121因式分解法直接开平方法.ppt

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1、解一元二次方程的算法解一元二次方程的算法本节内容1.21.2.1 因式分解法，因式分解法， 直接开平方法直接开平方法 如何解如何解1.1节节问题一问题一中的方程：中的方程：探究探究 ( (35- -2x) )2- -900 = 0 可以用平方差公式，可以用平方差公式，把方程把方程的左边因式的左边因式分解分解 我们已经会解一元一次方程，我们已经会解一元一次方程， 首先，观察方程首先，观察方程的左边，可不可以通过因式分的左边，可不可以通过因式分解把它表示成两个一次多项式的乘积？解把它表示成两个一次多项式的乘积？ 自然会想：能不能把一元二次方程自然会想：能不能把一元二次方程降低降低次数次数，转化为若

2、干个一元一次方程呢？，转化为若干个一元一次方程呢？先把方程先把方程写成写成 ( (35- -2x) )2- -302=0.( (35- -2x) )2- -900 = 0 把此方程的左边因式分解把此方程的左边因式分解 ( (35- -2x+30)()(35- -2x- -30) )=0， 即即 ( (65- -2x)()(5- -2x) )=0. 因此，从方程因此，从方程得得 65- -2x=0或或 5- -2x=0 得得 x=32.5 或或 x=2.5.即方程即方程有两个解，有两个解，通常把它们记成通常把它们记成 x1=32.5，x2=2.5.其次，我们知道其次，我们知道:“:“如果如果p

3、q = 0，那么那么p=0或或q=0.”最后分别解最后分别解中的中的两个一元一次方程两个一元一次方程 对于对于问题一问题一， x2=2.5 符合题意，即人行道的宽度为符合题意，即人行道的宽度为2.5 m上述解一元二次方程的方法叫作上述解一元二次方程的方法叫作因式分解法因式分解法.( (35- -2x) )2- -900 = 0 容易看出容易看出 x1=32.5 不符合题意不符合题意( (为什么为什么?) )，应当舍去；应当舍去；方程方程还有其他解法吗？还有其他解法吗？ 动脑筋动脑筋 ( (35- -2x) )2- -900 = 0 这种解一元二次方程的方法，叫作这种解一元二次方程的方法，叫作直

4、接开平方法直接开平方法 把方程写成把方程写成( (35- -2x) )2=900，这表明这表明35- -2x是是900的平方根，的平方根，因此因此 或或 ，即即35- -2x=30 或或 35- -2x=- -30解得解得 x=2.5 或或 x=32.535 2900 x35 2900 x 举举例例例例1 解方程：解方程： 4x2 - -25=0. 原方程可以写成原方程可以写成 ( (2x) )2- -52 = 0，解解:( (解法一解法一) )把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 ( (2x+5)()(2x- -5) )=0.由此得出由此得出 2x+5=0 或或 2x- -5=0.解

5、得解得 ， 1 5 2x 2 5 2 x. 4x2 - -25=0.直接开平方，得直接开平方，得 或或254x 254x , ,即即 125522 xx. , , 原方程可以写成原方程可以写成 2254 x. 解解:( (解法二解法二) )可以直接开平方计算可以直接开平方计算举举例例例例2 解方程：解方程： ( (x+1) )2 - -2=0.原方程可以写成原方程可以写成解解:( (解法一解法一) )把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 =0.由此得出由此得出 或或 .22120 x() ()() ()解得解得 x1= ，x2= .1212xx ()()()()12 0 x 12 0

6、x 12 12 我们可以用因式分解法我们可以用因式分解法解这个方程。解这个方程。直接开平方，得直接开平方，得 = ，或或 = .原方程可以写成原方程可以写成 解解:( (解法二解法二) ) ( (x+1) )2 - -2=0. = .解得解得 x1= ，x2= .( (x+1) )222 ()()x+12 x+12 - -1+ 2 - -12 - - -我们可以用直接开平方我们可以用直接开平方法解这个方程。法解这个方程。小提示在解方程时，只要写出一种解法就行在解方程时，只要写出一种解法就行请同学自己小结这请同学自己小结这两种解法，并应用两种解法，并应用你的小结去解下面你的小结去解下面的练习题的

7、练习题 练习练习解下列方程：解下列方程：（1）9x2- -49=0； （2）36- -x2=0；（3）( (x+3) )2- -16=0； （4）( (1- -2x) )2- -3=0. 原方程可以写成原方程可以写成 62- -x2 = 0，（1） 9x2- -49=0 ，解解 原方程可以写成原方程可以写成 ( (3x) )2- -72 = 0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 ( (3x+7)()(3x- -7) )=0.由此得出由此得出 3x+7=0 或或 3x- -7=0.解得解得 ， 173x 273 x. （2） 36- -x2=0 ，解解把方程左边因式分解，得把方程左边

8、因式分解，得 ( (6+x)()(6- -x) )=0.由此得出由此得出 6+x=0 或或 6- -x=0.解得解得 ， 16x 26 x. （3） ( (x+3) )2- -16=0 ， 解解 原方程可以写成原方程可以写成 ( (x+3) )2- -42 = 0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 ( (x+3+ +4)()(x+3- -4) )=0.由此得出由此得出 x+7=0 或或 x- -1=0.解得解得 ， （4） ( (1- -2x) )2- -3=0 ，解解 原方程可以写成原方程可以写成 ( (1- -2x) )2- - = 0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解

