函数的分布.ppt

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1、关于函数的分布现在学习的是第1页，共41页第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布一般情形求随机变量函数分布的方法一般情形求随机变量函数分布的方法和的分布和的分布商和乘积的分布商和乘积的分布极值分布极值分布退 出前一页后一页目 录现在学习的是第2页，共41页解题步骤（解题步骤（分布函数法分布函数法）：）： ，的的分分布布函函数数，先先求求随随机机变变量量函函数数zFYXgZZ ，的的密密度度函函数数，再再求求随随机机变变量量函函数数zFzfYXgZZZ 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布一、一般情形问题一、一般情形问题(分布函数法分布函数法)已知

2、二维随机变量（已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y)的概率密度。的概率密度。退 出前一页后一页目 录现在学习的是第3页，共41页例例 1 的的密密度度函函数数，试试求求随随机机变变量量令令，相相互互独独立立，与与设设随随机机变变量量ZYXZNYNXYX221010 解：解：由由题题意意，可可知知 数数为为的的联联合合密密度度函函，是是相相互互独独立立的的，所所以以，与与由由于于YXYX ,2122xexfxX第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的

3、分布退 出前一页后一页目 录 ,2122yeyfyY现在学习的是第4页，共41页 yxeyxfyx，22221 的的分分布布函函数数为为所所以以，22YXZ zZPzFZ zYXP 22，则则若若0 z 0 zFZ第三章 随机变量及其分布，则，则若若0 z zYXPzFZ 22 zyxdxdyyxf22， zyxyxdxdye2222221 5 多维随机变量函数的分布例例 1（续）（续）退 出前一页后一页目 录现在学习的是第5页，共41页则有则有，作极坐标变换作极坐标变换 sincosryrx zrZrdredzF0220221 zrrdre022第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的

4、分布 000022zzrdrezFzrZ的的密密度度函函数数为为所所以以，22YXZ 00022zzzezfzZ例例 1（续）（续）退 出前一页后一页目 录现在学习的是第6页，共41页第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例 2 的密度函数的密度函数试求随机变量试求随机变量，令，令的指数分布的指数分布参数为参数为，相互独立，相互独立，与与设随机变量设随机变量ZYXZYUXYX2110 其其他他0011)()1 , 0(xxfUX解：解： 000)y(1yyefYy的的指指数数分分布布参参数数 其其他他且且相相互互独独立立，0100),(,xyeyxfYXy现在学习的是第7页，共4

5、1页)()(),(zFzfzFZZZZ 然然后后求求解解变变量量的的分分布布函函数数下下面面先先求求解解第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 )(zFZ)(zZP )2(zYXP 0)(, 0)1( zFzZ )(, 10)2(zFzZdxdyyxfzyz 2020),(dxdyezyzy 2020现在学习的是第8页，共41页)()(),(zFzfzFZZZZ 然然后后求求解解变变量量的的分分布布函函数数下下面面先先求求解解第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 )(, 1)3(zFzZdydxyxfxz 1020),()()(zFzfZZ )2(zYXP dydxe

6、xzy 1020现在学习的是第9页，共41页二、和的分布二、和的分布第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例 2 Y X 0 1 1 41 0 2 81 85 的的联联合合分分布布律律为为，设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量YX的的分分布布律律，试试求求随随机机变变量量令令：ZYXZ 1）离散型随机变量和的分布）离散型随机变量和的分布退 出前一页后一页目 录现在学习的是第10页，共41页解解：的的取取值值为为YXZ ,的取值知的取值知与与由于由于YX 1 ZP 01 YXP，；41 2 ZP 0211 YXPYXP，810 3 ZP 12 YXP，第三章 随机变量及其分布.

