分离变量法有界弦的自由振动.ppt
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1、深圳大学电子科学与技术学院关于分离变量法有界弦的自由振动关于分离变量法有界弦的自由振动现在学习的是第1页,共64页深圳大学电子科学与技术学院 有界弦的自由振动有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论分离变量法提要分离变量法提要: :现在学习的是第2页,共64页深圳大学电子科学与技术学院 物理学、工程技术领域的许多问题物理学、工程技术领域的许多问题 ,都可以归结
2、为偏微分方程的,都可以归结为偏微分方程的 定解问题。定解问题。偏微分方程偏微分方程定解条件定解条件求满足它们的解(定解问题)求满足它们的解(定解问题)在微积分学中在微积分学中:多元函数的多元函数的微分微分积分积分(转化为转化为)一元函数的一元函数的微分微分积分积分分离变量法分离变量法:偏微分方程偏微分方程(定解问题定解问题)(转化为转化为)常微分方程的求解常微分方程的求解现在学习的是第3页,共64页深圳大学电子科学与技术学院基本思想基本思想: :将一个多元函数的偏微分方程转化为将一个多元函数的偏微分方程转化为几个单元函数的常微分方程几个单元函数的常微分方程 0000tTzZyYxXtzyxLL
3、LL)()()()(),(tTzZyYxXtzyxu0,tzyxuL基本问题基本问题: :将二元的偏微分方程转化为空间和时间的将二元的偏微分方程转化为空间和时间的常微分方程常微分方程, ,比如比如)()(),(tTxXtxu0,txuL0)(0)(tTxXtxLL现在学习的是第4页,共64页深圳大学电子科学与技术学院2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动什么是分离变量法什么是分离变量法?运用分离变量法所应该具备的条件运用分离变量法所应该具备的条件?如何应用分离变量法解定解问题如何应用分离变量法解定解问题?例例1:有界弦的自由振动有界弦的自由振动: : 弦长度为弦长度为L, ,两端固定两端固定
4、, ,任意任意初始位移初始位移, ,任意初始速度。任意初始速度。定解问题为定解问题为: :LxxtuxutuutLxxuatuttLxx0, )(, )(|0,0|,0|0,0,00022222泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件(1)(2)(3)现在学习的是第5页,共64页深圳大学电子科学与技术学院主导思想:主导思想:在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时,在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时,求出足够多的形式解求出足够多的形式解线性迭加这些足够多的形式解线性迭加这些足够多的形式解使之满足初始条件使之满足初始条件常微分方程常微分方程不但含有未知函数,而且还含有不
5、但含有未知函数,而且还含有未知函数的导数,且自变量只有一个,称之为未知函数的导数,且自变量只有一个,称之为常微分方程。常微分方程。线性线性未知函数,以及未知函数的导数都是一次幂未知函数,以及未知函数的导数都是一次幂,称之为线性。,称之为线性。通解通解一般地讲,一阶常微分方程含有一个一般地讲,一阶常微分方程含有一个任意常数的解,称之为通解。任意常数的解,称之为通解。特解特解确定了任意常数的解,称之为特解。一确定了任意常数的解,称之为特解。一般来说,当初始条件给定之后,满足初始条件的般来说,当初始条件给定之后,满足初始条件的特解只有一个。特解只有一个。现在学习的是第6页,共64页深圳大学电子科学与
6、技术学院启发:启发:求出足够多的求出足够多的, 满足边界条件的满足边界条件的,具有具有变量分离形式的形式解。变量分离形式的形式解。线性组合这些足够多的形式解线性组合这些足够多的形式解使之满足初始条件使之满足初始条件 从物理学知,乐器发出的声音,可以分解为各种不同频率的单音,每种单音振动从物理学知,乐器发出的声音,可以分解为各种不同频率的单音,每种单音振动时所形成的正弦曲线,其振幅依赖于时间时所形成的正弦曲线,其振幅依赖于时间 t 。为此,特解可表示为为此,特解可表示为xtAtxu sin)(),( 的形式的形式.特点特点: 中的变量中的变量utx,被形式上分离为被形式上分离为振幅振幅-关于时间
