刚体的自由度和平面平行运动.ppt

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1、关于刚体的自由度和平面平行运动现在学习的是第1页，共19页 其次刚体的方位由其轴的取向决定，确定空间直线的其次刚体的方位由其轴的取向决定，确定空间直线的方位坐标有两个，借用纬度角与经度角来描述，在直角坐方位坐标有两个，借用纬度角与经度角来描述，在直角坐标系中，采用用标系中，采用用 、 ，如图所示：，如图所示：oxyz p 最后，刚体绕定轴转动时，需最后，刚体绕定轴转动时，需要一个坐标来描述，选定参考方向要一个坐标来描述，选定参考方向后，转动位置用后，转动位置用 表示。表示。 总的说来，刚体共有总的说来，刚体共有6 6个自由度，个自由度，其中其中3 3个平动自由度，个平动自由度，3 3个转动自由

2、度。个转动自由度。 物体有几个自由度，它的物体有几个自由度，它的运动定律可归结为几个独立运动定律可归结为几个独立的方程。的方程。自由度自由度现在学习的是第2页，共19页现在学习的是第3页，共19页2. 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动定义：定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平面运动，这就的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平面运动，这就叫刚体的平面平行运动。叫刚体的平面平行运动。 根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度有三根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度有三个，两个坐标决定质心位置，一

3、个坐标决定转动角度。个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转动角度。 刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相对刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。现在学习的是第4页，共19页 设质心在设质心在Oxy平面内运动，则平动方程平面内运动，则平动方程CxxmaF CyymaF 可以证明，定轴转动定律在此仍适用可以证明，定轴转动定律在此仍适用CCJM 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第5页，共19页 车轮的纯滚动车轮的纯滚动CvARGRBRABGARBR 车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系车轮中

4、心前进的距离与质心转过的角度的关系Rx 则则Rvc 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第6页，共19页 车轮上任意一点的速度车轮上任意一点的速度rvvC CvARGRBRABGARBR G点的速度点的速度0 rvvCG B点的速度点的速度CCBvRvv2 A点的速度点的速度CCAvRvv2)(22 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第7页，共19页 刚体的动能刚体的动能2)(21 iiikvmE)()(22122iiCCiirrvvm 22)(21)()(21iiiiiiCiCirmrmvvm 质心是基点质心是基点0 iiirm 且且iimm 所以所以222121C

5、CkJmvE 刚体的动能等于质心的平动动能与对质心的转动刚体的动能等于质心的平动动能与对质心的转动 动能之动能之和。和。刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第8页，共19页例题例题4-9 4-9 讨论一匀质讨论一匀质实心的圆柱体在斜面上实心的圆柱体在斜面上的运动。的运动。N aCxG=mgrxyOfr 解解 圆柱体所受的力共有三个：圆柱体所受的力共有三个：重力重力G ，斜面的支承力，斜面的支承力N 和和摩擦力摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为，如图所示。设圆柱体的质量为m，半径，半径为为r，那么，它对其几何的转动惯量，那么，它对其几何的转动惯量 221mrJ 刚体的平面平行运

6、动刚体的平面平行运动现在学习的是第9页，共19页这样可得这样可得rCfmgmaxsincosmgNmayCrfJr以上三式中，以上三式中，aCx x和和aCy是圆柱体质心在是圆柱体质心在x x轴和轴和y y轴方向的加轴方向的加速度，速度， 是圆柱体对其通过质心的几何轴转动的角加速是圆柱体对其通过质心的几何轴转动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑动，只能在斜面度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时上作纯粹滚动，那么此时0yCma解上列五个式子，得解上列五个式子，得0yCma我们取和斜面平行而向下的方向为我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和斜面垂直轴

7、的方向，和斜面垂直而向上为而向上为y轴的方向轴的方向刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第10页，共19页，21sinmrJgaxCrmrJg21sin，sin2mgJmrJfrcosmgN 代入上式得代入上式得因因221mrJ rgsin32，sin31mgfr，sin32gaxC刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第11页，共19页 如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x，与，与之相应，下降的竖直距离是之相应，下降的竖直距离是h=xsin ，这时质心的速度由，这时质心的速度由ghgxxavxC34sin3422求得求得gh

8、v34 如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是singaxC刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第12页，共19页而圆柱体对质心的角加速度与角速度为而圆柱体对质心的角加速度与角速度为，0 0 如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是x x，则，则质心所获得的速度由质心所获得的速度由ghgxxavxC2sin222求得求得ghv2 在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，我们看到，两者加速度之比是我们看到，两者加

9、速度之比是2/32/3，两者速度，两者速度之比是之比是32刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第13页，共19页 本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面上作纯本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压力都不作功，粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止滚下，它没有初动能，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止滚下，它没有初动能，只有重力势能只有重力势能mgh，当它滚动下降这段高度时，全部动能当它滚动下降这段高度时，全部动能是是222121CkJmvEC 对纯粹滚动而言，对纯粹滚动而言，vc=

10、r ，以此代入得，以此代入得22121CvmrJmECk 由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第14页，共19页22121CvmrJmmghC求得求得212mrJghvCC代入上式得代入上式得因因221mrJ ghv34和以前的结果完全一致。和以前的结果完全一致。刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第15页，共19页例例4-10 4-10 一质量为一质量为m、半径为、半径为R R 的均质圆柱，在水平外力作的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴

11、线的垂直距离为线的垂直距离为l，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。的静摩擦力。解：设静摩擦力解：设静摩擦力f f的方向如图所示，则由质心运动方程：的方向如图所示，则由质心运动方程：CmafF圆柱对质心的转动定律圆柱对质心的转动定律CJRflF纯滚动条件为纯滚动条件为RaC圆柱对质心的转动惯量为圆柱对质心的转动惯量为 FaC221mRJC联立以上四式，解得联立以上四式，解得刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第16页，共19页mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可见由此可见l0, 静摩擦力向后静摩擦力向后 lr/2, f0, 静摩擦力向前静摩擦力向前l=r/2, f=0刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第17页，共19页mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可见由此可见l0, 静摩擦力向后静摩擦力向后 lr/2, f0, 静摩擦力向前静摩擦力向前l=r/2, f=0刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动现在学习的是第18页，共19页感谢大家观看现在学习的是第19页，共19页