7、 3, 2, 1；81 ；85 的的分分布布律律为为由由此此得得YXZ Z 1 2 3 P 41 81 85 退 出前一页后一页目 录5 多维随机变量函数的分布现在学习的是第11页，共41页例例 3的的分分布布律律机机变变量量，试试求求随随分分布布，令令的的与与参参数数为为相相互互独独立立，且且分分别别服服从从与与设设随随机机变变量量ZYXZYX Poisson21 解解：，的的取取值值都都是是与与由由随随机机变变量量210YX，的取值也是的取值也是可知随机变量可知随机变量210YXZ 而而且且， nZP nYXP 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 nkknYkXP0，退 出

8、前一页后一页目 录现在学习的是第12页，共41页 nkknYkXP0， nkknkeknek02121! nkknYPkXP0 nkknkknke021!121 nkknkknknne021!21 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例 3（续）（续）退 出前一页后一页目 录现在学习的是第13页，共41页 nkknkknCne021!21 nne21!21 即，即， 21!21 ennZPn ，210 n第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布分布分布的的服从参数为服从参数为Poisson21 YXZ分分布布，则则的的与与参参数数为为相相互互独独立立，且且分分别别服服

9、从从与与若若随随机机变变量量Poisson21 YX结论：结论：例例 3（续）（续）退 出前一页后一页目 录现在学习的是第14页，共41页2）连续型随机变量和的分布）连续型随机变量和的分布 ，数为数为，其联合密度函，其联合密度函是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量，设设yxfYX，令：令：YXZ 的的密密度度函函数数下下面面计计算算随随机机变变量量zfYXZZ 的分布函数的分布函数首先计算随机变量首先计算随机变量zFYXZZ zZPzFZ zYXP zyxdxdyyxf，第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布xyOx + y = z xzdyyxfdx，退 出前一页后一页目 录

10、现在学习的是第15页，共41页,xuy 作作变变换换：则有则有 zZduxuxfdxzF， dxxuxfduz，第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 xzzdyyxfdxzF，)(的的密密度度函函数数为为导导，可可得得求求之之间间的的关关系系，上上式式对对由由分分布布函函数数与与密密度度函函数数YXZz zFzfZZ dxxzxf，退 出前一页后一页目 录现在学习的是第16页，共41页由于由于 X , Y 的对称性可得的对称性可得 dyyyzfzfZ，相相互互独独立立，则则有有与与特特别别地地，如如果果随随机机变变量量YX .yfxfyxfYX ，此时，我们有此时，我们有 dxx

11、zfxfzfYXZ或或者者 dyyfyzfzfYXZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录现在学习的是第17页，共41页 的的卷卷积积，记记作作与与我我们们称称上上式式为为函函数数yfxfYX yfxfYX*：因因此此，我我们们有有以以下下结结论论卷卷积积：密密度度函函数数的的与与的的密密度度函函数数等等于于相相互互独独立立，则则它它们们的的和和与与如如果果随随机机变变量量YXYXZYX yfxfzfYXZ* 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 dxxzfxfzfYXZ dyyfyzfzfYXZ退 出前一页后一页目 录现在学习的是第18页，共

12、41页例例 4解：解： 的的密密度度函函数数，试试求求随随机机变变量量均均匀匀分分布布，令令上上的的，相相互互独独立立，都都服服从从区区间间与与设设随随机机变变量量ZYXZYX 10由由题题意意，可可知知 ., 0, 10, 1其它其它xxfX ., 0, 10, 1其其它它yyfY ，则有，则有的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ第三章 随机变量及其分布 dxxzfxfzfYXZ5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录现在学习的是第19页，共41页, 20 zz，或或若若 . 0 zfZ，若若10 z zZdxzf01. z 第三章 随

13、机变量及其分布 dxxzfxfzfYXZ10, 10 xzxxz0 xz1 xz0112 111zZdxzf.2 z ，若若21 z的密度函数为的密度函数为综上所述，我们可得综上所述，我们可得YXZ ., 0, 21,2, 10,其其它它zzzzzfZ5 多维随机变量函数的分布例例 4（续）（续）退 出前一页后一页目 录 ., 0, 10, 1其它其它xxfX ., 0, 10, 1其其它它yyfY现在学习的是第20页，共41页例例 5解：解： 的的密密度度函函数数，试试求求随随机机变变量量的的指指数数分分布布，令令服服从从上上的的均均匀匀分分布布，服服从从区区间间相相互互独独立立，与与设设随

