。欧几里德的几何原本是几何学史上有深远影响的一本书。目前，我们学习的几何学课本多是以几何原本为依据编写的。 现在学习的是第7页，共49页我国对几何学的研究也有悠久的历史。在公元前一千年前，在我国的黑陶文化时期，陶器上的花纹就有菱形、正方形和圆内接正方形等许多几何图形。公元

5、前五百年，在墨翟所著的墨经里有几何图形的一些知识。在九章算术里，记载了土地面积和物体体积的计算方法。在周髀算经里，记载了直角三角形的三边之间的关系。这就是著名的“勾三股四弦五”的勾股定理，也称为“商高定理”。商高发现了直角三角形的勾股定理。祖冲之的圆周率也是著称世界的。还有我国古代数学家刘徽、王孝通等对几何学都作出了重大的贡献。 随着工农业生产和科学技术的不断发展，几何学的知识也越来越丰富，研究的方面也越来越广阔。 现在学习的是第8页，共49页几何学-历史 几何学有悠久的历史。最古老的欧氏几何基于一组公设和定义，人们在公设的基础上运用基本的逻辑推理构做出一系列的命题。可以说，几何原本是公理化系

6、统的第一个范例，对西方数学思想的发展影响深远。一千年后，笛卡儿在方法论的附录几何中，将坐标引入几 何，带来革命性进步。从此几何问题能以代数的形式来表达。实际上，几何问题的代数化在中国数学史上是显著的方法。笛卡儿的创造，是否有东方数学的影响在里面，由于东西方数 学交流史研究的欠缺，尚不得而知。 现在学习的是第9页，共49页欧几里得几何学的第五公设，由于并不自明，引起了历代数学家的关注。最终，由罗巴切夫斯基和黎曼建立起两种非欧几何。几何学的现代化则归功于克莱因、希尔伯特等人。克莱因在普吕克的影响下，应用群论的观点将几何变换视为特定不变量约束下的变换群。而希尔比特为几何奠定了真正的科学的公理化基础。

7、应该指出几何学的公理化，影响是极其深远的，它对整个数学的严密化具有极其重要的先导作用。它对数理逻辑学家的启发也是相当深刻的。 现在学习的是第10页，共49页几何学有悠久的历史。最古老的欧氏几何基于一组公设和定义，人们在公设的基础上运用基本的逻辑推理构做出一系列的命题。可以说，几何原本是公理化系统的第一个范例，对西方数学思想的发展影响深远。一千年后，笛卡儿在方法论的附录几何中，将坐标引入几何，带来革命性进步。从此几何问题能以代数的形式来表达。实际上，几何问题的代数化在中国数学史上是显著的方法。笛卡儿的创造，是否有东方数学的影响在里面，由于东西方数学交流史研究的欠缺，尚不得而知。 欧几里得几何学的

8、第五公设，由于并不自明，引起了历代数学家的关注。最终，由罗巴切夫斯基和黎曼建立起两种非欧几何。 现在学习的是第11页，共49页几何学的现代化则归功于克莱因、希尔伯特等人。克莱因在普吕克的影响下，应用群论的观点将几何变换视为特定不变量约束下的变换群。而希尔比特为几何奠定了真正的科学的公理化基础。应该指出几何学的公理化，影响是极其深远的，它对整个数学的严密化具有极其重要的先导作用。它对数理逻辑学家的启发也是相当深刻的。 现在学习的是第12页，共49页不朽的平面几何学著作几何原本是一部集前人思想和欧几里德个人创造性于一体的不朽之作。传到今天的欧几里德著作并不多，然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中

9、，看出他真实的思想底蕴。 现在学习的是第13页，共49页全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中，欧几里德都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。仅仅从这些卷帙的内容安排上，我们就不难发现，这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪欧几里德生

10、活时期前后总共400多年的数学发展历史。这其中，颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中，欧几里德对直边形和圆的论述。 现在学习的是第14页，共49页正是在这几卷中，他总结和发挥了前人的思维成果，巧妙地论证了毕达哥拉斯定理，也称“勾股定理”。即在一直角三角形中，斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。他的这一证明，从此确定了勾股定理的正确性并延续了2000多年。几何原本是一部在科学史上千古流芳的巨著。它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里德开创性的系统整理和完整阐述，使这些远古的数学思想发扬光大。它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几

11、里德几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。现在学习的是第15页，共49页照欧氏几何学的体系，所有的定理都是从一些确定的、不需证明而且为真的基本命题即公理演绎出来的。在这种演绎推理中，对定理的每个证明必须或者以公理为前提，或者以先前就已被证明了的真理为前提，最后做出结论。这一方法后来成了用以建立任何知识体系的严格方式，人们不仅把它应用于数学中，也把它应用于科学，而且也应用于神学甚至哲学和伦理学中，对后世产生了深远的影响。尽管欧几里德的几何学在差不多2000年间，被奉为严格思维的几乎无懈可击的范例，但实际上它并非总是正确的。人们发现，一些欧几里德作为不证自明的公理，却难以自