7、关于时间t位相位相-关于坐标关于坐标x现在学习的是第7页,共64页深圳大学电子科学与技术学院)()(),(tTxXtxu)()()()(2tTxXatTxX )()()()(2tTatTxXxX 设方程(设方程(1 1)有分离变量解:)有分离变量解:代入方程(代入方程(1 1):):左边是左边是x x函数,右边是函数,右边是t t的函数,只有他们均为常的函数,只有他们均为常数时才相等:数时才相等:设这一常数为设这一常数为- - ,则,则常数 )()(xXxX0)()(0)()(2 tTatTxXxX(4)(5)(6)至此可以看出至此可以看出, ,利用分离变量法的利用分离变量法的条件是条件是:
8、:泛定方程泛定方程必须是齐次的必须是齐次的。否则(。否则(5 5)变成)变成 方程方程 , ,不能写出变量分离的形式(不能写出变量分离的形式(6 6)。)。),()()()()(2txftTxXatTxX 分离变量:现在学习的是第8页,共64页深圳大学电子科学与技术学院, 0)()0(tTX将边界条件(将边界条件(2 2)代入形式解()代入形式解(4):): , ,如果如果 则则 ( (平凡解平凡解,无实际意义无实际意义),),故故这样空间函数这样空间函数 构成下列常微分方程的边值问题构成下列常微分方程的边值问题: :至此可以看出至此可以看出, ,利用分离变量法的利用分离变量法的条件是条件是:
9、 :边界条件必须是齐次的边界条件必须是齐次的。否则否则 ,不能写出关于空间函数,不能写出关于空间函数 X(x)单独的边界条件(单独的边界条件(7),不能构成定解问题(),不能构成定解问题(8)。)。0)()0(0)()( LXXxXxX(L) ( )0,XT t 0)(tT0),(txu0)()0(LXX)(xXftTX)()0((8)(7)( )=0T t现在学习的是第9页,共64页深圳大学电子科学与技术学院 0)()0(0)()(LXXxXxX以下的任务:以下的任务:确定确定 取何值时取何值时 ,方程,方程 有满足条件有满足条件0)()( xXxX 0)()0(LXX的非零解;的非零解;求
10、出这个非零解求出这个非零解 )(xX 本征值本征值本征值本征值问题问题本征函数本征函数现在学习的是第10页,共64页深圳大学电子科学与技术学院 :方程方程(9)(9)的通解为的通解为2. : 2. : 方程方程(9)(9)的通解为的通解为0)()0(0)()( LXXxXxX0(9)(10)BxAxX)(0 BA(平凡解(平凡解: :X(x)=0)由由(10)(10)得得 0)exp()exp()(kxBkxAxX为了满足边界条件为了满足边界条件(10), (11)(10), (11)必须给出必须给出0)exp()exp(0kLBkLABA(11)下面求解边值问题:设k现在学习的是第11页,共
11、64页深圳大学电子科学与技术学院0 BA0)(xX0)exp()exp(0kLBkLABA这是一个关于这是一个关于A, B的线性齐次方程组,它有非零的线性齐次方程组,它有非零解的必要充分条件是系数行列式为零:解的必要充分条件是系数行列式为零:0)exp()exp(11kLkL0)exp()exp(kLkL 即即上式在上式在k=0(即即 =0)条件下成立,但在现在的条件下成立,但在现在的 00, ,方程方程(9)(9)的通解为的通解为0sin0LBA0sinL), 3, 2, 1(nnL2LnnxLnBxXnsin)(该边值问题的解是一系列分立的正弦函数该边值问题的解是一系列分立的正弦函数B 不
12、能为零不能为零(否则否则X(x)=0)设现在学习的是第13页,共64页深圳大学电子科学与技术学院)()(),(tTxXtxu )()(xXxX )()(2tTatT ,既既不不能能为为负负,的的常常数数法法的的过过程程之之中中,所所引引入入由由此此可可见见,在在分分离离变变量量 !)式所给定的特定数值须取(能是任意的正数。它必也不能为零,甚至还不I222Lnn)(I)3 , 2 , 1(.sin)(nxLnBxXnn)(II义义的的解解!定定解解条条件件中中,得得到到有有意意方方才才可可能能从从泛泛定定方方程程和和的的特特定定数数值值,解解!常常数数等等于于零零的的、没没有有意意义义的的除除此
13、此之之外外,只只能能得得到到恒恒 .特征函数),被叫作本征函数();相应的解(被叫作本征值(特征值II名词解析名词解析本征值本征值本征函数本征函数现在学习的是第14页,共64页深圳大学电子科学与技术学院2Lnn0)()(2 tTatT0)()(2 tTLnatT将将 代入关于代入关于 T 的方程的方程:tLnadtLnactTnnnsincos)(这个解称为定解问题的这个解称为定解问题的“本征解本征解”, ,它满足泛定方程和齐次边界条件它满足泛定方程和齐次边界条件其通解为其通解为这样这样xLntLnaDtLnaCtTxXtxunnnnnsinsincos)()(),( 解方程:现在学习的是第1