9、，得 ( (1- -2x+ )()(1- -2x- - ) )=0.由此得出由此得出 1- -2x+ =0 或或 1- -2x- - =0.解得解得 ， 23()()33332x 1x 11+ 32x 2132x - -如何解如何解1.1节问题二中的方程：节问题二中的方程： 动脑筋动脑筋 0.01 t 2- -2t = 0. 可以用提公因式法把方程可以用提公因式法把方程的左边因式分解的左边因式分解把方程把方程的左边因式分解，得的左边因式分解，得 t( (0.01t - -2) )= 0. 由此得出由此得出 t= 0 或或 0.01t - -2 = 0 解得解得 t1= 0 ， t2= 200

10、. t1=0 表明小明与小亮第一次相遇表明小明与小亮第一次相遇；t2=200 表明经过表明经过200 s 小明与小亮再次相遇小明与小亮再次相遇 举举例例例例3 解下列方程：解下列方程： （1）5x2 + +15x=0； （2）x2=4x. （1）5x2 + +15x=0 把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 5x( (x+3) )= 0.解解:由此得出由此得出 5x=0 或或 x+ +3=0.解得解得 x1=0 ，x2= - -3. （2） x2 =4x 把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 x( (x- -4) )= 0.由此得出由此得出 x=0 或或 x- -4=0.解得解

11、得 x1=0 ，x2= 4. 原方程可以写成原方程可以写成 x2 - -4x = 0.解解:说一说说一说 小刚在解例小刚在解例 3 第第( (2) )题的方程时，把方程两题的方程时，把方程两边同除以边同除以 x，得，得 x = 4. 这样做对吗？为什么？这样做对吗？为什么？ 不对，因为在方程不对，因为在方程x2=4x中，中，x可以为可以为0.如果方程两边如果方程两边除以除以x，而，而0不能作除数，所不能作除数，所以是不对的，还会造成增根以是不对的，还会造成增根.举举例例例例4 解下列方程：解下列方程： （1）x( (x- -5) )=3x； （2）2x( (5x- -1) )=3( (5x-

12、-1) ). （1） x( (x- -5) )=3x 原方程可以写成原方程可以写成 x( (x- -5) )- -3x = 0.解解:由此得出由此得出 x =0 或或 x- -5- -3 = 0.解得解得 x1=0 ，x2= 8. 把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 x( (x- -5- -3) )= 0. （2） 2x( (5x- -1) )=3( (5x- -1) ) 把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 ( (5x- -1)()(2x- -3) )= 0.由此得出由此得出 5x- -1 = 0 或或 2x- -3 = 0. 原方程可以写成原方程可以写成 2x( (5x-

13、 -1) )- -3( (5x- -1) )= 0.解解:解得解得 121352xx , . , .小提示 从例从例1至例至例4看到，解一元二次方程的基本方看到，解一元二次方程的基本方法之一是因式分解法，即通过移项使方程右边为法之一是因式分解法，即通过移项使方程右边为0，然后把左边分解成两个一次因式的乘积，从，然后把左边分解成两个一次因式的乘积，从而转化成一元一次方程，进行求解而转化成一元一次方程，进行求解练习练习1.解下列方程：解下列方程：（1）x2- -7x=0； （2）3x2= 5x .（1） x2- -7x=0 ，解解把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 x( (x- -7)

14、)=0.由此得出由此得出 x = 0 或或 x- -7 = 0 .解得解得 x1=0 ， x2=7. （2） 3x2= 5x ， 原方程可以写成原方程可以写成 3x2- -5x = 0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 x( (3x- -5) )=0.由此得出由此得出 x = 0 或或 3x- -5 = 0.解得解得 ， 10 x 253 x. 解解2.解下列方程：解下列方程：（1）2x( (x- -1) )= 1- -x；（2）5x( (x+2) = 4x+8.（2） 5x( (x+2) )= 4x+8 ， 解解 原方程可以写成原方程可以写成 5x( (x+ +2) )- -4(

15、 (x+2) )= 0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 ( (5x- -4)()(x+ +2) )=0.由此得出由此得出 5x- -4 = 0 或或 x+2 = 0.解得解得 ， . （1） 2x( (x- -1) )= 1- -x ，解解 原方程可以写成原方程可以写成 2x( (x- -1)+)+( (x- -1) )= 0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 ( (2x+1)()(x- -1) )= 0.由此得出由此得出 2x+1 = 0 或或 x- -1 = 0.解得解得 ， .145x 22x 21x 112x中考中考 试题试题例例1 方程方程( (x- -1)

16、()(x+2) )=2( (x+2) )的根是的根是 . .移项，得移项，得( (x- -1)()(x+2) )- -2( (x+2) )=0.( (x+2)()(x- -3) )=0, x+2=0 或或 x- -3=0. x1=- -2，x2=3.解解x1=- -2，x2=3中考中考 试题试题例例2 方程方程 x3 - -4x = 0 的解是的解是 . .原方程变形为原方程变形为x( (x2- -4) )=0, ,即即 x( (x+2)()(x- -2) )=0, x=0 或或 x+2=0或或x- -2=0， x1=0，x2=- -2，x3=2.解解x1=0，x2=- -2，x3=2结结 束束