12、明，越来越遭到怀疑。现在学习的是第16页，共49页“第五平行公理”，欧几里德在几何原本一书中断言：“通过已知外一已知点，能作且仅能作一条直线与已知直线平行。 ”这个结果在普通平面当中尚能够得到经验的印证，那么在无处不在的闭合球面之中（地球就是个大曲面）这个平行公理却是不成立的。黔俄国人罗伯切夫斯基和德国人黎曼由此创立了球面几何学，即取几里得几何学。 现在学习的是第17页，共49页欧式几何学与现代科学杨振宁曾发表演说，认为现代科学没有发生在中国而是发生在西方，正是因为几何原本和周易所产生的影响。这种影响直接导致了两种思维方式、两种文化。杨振宁的讲演曾经引起力挺周易学者的强烈不满。然而同样是中华文

13、化的支持者聂文涛却认为，欧几里德所导致的直观思维导致西方学者热衷于解剖研究和物体运动轨迹研究，因此会有两部影响世界的图书问世，这就是心血运动论和天体运行论。然而，东方思维下将会更有利于对生命的尊重和理解，因此一旦与现代科技相融合则必然会引发生命科学领域的巨大发展。 总之，欧几里德所产生的影响超越了时间和空间，并将在可以预见的未来中不断发生影响。现在学习的是第18页，共49页一、平面几何的证明一般方法（一）按推证平面几何题的推理序列的方向划分 1、综合法 2、分析法 3、分析与综合法（二）按选证命题形式的不同划分 1、直接证法 2、间接证法 （1）反证法 （2)同一法（三)按证题从动静角度划分1

14、、初等变换法：通过初等变换，变换题图中某些图形 的位置，进行证题的方法。（1)平移法 （2）旋转法 （3）反射法 （4）位似法现在学习的是第19页，共49页例题：在平行四边形ABCD内取一点P,使pA BpC B 求证：PBAPDA DACBP现在学习的是第20页，共49页（四）按证题所用的主要知识划分 1、代数法：证题中所用的主要知识为代数知识的方法 （ 1）方程法 （2）三角法 （3)复数法 2、解析法：通过建立直角坐标系，设出点的坐标进行证题的方法 3、纯几何法：证题中所用的知识为演绎几何知识的方法现在学习的是第21页，共49页方法：平移变换法分析：由于AB/DC，AD/BC，故可考虑用

15、平移变换证明，平移线段有两组，其中任意一组的方向，都可作为平移方向，以平移线段AB，CD的方向为平移方向，以线段AB的长为平移距离进行平移PDACBPP/现在学习的是第22页，共49页证明：平移AB把/,11APDBP CBP CPPABPABPCBPABPCBPAPDBP CADPBCPBCPBPPADPBPPBPPPBAADPPBA /变为如图连结PP则 APD且且PP =AB，、C、P 、B四点共圆，现在学习的是第23页，共49页小结：用平移变换解证平面几何题，应首先确定平移方向和平移距离，平移方向一般应是平行线段的方向，平移距离为平行线段中某一线段的长，其次把题图中的某个三角形或线段按

16、确定的平移方向和平移距离平移，并连结对应顶点，利用平移前后的图形，找出线段与线段、角与角的新的等量关系，最后利用题设条件和所找的等量关系，给出解答现在学习的是第24页，共49页现在学习的是第25页，共49页例2、已知P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=3,PD= ,求正方形ABCD 的面积S7ABCDP现在学习的是第26页，共49页2、用旋转变换解平面几何的类型、用旋转变换解平面几何的类型在平面几何的计算题和证明题中，题设中有线段与线段，角与角相等的条件，对该类问题可考虑用旋转变换解证步骤：应首先根据题设条件，找出线段与线段，角与角的等量关系，其次把题图中的某三角形旋转，旋转应使尽可

17、能的相等线段、角叠合，并连结对应顶点，最后根据旋转前后的图形，找出线段与线段的新等量关系，并用新等量关系及已知的等量关系给出解答。现在学习的是第27页，共49页解三角形：正弦定理（R为三角形外接圆的半径）2sinsinsinabcRABC已知两角和一边，求另两边和一角。已知两边和一边的对角，求第三边和另两角。余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC已知三边，求三角。已知两边和夹角，求第三边和另两角。现在学习的是第28页，共49页ABCDPX137X解法1：现在学习的是第29页，共49页分析：由于ABCD为正方形，所以四边形ABCD的四条边，四个角

18、都分别相等。旋转（A，900），把三角形PAB变为三角形P/AD，使AB与AD叠合，连PP/。ABCDPP/现在学习的是第30页，共49页例3、在正三角形ABC外有一点P，且PA=3,PB=5,PC=7,求证三角形的边长ABCP现在学习的是第31页，共49页3、用反射法变换解平面几何的类型、用反射法变换解平面几何的类型、题设中有高线或角平分线或轴对称图形题段中有线段之和最长、最短及不等关系步骤：应首先确定反射轴，由题设确定反射轴时，一般应以高线或角平分线或轴对称图形的对称轴所在的直线为反射轴由题段确定反射轴，应注意由封闭的折线反射后为不封闭的折线，其次把提图中的某三角形或线段以确定的反射轴进行

