分离变量法的应用.ppt

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1、关于分离变量法的应用现在学习的是第1页，共24页非齐次边界条件的处理： 022000, .0.,0 ,; 0,.xx lttxxttxxxx lttttwg twh tva vwa wvvvxw xvxu x tv x tw x th tg tw x txg tlwx现在学习的是第2页，共24页 思考题思考题 非齐次泛定方程在非齐次边界条件和非零初始条件下的定解问题应该如何求解？现在学习的是第3页，共24页三维形式的直角坐标分离变量三维形式的直角坐标分离变量以三维空间三维空间中的热传导问题为例，考虑齐次泛定方程：2222222uuuuatxyz考虑如下形式的解： , , , ,u x y z

2、tV x y z T t代入方程可得： 2, , ,TtV x y za T tV x y z现在学习的是第4页，共24页2( )( )00T ta T tVV这样得到如下两个微分方程：第二个微分方程可以进一步分离变量，令： VX x Y y Z z代入方程中整理可得：0XYZXYZ现在学习的是第5页，共24页000XXYYZZ分析易得：时间部分的解为： 2a tT tCe 空间部分（满足边界条件要求）的解通常为正弦函数和余弦函数的组合。因此，三维热传导问题的完整解为：2,( , , , )( )( )( )a tl m nlmnl m nu x y z tCeXx Yy Zz现在学习的是第6

3、页，共24页230000,(0,0,0,0)000( , , )txx ayy bzz ctukuxaybzc tuuuuuuux y z例例8.5 8.5 求解下列定解问题：求解下列定解问题：现在学习的是第7页，共24页求解本征值问题可得：221222222232,sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,)llmmnnllXAx laammYBy mbbnnZCz ncc 123现在学习的是第8页，共24页相应地，2222123222lmnabc 这时，有：, ,sinsinsinlmnlmnl xm yn zVx y zCabc同时可求出 T：222222

4、0222expk tlmnlmnTT eTktabc构造特解并叠加得到：22222222,1sinsinsinlmnktabclmnl m nn xn yn zuCeabc现在学习的是第9页，共24页代入初始条件可得：,1, , ,0sinsinsin, ,lmnl m nl xm yn zu x y zCx y zabc故定解问题：230000,(0,0,0,0)000( , , )txx ayy bzz ctukuxaybzc tuuuuuuux y z的解为：22222222,1sinsinsinlmnktabclmnl m nn xn yn zuCeabc现在学习的是第10页，共24页

5、 在利用分离变量法求解定解问题的时候，对方程和边界条件都要进行变量分离。一般而言，能否应用分离能否应用分离变量法，除了和方程和边界条件本身的形式有关之外，变量法，除了和方程和边界条件本身的形式有关之外，还和所选择的坐标系有关系。还和所选择的坐标系有关系。这个时候要根据边界情况来选取合适的坐标系。在进一步讨论之前，我们引入正交曲线坐标系的概念。现在学习的是第11页，共24页例例 8.58.5 求解如下定解问题：22222222200, (0)0, xxyyxyaxyuuuxyauuE x（P194，例4）现在学习的是第12页，共24页正交曲线坐标系正交曲线坐标系 由三族互相正交的曲面定义的坐标系

6、称为正交曲线坐标系。正交曲线坐标系和直角坐标的关系为：123123123,xx q q qyy q q qzz q q q22arctanxyyxzz例：柱坐标系cossinxyzz112233, , , ,qqx y zqqx y zqqx y z现在学习的是第13页，共24页22222arctanarctanrxyzxyzyxsincossinsincosxryrzr球坐标系 其他正交曲线坐标系还有抛物柱面坐标、椭球坐标等。0,0,02r 现在学习的是第14页，共24页正交曲线坐标系中的正交曲线坐标系中的Laplace算符算符现在学习的是第15页，共24页 一般地，我们总可以对齐次泛定方程

7、的时间和一般地，我们总可以对齐次泛定方程的时间和坐标变量进行分离（和坐标系的选取无关）。现在坐标变量进行分离（和坐标系的选取无关）。现在我们就来考察在不同的正交曲线坐标系下对我们就来考察在不同的正交曲线坐标系下对Laplace方程如何进行变量分离。方程如何进行变量分离。现在学习的是第16页，共24页柱坐标系的情况柱坐标系的情况现在学习的是第17页，共24页现在学习的是第18页，共24页现在学习的是第19页，共24页球坐标系的情况球坐标系的情况2222222111sinsinsinuuuurrrrrr现在学习的是第20页，共24页现在学习的是第21页，共24页例例 8.58.5 求解如下定解问题：22222222200, (0)0, xxyyxyaxyuuuxyauuE x（P194，例4）现在学习的是第22页，共24页现在学习的是第23页，共24页感谢大家观看8/21/2022现在学习的是第24页，共24页