函数的极限与连续.ppt

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1、第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质关于函数的极限与连续1现在学习的是第1页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 一、函数的概念一、函数的概念二、函数的性质二、函数的性质本节主要内容本节主要内容: :2现在学习的是第2页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 一、函数的概念一、函数的概念 ( (一一) )区间与邻域区间与邻域 1 .区间区间研究函数时研究函数时,常常要用到区间的概念常常要用到区间的

2、概念.设设开区间开区间 (,) a bx axb 闭区间闭区间 , a bx axb ,) abx axb (, abx axb 右半开区间右半开区间左半开区间左半开区间实数实数a ,b叫相应区间的端点叫相应区间的端点, ,数数b - - a 称为区间的长度称为区间的长度.,a bRab 且且规定规定:3现在学习的是第3页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质无限区间无限区间 ,) ax xa (, bx xb (,) x xR (,) ax xa (,) bx xb 4现在学习的是第4页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限

3、与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 2 .邻域邻域a a 0(,) N xx 点点 的的 邻域邻域a ( ,) N ax axa x x a 00 x x 其中其中, , 称为邻域中心称为邻域中心 , 正数正数 称为邻域半径称为邻域半径 .点点 的去心的去心 邻域邻域点点 的的左左 邻域邻域 :00(,),xx 右右 邻域邻域 :00(,).xx ()以以 为中心的任何开区间称为点的邻域为中心的任何开区间称为点的邻域, ,记作记作 0 x0()N x0().N x0 x0 x0000(,)(,)xxxx 0 x0 x00(,)xx 5现在学习的是第5页，共36页第一章第一章 函数的极

4、限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 ( (二二) )函数的概念函数的概念子集子集，任意任意 xD，变量变量 y 按照某个对应关系按照某个对应关系则称则称 f 是定义在是定义在 D 上的函数上的函数，x 称为称为自变量自变量,f ,有唯一确定的实数与之对应有唯一确定的实数与之对应(记作记作 y=f (x) ) ,定义定义1.1.1 设设x , y 是两个变量是两个变量，D 是是 R 的非空的非空y 称为称为因变量因变量. D 称为函数称为函数 f 的的定义域定义域，数集数集f (D)= f (x) | xD 称为函数称为函数 f 的的值域值域 . 1 .函数的定义函数

5、的定义6现在学习的是第6页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 定义域定义域: : 是指使表达式及实际问题都有意义的自变量集合是指使表达式及实际问题都有意义的自变量集合. .确定函数的两要素确定函数的两要素：(1)对应关系对应关系; ; (2)定义域定义域. .xyo|yx ( ) |f xx 如如, 绝对值函数绝对值函数0,xx0,xx定义域定义域RD 值值 域域()0 ,)f D 与函数与函数 g (x) = x, 定义域定义域 D = R, 值域值域 f ( D ) = R,在在 x 0时时， 11,01,12,1ttfttt 解

6、解例例5 设设(1 2),(1 ).fft(1 )ft22现在学习的是第22页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 定义定义1. 1. 5 设函数设函数y=f (x)的定义域关于原点对的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何称，如果对于定义域中的任何x，都有都有 二二. .函数的性质函数的性质 ( (一一) )奇偶性奇偶性()( ),fxf x ()( ),fxf x 如果对于定义域中的任何如果对于定义域中的任何x ，都有，都有 不是偶函数也不是奇函数的函数，称为不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数非奇非偶函数.则称则称

7、y =f (x)为为奇函数奇函数则称则称 y =f (x)为为偶函数偶函数.23现在学习的是第23页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 如果一个函数是如果一个函数是奇函数奇函数, ,则这个函数的图象是则这个函数的图象是以以坐标原点为对称中心的中心对称图形坐标原点为对称中心的中心对称图形. . 反之，如果反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形称图形, ,则这个函数是奇函数则这个函数是奇函数. . 奇函数与偶函数图象的对称性奇函数与偶函数图象的对称性 如果一个函数是如果一个

8、函数是偶函数偶函数，则它的图形是，则它的图形是以以y轴轴为对称轴的轴对称图形为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的；反之，如果一个函数的图象关于图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数轴对称，则这个函数是偶函数. . 24现在学习的是第24页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质定义域定义域 D = 且有且有2()ln(1)fxxx例例 6 判断函数判断函数2( )ln(1)f xxx221lnln(1)1( )xxxxf x 所以该函数是奇函数所以该函数是奇函数解解(,), 的奇偶性的奇偶性25现在学习的是第25页，共36页第一章第一