14、随机机变变量量ZYXZYXYX 110 由由题题意意，可可知知 ., 0, 10, 1其它其它xxfX . 0, 0, 0,yyeyfyY ，则有，则有的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录现在学习的是第21页，共41页，若若0 z 0 zfZ，若若10 z第三章 随机变量及其分布 , dxxzfxfzfYXZ0, 10 xzx zxzZdxezf0)(1ze 1 zxzdxee0，若若1 z 10)(dxezfxzZzzee 1 10dxeexz5 多维随机变量函数的分布例例

15、 5（续）（续）退 出前一页后一页目 录xz0 xz011现在学习的是第22页，共41页的的密密度度函函数数为为综综上上所所述述，我我们们可可得得YXZ 1101001zeezezzfzzzZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例 5（续）（续）退 出前一页后一页目 录现在学习的是第23页，共41页例例 6解：解： 的的密密度度函函数数，试试求求随随机机变变量量，令令，相相互互独独立立，与与设设随随机机变变量量ZYXZNYNXYX 1010由由题题意意，可可知知 ，则有，则有的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ ,2122xexfx

16、fxYX dxeexzx222221 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录现在学习的是第24页，共41页，代代入入上上式式，有有则则有有，作作积积分分变变换换dxduzxu 222作作配配方方法法，得得的的指指数数上上对对在在上上式式中中xe dxeezfzxzZ22242121 dueezfuzZ22222221221 2222221 ze ，这表明，这表明，20 NZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例6（续）（续）退 出前一页后一页目 录现在学习的是第25页，共41页结结 论：论： ,211 ，NX相相互互独独立立，且且与与如如果果

17、随随机机变变量量YX，YXZ 222 ，NY 222121 ，则则NZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录现在学习的是第26页，共41页 2iiiNX ，结结论论：更更一一般般地地，我我们们有有如如下下相相互互独独立立，如如果果随随机机变变量量nXXX21，令：令： niiiXaZ1 ni，21 niiiniiiaaNZ1221 ，则则个个实实常常数数，为为，又又naaan21第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录现在学习的是第27页，共41页第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布都都服服从从正正态态分分布布

18、相相互互独独立立，且且如如果果随随机机变变量量YXYX,例例)9 , 2()4 , 1(NYNX的的分分布布？求求：YX2 )40, 5(2NYX也也服服从从正正态态分分布布解解： ，令：令： niiiXaZ1 niiiniiiaaNZ1221 ，则则现在学习的是第28页，共41页第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布三、商和乘积的分布三、商和乘积的分布，数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYX则其概率密度为，令：XYZ dxxzxfxzfZ,则其概率密度为，令：XYZ dxxzxfxzfZ,1现在学习的是第29页，共41页5 多维随机变量函数的分布则其概率密度为，令：

19、XYZ dxxzxfxzfZ, zzzzzzxuyzxzxxzxyxzxyGGZdudxxuxfxdxduxuxfxdxduxuxxfdxduxuxfxdxduxuxxfdxduxuxxfdxdyyxfdxdyyxfdydxyxfdydxyxfdxdyyxfzXYPzZPzF),(),(),(),()(),(),(),(),(),(),(),(0000000,0,21令证： dxxzxfxzfZ,现在学习的是第30页，共41页例例 9解：解： 是是否否相相互互独独立立？与与判判断断各各自自的的边边缘缘分分布布律律，并并与与合合分分布布律律及及的的联联与与，试试求求随随机机变变量量，令令，相相互

20、互独独立立，与与设设随随机机变变量量 YXYXppBYpBXYXmaxmin1011，知知与与的的取取值值都都为为与与由由随随机机变变量量10YX YXYX，maxmin 与与的的取取值值也也为为10第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布四、极值分布四、极值分布退 出前一页后一页目 录现在学习的是第31页，共41页第三章 随机变量及其分布 YXYX，maxmin 5 多维随机变量函数的分布例例 9（续）（续）退 出前一页后一页目 录 00 ，P 00 YXP， 00 YPXP 21p 10 ，P 0110 YXPYXP， 0110 YPXPYPXP pp 12 01 ，P P 11

