121任意角的三角函数 (3).ppt

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1、思考一二三例1例3四例2例4检测作业sincostanacaACBbcbcab答案初中时，我们怎样利用直角三角形定义了初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？锐角三角函数的呢？22:barOPbMPaOM其中 yx思考思考1 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Moabr知识 探究一OPMPsinOPOMcosOMMPtan，故因1 rOPyxxy以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆长度为半径的圆，称为单位圆. yoP),(yxx1M1、任

2、意角的三角函数第一定义、任意角的三角函数第一定义 设 是一个任意角任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP 规定规定:（1） 叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 xytanxytan 注意：正弦，余弦，正切都注意：正弦，余弦，正切都是以是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数.0 , 1AOyxyxP ,)0(x升级兼容 根据三角函数的定义，确定它们的根据三

3、角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）定义域（弧度制）思思考考3三角函数三角函数定义域定义域sincostanR)(2ZkkR0 , 1AOyxyxP , 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正的正切切，即，即xy0tanxxy2、任意角的三角函数第二定义：、任意角的三角函数第二定义：xyrOxyMP (x,y)诱思 探究如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在

4、终边上的位置，这三个比值会改变吗？思考四升级兼容 返回例例1、求、求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢? 3567,2167sin， 3367tanxyoAB35,2367cosC几个特殊角的三角函数值几个特殊角的三角函数值角角0o30o45o60o90o180o270o360o角角的弧的弧度数度数sinsincoscostantan2 32 2 0

5、00000001111 1 不不存存在在不不存存在在03 4 6 2222112323332123例例2、已知角、已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P22223( 4)5rxy 3cos5xr 4tan3yx 4sin5yr 于是于是，解：由已知可得：解：由已知可得：返回变式变式1、已知角、已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.5 ,12P135122222yxr1312cosrx125tanxy135sinry于是于是，解：由已知可得：解：由已知可得：合作 演练变式变式2 2：已知角已

6、知角的终边经过点的终边经过点P(2a,-3a)(a0)，求角，求角的的正弦、余弦、正切值正弦、余弦、正切值变式变式3 3：已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2a,-3a)，求角，求角的正弦、的正弦、余弦、正切值余弦、正切值变式4_,1313sin3(mmp则且终边上的一点，）是角，已知点23rm解析：131332mm21划归的思想划归的思想31322mm412 m返回1. 角角的终边经过点的终边经过点P(0, b)则则( )A.sin =0 B.sin =1C.sin =-1 D.sin =12.若角若角600o的终边上有一点的终边上有一点(-4, a),则则a的值是的值是( )DB3.

7、34.34.34 .DCBA 练习练习 三角函数的符号三角函数的符号三角函数在各象限内的符号：三角函数在各象限内的符号：1sinyr、正弦函数值, 00,yryr 第一象限：故为正值；, 00,yryr 第二象限：故为正值；oxy, 00,yryr 第三象限：故为负值；, 00,yryr 第四象限：故为负值；上正下负横为上正下负横为02cosxr、余弦函数值, 00,xrxr 第一象限：故为正值；, 00,xrxr 第二象限：故为负值；, 00,xrxr 第三象限：故为负值；, 00,xrxr 第四象限：故为正值；oxy三角函数在各象限内的符号：三角函数在各象限内的符号：左负右正纵为左负右正纵

8、为000,yxyx第一象限：故为正值；00,yxyx第二象限：故为负值；oxy00,yxyx第三象限：故为正值；00,yxyx第四象限：故为负值；3tanyx、正切函数值三角函数在各象限内的符号：三角函数在各象限内的符号：交叉正负交叉正负oxyoxyoxysincsc、cossec、tancot、规律：规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正” “一全二正弦，三切四余弦一全二正弦，三切四余弦”例例1 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3）250cos)672tan(4sin（2）因为）因为 = ， 而而 是第一象限

9、角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)483602tan(0)672tan(48练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号516cos)34sin()817tan(（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos解：解： （3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例2 sin0tan0若成立，则角为第几象限角角？0sin 三、四例例2 sin0tan0若成立，则角为第几象限角角？0sin 三、四0tan三一如果两个角的终边相同，那么这两个角如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？

10、的同一三角函数值有何关系？ ？yoP),(yxx1M如果两个角的终边相同，那么这两个角如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？的同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk（其中（其中 ）zk 公式作用：公式作用：可以把求任意角的三角函数值，可以把求任意角的三角函数值，转化为求转化为求 角的三角函数值角的三角函数值 . .360020到或到 ？例例3 求下列三角函数值：求下列三角函数值： （1） （2）49cos)611tan( 解：（解：（1） 2