9、章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 定义定义1. 1. 6 设函数设函数y=f (x), x1, x2为区间为区间(a,b)内任内任意两个数，意两个数， 若当若当x1 x2时，有时，有f (x1) f (x2)，则称函数则称函数f (x)在区在区间间(a, b)内是内是单调增加单调增加的；的； 若当若当x1 f (x2)，则称函数则称函数f (x)在区在区间间(a, b)内是内是单调减少单调减少的的 ( (二二) )单调性单调性26现在学习的是第26页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质几何特征几

10、何特征单调增加单调增加单调减少单调减少27现在学习的是第27页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 定义定义1. 1. 7 设函数设函数 y = f (x)在区间在区间I上有定义，上有定义，当任意当任意xI， 恒有恒有| f (x) |M 成立，则称函数成立，则称函数 y=f (x) I上的上的有界函数有界函数; 如果不存在这样的正数如果不存在这样的正数M ，则称函则称函数数 y = f (x)为为I上的上的无界函数无界函数 ( (三三) )有界性有界性28现在学习的是第28页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一

11、节第一节 函数及其性质函数及其性质几何特征几何特征 我们说一个函数是有界的或是无界的，我们说一个函数是有界的或是无界的，应同时指出其自变量的相应范围应同时指出其自变量的相应范围 29现在学习的是第29页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 定义定义1. 1. 8 对于函数对于函数 y=f (x) ，如果存在一个不如果存在一个不为零的正数为零的正数L ，使得对于定义域内的一切使得对于定义域内的一切x,等式等式 f (x +L)= f (x) 都成立，则都成立，则 y = f (x) 叫做叫做 周期函数周期函数，L 叫做这个函数的叫做这个函

12、数的周期周期 ( (四四) )周期性周期性 周期函数若存在周期函数若存在最小正周期最小正周期，通常将最小正周，通常将最小正周期简称为期简称为周期周期.30现在学习的是第30页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质复习反三角函数复习反三角函数arcsin,yx 1,1, 1.1.反正弦函数反正弦函数: :arcsin()arcsinxx ,2 2 sin arcsin,xx （）定义域定义域: :值域值域: : 函数单调增加且有界函数单调增加且有界. .在在 上的上的sinyx 2,2 反函数叫反函数叫反正弦函数反正弦函数, ,记作记作:

13、:它的它的 1,1x 31现在学习的是第31页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质2. 2. 反余弦函数反余弦函数: :arcc,osyx 定义域定义域:-1,1,:-1,1,值域值域: : 0, cos(arccos )cos ,xx 函数单调减少且有界函数单调减少且有界. .arcsinarccos2xx 1,1x 在在cosyx 0, 叫叫反余弦函数反余弦函数, , 记作记作: :它的它的arccos()arccos ,xx 上的反函数上的反函数32现在学习的是第32页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节

14、第一节 函数及其性质函数及其性质arct,anyx (,) ，渐近线渐近线渐近线渐近线2y 2y 3.3.反正切函数反正切函数: :(,)22 tanyx 在在内的反函数内的反函数叫叫反正切函数反正切函数, ,记作记作: :它的它的定义域定义域: :值域值域: :(,),22 函数单调增加且有界函数单调增加且有界. .tan(arctan ),xx arctan()arctan ,(,)xx x 33现在学习的是第33页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质4.4.反余切函数反余切函数: :arcc,otyx (,) ，叫叫反余切函数反余

15、切函数, ,记作记作: :它的它的定义域定义域: :值域值域: :(0,), 函数单调减少且有界函数单调减少且有界. .(0,) cotyx 在在内的反函数内的反函数y 0y 渐近线渐近线渐近线渐近线xyocot(arccot )cot ,xx arctanarccot2,(,).xxx arccot()arccot ,xx (0,)2 34现在学习的是第34页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 一一. .函数的概念函数的概念二二. .函数的性质函数的性质函数的定义及表示法函数的定义及表示法 反函数反函数 复合函数复合函数基本初等函数基本初等函数 初等函数初等函数 分段函数分段函数奇偶性奇偶性 单调性单调性 有界性有界性 周期性周期性35现在学习的是第35页，共36页第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质感谢大家观看现在学习的是第36页，共36页