14、5页,共64页深圳大学电子科学与技术学院xLnCxunnsin)0 ,(但是本征解但是本征解的初始值的初始值 不能满足任意初始条件不能满足任意初始条件( (2),2),为了使原定解问题的解满足任意初始条件,考虑到原为了使原定解问题的解满足任意初始条件,考虑到原泛定方程是线性的(服从叠加原理),可以取泛定方程是线性的(服从叠加原理),可以取本征解本征解的叠加的叠加构成定解问题的构成定解问题的一般解一般解:xLntLnaDtLnaCtxunnnsinsincos),(xLntLnaDtLnaCtxutxunnnnnsinsincos),(),(11一般解不但一般解不但满足泛定方满足泛定方程还满足定
15、程还满足定解条件解条件定解问题的一般解:现在学习的是第16页,共64页深圳大学电子科学与技术学院 这样初始条件可以表示为这样初始条件可以表示为)(sin)(sin1010 xxLnLnaDtuxxLnCunntnnt它们是函数它们是函数 的傅立叶级数,展开系数为的傅立叶级数,展开系数为xdxLnxanDxdxLnxLCLnLnsin)(2sin)(200一般解能表示任意初始条件一般解能表示任意初始条件)()(xx和可以再次看出可以再次看出, , 利用分离变量法的利用分离变量法的条件是条件是: : 泛定方程必须是线性的泛定方程必须是线性的。这样才能利用叠加原理,构成一般解这样才能利用叠加原理,构
16、成一般解,满足任意初始条件。,满足任意初始条件。任意初始条件:现在学习的是第17页,共64页深圳大学电子科学与技术学院 有界弦自由振动的有界弦自由振动的 定解问题的解由级定解问题的解由级 数给出数给出: 它满足齐次边界条它满足齐次边界条 件和任意初始条件件和任意初始条件: 展开系数展开系数 被被 积分确定积分确定:xLntLnaDtLnaCtxutxunnnnnsinsincos),(),(11),(),(0 xtxut)(0 xtutnnDC 和xdxLnxanDxdxLnxLCLnLnsin)(2sin)(200, 0),(0 xtxu0),(Lxtxu弦振动定解问题的结论:现在学习的是第
17、18页,共64页深圳大学电子科学与技术学院 1. 1.对于泛定方程对于泛定方程 写出写出形式解形式解: : 2. 2.分离变量分离变量得到空间函数的得到空间函数的本征值问题本征值问题: : 3. 3.解出解出 得到得到本征解本征解: : 4. 4.利用利用叠加原理叠加原理得到得到一般解一般解: : 5. 5.代入初始条件求出待定系数代入初始条件求出待定系数 )()(),(tTxXtxu0,txuL边界条件)()(xXxXFnnnx)()(),(tTxXtxunnnnntxutxu),(),()(tT分离变量法分离变量法求解定解问题的步骤:求解定解问题的步骤:)()(本征函数本征值xXnn现在学
18、习的是第19页,共64页深圳大学电子科学与技术学院1.1.泛定方程是泛定方程是 线性齐次的线性齐次的, , 例如例如2.2.边界条件是边界条件是 齐次的齐次的, ,例如例如3.3.初始条件可以初始条件可以 是任意函数是任意函数 22222xuatu, 00 xu0Lxu),(0 xut)(0 xtut讨论: 分离变量法的适用条件现在学习的是第20页,共64页深圳大学电子科学与技术学院举例举例:例例1:设一根长为:设一根长为10个单位的细弦个单位的细弦,两端固定两端固定,初速为零初速为零,初位移初位移 与材料有关的量与材料有关的量 ,求弦作微小横振动时的位移求弦作微小横振动时的位移 .,1000
19、)10()(xxx 210000Ta),(txu解解: 其定解问题为其定解问题为 .100,0;1000)10(|0,0|,0|0,100,0010022222xtuxxutuutxxuatuttxx显然,这个问题的傅立叶级数形式解可由显然,这个问题的傅立叶级数形式解可由)3 , 2 , 1(sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn 给出,其中给出,其中现在学习的是第21页,共64页深圳大学电子科学与技术学院)3 , 2 , 1(sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn 给出给出, 其中其中 33333