11、24cos)24cos(49cos练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值319tan)431tan( 31336tan6tan)26tan()611tan(（2）yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()角角的终边与单位圆的终边与单位圆交于点交于点P.过点过点P作作x轴轴的垂线的垂线,垂足为垂足为M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|三角函数线三角函数线正弦线和余弦线正弦线和余弦线 【思考思考】为了去掉为了去掉上述等式中的绝对值上述等式中的绝对值符号符号, ,能

12、否给线段能否给线段OMOM、MPMP规定一个适当的方规定一个适当的方向向, ,使它们的取值与点使它们的取值与点P P的坐标一致的坐标一致? ?【定义定义】有向线段有向线段* 带有方向的线段叫有向线段带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量有向线段的大小称为它的数量.在坐标系中在坐标系中, ,规定规定: : 有向线段的方向与坐标系的方向相同有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时即同向时,数量为正数量为正;反向时反向时,数量为负数量为负.yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()

13、()() 当角当角的终边不在坐的终边不在坐标轴上时标轴上时,以以M为始点、为始点、P为终点为终点,规定规定: 当线段当线段MP与与y轴轴同向同向 时时,MP的方向为的方向为正向正向,且有且有正值正值y; 当线段当线段MP与与y轴轴反向反向时时MP的的方向方向为为负向负向,且有且有负值负值y. MP=y=sin 有有向线段向线段MP叫角叫角的的正正弦线弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos| 当角当角的终边不在坐的终边不在坐标轴

14、上时标轴上时,以以O为始点、为始点、M为终点为终点,规定规定: 当线段当线段OM与与x轴轴同向同向 时时,OM的方向为的方向为正向正向,且且有有正值正值x; 当线段当线段OM与与x轴轴反向反向时时,OM的方向为的方向为负向负向,且且有有负值负值x. OM=x=cos 有有向线段向线段OM叫角叫角的的余余弦线弦线TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T过点过点A(1,0)作单位作单位圆的切线圆的切线,设它与设它与的终边或其反向延的终边或其反向延长线相交于点长线相交于点T.tan

15、MPOMATyATOAx有向线段有向线段ATAT叫叫角角的的正切线正切线这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角分别叫做角的的正弦线、余弦线、正切正弦线、余弦线、正切线线,统称为统称为三角函数线三角函数线yxTM OP的的终边终边A(1,0)当角当角的终边与的终边与x轴重合时轴重合时,正弦线、正切正弦线、正切线线,分别变成一个点分别变成一个点,此时角此时角的的正弦值和正正弦值和正切值都为切值都为0;当角当角的终边与的终边与y轴重合时轴重合时,余余弦线变成一个点弦线变成一个点,正切线不存正切线不存在在,此时角此时角的的正切值不存在正切值不存在.例例 在

16、单位圆中作出符合下列条件的角的终边在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:;21sinxOy-1-11121y角的终边PM例题1(2)sin;2)(265,26Zkkk -1xy11-1O例例:在单位圆中作出符合条件的角的终边在单位圆中作出符合条件的角的终边: 21sin121y665Zkkk)652 ,62(-1xy11-1O例例:在单位圆中作出符合条件的角的终边在单位圆中作出符合条件的角的终边: 21cos221x335Zkkk352 ,32变式：变式： 写出满足条件写出满足条件 cos 的角的角的集合的集合.2123xOy-1-1116611323462 |k，或322k342kZkk，6

17、112Zkkkkk)6112 ,342322 ,62(课堂课堂 练习练习1.已知是第三象限且 ，问 是第几象限角？02cos 2 2.若在第四象限，试判sin(cos)cos(sin)的符号 课堂课堂 练习练习3 .若若lg(sintan )有意义，则有意义，则 是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第四象限角第四象限角 C 第一象限角或第四象限角第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或第一或第四象限角或x轴的正半轴轴的正半轴C4. 已知已知 的终边过点的终边过点(3a-9,a+2),且且cos 0,则则a的取值范围是的取值范围是 。-2a35.5.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：取值范围：(1)(1)sincos; sincos; 课堂课堂 练习练习1. 内容总结：内容总结： (1)三角函数的概念三角函数的概念.(2)三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号(3)诱导公式一诱导公式一.(4)三角函数线三角函数线运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想划归的思想，数形结合的思想.归纳 总结2 .方法总结：方法总结：3 .体现的数学思想：体现的数学思想：