19、反射变换，并连结对应顶点，最后根据反射前后的图形全等找出线段与线段，角与角的等量关系利用所找的等量关系和已知条件，给出解答。现在学习的是第32页，共49页例4、在三角形ABC中，ABAC,P是高线AH上的任意一点。求证：AB-ACPB-PCBCAHP现在学习的是第33页，共49页例5、已知P是正方形ABCD内的一点，且求证:三角形PAB为正三角形015PCDPDC ABCDP现在学习的是第34页，共49页二、做辅助线的一般规律二、做辅助线的一般规律1、中点、中位线、延线、平行线、中点、中位线、延线、平行线如题设中有中点、中位线、中线那么过中点作某已知边或线段的平行线，另一种是延长中线或中位线作

20、辅助线，使延长部分等于中线或中位线的长。2、直角三角形，斜边作中线、直角三角形，斜边作中线3、垂线、分角线，反转做实验、垂线、分角线，反转做实验如题设中有垂线、角平分线，可以垂线或角平分线，所在直线为轴，把题图中的某图形翻转1800这是辅助线的作法就会应运而生。现在学习的是第35页，共49页例1、以三角形ABC的AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形ADB和三角形AEC，M为BC的中点。求证：ME=MD,MD MEBCADEM现在学习的是第36页，共49页ABDAECABDAECDFEGFGABACMFGMFMGMF ACMG ABDFMEMGDFABEGACME=MDMDME分析：由于题设中有

21、直角和，所以根据直角三角形，斜边作中线。分别在和中作斜边的中线和，显然， ， 为，的中点。由于、 、 都是中点，所以根据中点、中位线，延线平行线。连结，显然，以及，所以，现在学习的是第37页，共49页4、边边若相等，旋转做试验如题设中有多边形的两边相等，可把题图中的某图形旋转，使相等的两边叠合，这是辅助线的作法就有了。5、两园若相交，连心公共弦如题设中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心弦或公共弦。6、两圆相切、离，连心公切线如题设中出现两圆相切或相离，那么辅助线往往是连心线或内外公切线。现在学习的是第38页，共49页7、切线连直径，直角与半圆、切线连直径，直角与半圆如题设中出现圆的切线，那么辅

22、助线一般是过切点的圆的直径或半径，如题设中出现圆的半径或直径，那么辅助线一般是过直径或半径端点的圆的切线，即切线与直径互为辅助线。如题设中有直角三角形，那么辅助线一般为斜边为直径作圆或半圆。如题设中有圆或半圆，那么辅助线一般在直径上找圆周角。现在学习的是第39页，共49页8、弧、弦、弦心距、弧、弦、弦心距如题设中有弧，则弧上的弦是辅助线。如题设中弦，则该弦的弦心距和弦的端点与圆心的连线是辅助线。现在学习的是第40页，共49页例2、如图所示：AB是半圆的直径，C是半圆上的一点，直线MN切半圆于C点，AM MN于M点，BN MN于N点，CD AB于点D点。求证： CD=CM=CN CD2=AMBN

23、MABDCN现在学习的是第41页，共49页MABDCN2ABACBCACBCMADNBDCD=CM=CNCD =AMBN分析是半圆的直径，所以根据直角与半圆，连、通过证明、分别是、的平分线，所以再利用射影定理2ABCABEOCDBECD分析二：因为是半圆的直径，是切点，所以根据切线连直径直角与半圆。连结BE，COBE=MN=2MC现在学习的是第42页，共49页三、证度量关系（一）、证两线段相等。常用的方法：1、利用全等三角形，证其为全等三角形的一组对应边。2、利用等腰三角形，证其为等腰三角形的两腰，或为等腰三角形顶角的平分线（底边上的高）所分底边的两线段。3、利用平行四边形，证其为平行四边形的

24、一组对边，或为平行四边形的对角线互相平分的线段。4、利用第三者作介绍，证其与第三条线段都相等。现在学习的是第43页，共49页例1、在三角形ABC的两边AB和AC上向外做正方形ABEF和ACGH,求证:BC上的高线AD的延长线平分线段FHABCGHEFD现在学习的是第44页，共49页5、利用三角形或梯形的中位线，证其为三角形或梯形中位线所分成的线段。6、利用圆内的等量关系，证其为同圆或等圆中等弧所对的弦，与圆心等远的两弦或证其为从圆外一点所引的两切线。7、利用比例关系，证其之比等于两条已知相等线段之比。现在学习的是第45页，共49页例2、过圆O内定弦PQ之中点G任意引两弦AB和CD，连结AD，CB分别交PQ于M，N求证：MG=GNABCDPQG现在学习的是第46页，共49页例3、设PC为圆O的切线，AC为直径，PEF为割线，AE、AF与直线PO分别交于B、D。求证：AB=DC,BC=ADPCAEFBDO现在学习的是第47页，共49页现在学习的是第48页，共49页感谢大家观看8/21/2022现在学习的是第49页，共49页