20、31000)12(54540)cos1(5210sin1000)10(102sin)(2 nnnnxdxnxxxdxlnxlClnxdxlnxanDln 0sin)(2 0 n 为偶数为偶数 n 为奇数为奇数 现在学习的是第22页,共64页深圳大学电子科学与技术学院因此因此,所求的解为所求的解为xlntlnantxun )12(sin)12(cos)12(54),(330 )3 , 2 , 1(sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn xntnnn10)12(sin)12(10cos)12(154033 100,100002 aEa xntnnn1
21、0)12(sin10)12(100cos)12(54330 现在学习的是第23页,共64页深圳大学电子科学与技术学院 .0;2|0;0|0,0,020022222ttlxxtuxlxuxuutlxxuatu例例2: 解下列定解问题解下列定解问题 .100,0;1000)10(|0,0|,0|0,100,0010022222xtuxxutuutxxuatuttxx例例1:定解问题定解问题lx 0 lxu分析分析: 对比上面两个定解问题对比上面两个定解问题,与例与例 1 所不同的是所不同的是, 这一端的边界条件这一端的边界条件 已经不是第一类齐次边界条件已经不是第一类齐次边界条件 , 而是第二类齐
22、次边界条件而是第二类齐次边界条件 0 lxxu第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件现在学习的是第24页,共64页深圳大学电子科学与技术学院一、对此,试探性提出方程组一、对此,试探性提出方程组 中第一个方程的分离变量中第一个方程的分离变量 形式的非零解。形式的非零解。 .0;2|0;0|0,0,020022222ttlxxtuxlxuxuutlxxuatu)()(),(tTxXtxu 上式分别对上式分别对 x 、 t 求偏导求偏导)()(;)()(2222tTxXtutTxXxu 上面的结果,反回去代入原方程,得上面的结果,反回去代入原方程,得)()()()(
23、2tTxXatTxX 或或)()(xXxX )()(2tTatT 这样,变量被分离了,这样,变量被分离了,同时得到两个常微分方程!同时得到两个常微分方程!0)()(2 tTatT 0)()( xXxX 现在学习的是第25页,共64页深圳大学电子科学与技术学院二、捆绑边界条件二、捆绑边界条件 .0;2|0;0|0,0,020022222ttlxxtuxlxuxuutlxxuatu由于由于将其与方程组中的边界条件将其与方程组中的边界条件捆绑捆绑)()(),(tTxXtxu 由由0)()0(00 tTXux由由0)()(0 tTlXxulx其中,其中, 。因为如果。因为如果 ,则,则 所涉及的解,显
24、所涉及的解,显然不是我们所需要的(零解!)。然不是我们所需要的(零解!)。0)( tT0)( tT,0),( txu 由此可见,只有由此可见,只有 。将此结果与所得到的常微分方程。将此结果与所得到的常微分方程中的第二个方程(关于中的第二个方程(关于x )联立)联立0)()0(lXX0)()( xXxX 0)()0( lXX组成了关于组成了关于的的本征值问题本征值问题)(xX现在学习的是第26页,共64页深圳大学电子科学与技术学院0)()( xXxX 0)()0( lXX三、在右列方程组中,解出非零的三、在右列方程组中,解出非零的 。)(xX0)()( xXxX 重复前面的讨论重复前面的讨论,只
25、有当只有当 时时, 本征值本征值问题才有非零解问题才有非零解, 此时此时 的通解仍为的通解仍为02 xBxAxX sincos)( 0)()0( lXX 代入边界条件代入边界条件: , 得得0cos0lBA由于由于 , 故故 , 即即0 B0cos l ), 2 , 1 , 0(212 nln 从而求得了一系列本征值与本征函数从而求得了一系列本征值与本征函数,4)12(222lnn ), 2 , 1(2) 12(sin)(nxlnBxXn本征值本征值本征函数本征函数0)()0(00 tTXux0)()(0 tTlXxulx0cossin)( lBlAlX 现在学习的是第27页,共64页深圳大学
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