25（1）等比数列的前n项和.ppt

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1、复习复习: :等差数列等比数列定义通项公式性质Sndaann1qaann1daann1qaann1dmnaamn)( mnmnqaa*( , , ,)mnrsm n r sNmnrsaaaamnrsa aa a2)(1nnaanS1(1)2nn nSnad2.5 2.5 等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式64个格子个格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒 依次类推456781567812334264个格子你认为国王你认为国王有能力满足有能力

2、满足上述要求吗上述要求吗每个格子里的麦粒数都是每个格子里的麦粒数都是前 一个格子里麦粒数的一个格子里麦粒数的2倍, 且共有且共有 64 格子格子.2213263220212?由刚才的例子可知：实际上就是一个以由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，为首项，2为公比的等比数列的前为公比的等比数列的前64项的求和问题，即：项的求和问题，即： 842164S 636222 把上式左右两边同乘以把上式左右两边同乘以2 2 得：得：646322842264S16+由由- - 得：得：126464S=184467440737095516151.841910错位相减法错位相减法如果造一个宽四米，高四米的

3、粮仓来储存这些粮食，如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道75007500圈，或在太阳和地球之间打个来回。圈，或在太阳和地球之间打个来回。842164S 636222 把上式左右两边同乘以把上式左右两边同乘以2 2 得：得：646322842264S16+由由- - 得：得：126464S错位相减法错位相减法如何求等比数列的如何求等比数列的SnSn: :nnnaaaaaS132111212111nnnqaqaqaqaaSnnqaqaqaqaqa11131211 ，得nnqaaSq1100)1 (nnqa

4、aSq11)1 (错位相减法错位相减法nqS（q1）qqaSnn111等比数列前等比数列前n项和公式的推导项和公式的推导思考：那思考：那q=1怎么办呢？怎么办呢？提示：提示：q=1说明数列有什么特点？说明数列有什么特点？（q1）qqaSnn1111.1.使用公式求和时，需注意对使用公式求和时，需注意对 和和 的情况加以讨论；的情况加以讨论；1q1q) 1(1)1 () 1(11qqqaqnaSnn2.2.推导公式的方法：错位相减法。推导公式的方法：错位相减法。注意：注意：等比数列前等比数列前n项和公式的推导项和公式的推导等比数列前等比数列前n n项公式项公式1 qqqaaSnn 11qqaSn

5、n 1)1(1当当时，时， 或或当当q=1时，时，1naSn 11 ,nqSna(1)当时11 ,nnaqqSq（1- ）(2)当时1-因为因为11nnaaq1nna a qSq-或1- 1, , aq n若已知则选用公式； 1, ,na q a若已知则选用公式 。等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导1nnaaaaS 321一般地，设等比数列一般地，设等比数列a1, a2, a3, , annnqaaSq11)1( 它的前它的前n项和是项和是 11321nnnnqaaaaaaS由由nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111得当当q

6、1时，时，qqaSnn 1)1(1当当q=1时，等时，等比比数列的前数列的前n项项和和是什么？是什么？1naSn 或或qqaaSnn 11等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导2由定义由定义,qaaaaaann 12312等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导2由定义由定义,qaaaaaann 12312qaSaSaaaaaannnnn 112132由等比的性质由等比的性质,等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导2由定义由定义,qaaaaaann 12312qaSaSaaaaaannnnn 112132qaSaSnnn 1由等比的性质由等比的性质

7、,即即等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导2由定义由定义,qaaaaaann 12312qaSaSaaaaaannnnn 112132qaSaSnnn 1qaaSqnn 1)1(由等比的性质由等比的性质,即即等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导2由定义由定义,qaaaaaann 12312qaSaSaaaaaannnnn 112132qaSaSnnn 1qaaSqnn 1)1(由等比的性质由等比的性质,即即当当q1时，时，qqaSnn 1)1(1等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导2由定义由定义,qaaaaaann 12312qaSaSaa