21、 ，P 11 YXP， 11 YPXP2p 0 现在学习的是第32页，共41页各各自自的的边边缘缘分分布布律律为为，与与的的联联合合分分布布律律及及与与随随机机变变量量 0 1 ip 0 21p pp 12 21p 1 0 2p 2p jp 21p 211p ，由由于于10 p所以，所以，第三章 随机变量及其分布不不独独立立与与这这表表明明，随随机机变变量量 5 多维随机变量函数的分布例例 9（续）（续）退 出前一页后一页目 录 001 ，P 22101ppPP 现在学习的是第33页，共41页例例 10解：解： 令：令：的分布函数为的分布函数为量，量，是独立的连续型随机变是独立的连续型随机变，

22、设设xFXXXXiin21 ，nnnXXXXXXXX21211maxmin 的的分分布布函函数数与与试试求求随随机机变变量量nXX1 ，的的分分布布函函数数为为设设随随机机变变量量xFX11第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 的的分分布布函函数数为为随随机机变变量量xFXnn退 出前一页后一页目 录现在学习的是第34页，共41页则则 xXPxFnn xXXXPn ，21max xXxXxXPn ，21 xXPxXPxXPn 21 xFini 1 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例 10（续）（续）退 出前一页后一页目 录现在学习的是第35页，共41页 xXP

23、xF 11 xXXXPn ，21min xXxXxXPn ，211 xXXXPn ，21min1第三章 随机变量及其分布 xXPxXPxXPn 211 xXPxXPxXPn 111121 xFini 1115 多维随机变量函数的分布例例 10（续）（续）退 出前一页后一页目 录现在学习的是第36页，共41页例例 11解：解：的的密密度度函函数数的的寿寿命命的的指指数数分分布布，试试求求系系统统，它它们们都都服服从从参参数数为为的的寿寿命命为为并并联联而而成成，并并且且，个个相相互互独独立立的的子子系系统统是是由由设设系系统统ZLXLLLLnLiin 121 ，nXXXZ21max 并并联联而而

24、成成，故故有有，个个相相互互独独立立的的子子系系统统是是由由由由于于系系统统nLLLnL21的密度函数为的密度函数为因此因此的指数分布，的指数分布，服从参数为服从参数为的寿命的寿命又因为子系统又因为子系统iiiXXL 第三章 随机变量及其分布 000 xxexfx 5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录现在学习的是第37页，共41页知知，所所以以，由由例例9的的分分布布函函数数为为iX 0001xxexFx ，nXXXZ21max 的的分分布布函函数数为为第三章 随机变量及其分布 xfxFnxfnZ1 00011xxeenxnx xFxFinin1)()( 的的概概率率密密度度为为

25、所所以以 Z 000)1(xxenx nxF)( 5 多维随机变量函数的分布例例 11（续）（续）退 出前一页后一页目 录现在学习的是第38页，共41页第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布小结：小结：1 1 一般情形求随机变量函数的分布方法。一般情形求随机变量函数的分布方法。2 2 和的分布。和的分布。3 3 极值分布。极值分布。难点：确定积分区域。难点：确定积分区域。退 出前一页后一页目 录现在学习的是第39页，共41页 1 1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。 2 2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分要理解二维随机变

26、量的边缘分布以及与联合分 布的关系，理解条件分布。布的关系，理解条件分布。 3 3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。掌握二维均匀分布和二维正态分布。 4 4 要理解随机变量的独立性。要理解随机变量的独立性。 5 5 要会求二维随机变量的和的分布及多维随机要会求二维随机变量的和的分布及多维随机 变量的极值分布和函数的分布。变量的极值分布和函数的分布。第三章 小 结重点：重点：边缘分布；随机变量的独立性；二维随机边缘分布；随机变量的独立性；二维随机变量的和的分布，多维随机变量的极值分布函变量的和的分布，多维随机变量的极值分布函数的分布。数的分布。本章要求：本章要求：退 出前一页后一页目 录现在学习的是第40页，共41页感谢大家观看8/21/2022现在学习的是第41页，共41页