8、aaaannnnn 112132qaSaSnnn 1qaaSqnn 1)1(由等比的性质由等比的性质,即即当当q1时，时，qqaSnn 1)1(1或或qqaaSnn 11等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导2由定义由定义,qaaaaaann 12312qaSaSaaaaaannnnn 112132qaSaSnnn 1qaaSqnn 1)1(由等比的性质由等比的性质,即即当当q1时，时，qqaSnn 1)1(1或或qqaaSnn 11当当q1时，时，.1naSn等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导3nnaaaaS 321等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导

9、项和公式的推导3)(13211 naaaaqannaaaaS 321等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导3)(13211 naaaaqa11 nqSannaaaaS 321等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导3)(13211 naaaaqa11 nqSa)(1nnaSqa nnaaaaS 321等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导3)(13211 naaaaqa11 nqSa)(1nnaSqa qaaSqnn 1)1(nnaaaaS 321等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导3nnaaaaS 321)(13211 naaa

10、aqa11 nqSa)(1nnaSqa 当当q1时，时，qqaSnn 1)1(1或或qqaaSnn 11当当q1时，时，.1naSnqaaSqnn 1)1(等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导 “方程方程”在代数课程里占有重要的地在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决知量之间搭起桥梁，使问题得到解决等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式当当q1时，时，.11qqaaSnn 当当q1时，时，;1naSn 或或,1)1(1q

11、qaSnn n+1判断是非判断是非n2222132n21211)(nncccc26422221)(1 cccnn）（ 2)()(21211n12168421n)(2n21c 可能为或或0公式运用公式运用29663已知已知na是等比数列，请完成下表：是等比数列，请完成下表：题号题号a1qnanSn(1) (2)(3)21218例例1 12112112188)(S解：解：8211)(2562557)21(21821)(256125612562558a11nnqaa29663827已知已知na是等比数列，请完成下表：是等比数列，请完成下表：题号题号a1qnanSn(1) (2)(3)21218324

12、65例例1 1解：解：qqaaS141432132827256125625565832271nna)(313232)()(nna4n已知已知na是等比数列，请完成下表：是等比数列，请完成下表：a1、q、n、an、Sn中中例例1 1题号题号a1qnanSn(1) (2)(3)212183246532962561256255636827知三求二知三求二例例1、求下列等比数列前、求下列等比数列前8项的和项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：时所以当8n 256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得

13、：又由, 0q31q时于是当8n 811640)31(1311278nS 6166113 223,96nnnaaSaaSq 补例已知等比数列中，（），求 ；（）已知：，求 及。113 262nnaaq 解：（）由得，6666(1 2 )6(21) 3781 2S 551623,96 96 3322aaqqq （）由得，即，66663(1 2 )3 2 963(21) 1891891 21 2SS 或课本58页练习16, 2, 3) 1 (1nqa21)21 (36nS901,31, 7 . 2)2(1naqa)31(1)31(9017 . 2nS1894591课本61页A3 求数列求数列 的前

14、的前n n项的和项的和. .,161814121拓展拓展分组求和分组求和反反思思1614813412211nS)21(nn解解:)21814121(n)321 (n2) 1( nn211)21(1 21nnnn21122)21()813 ()412()211 (nn4321课本61页A4例2.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%) (1+10%)台21 . 15000第

15、n年产量为台11 . 15000n则n年内的总产量为：121 . 151 . 151 . 155n例例2.某商场第一年销售计算机某商场第一年销售计算机5000台台,如果平均每年的如果平均每年的销售量比上一年增加销售量比上一年增加10%,那么从第一年起那么从第一年起,约几年内约几年内可使总销售量达到可使总销售量达到30000台台(保留到个位保留到个位)?,:增加的百分率相同每年的销售量比上一年根据题意解 ,na等比数列每年的销售量组成一个所以从第一年起50001a1 . 1%101q30000nSqqaSnnn1)1 (300001 . 11)1 . 11 (5000n即6 . 11 . 1n即

16、6 . 1lg1 . 1lg,n得两边取对数5n得答答:约约5年内可以使总销售量达到年内可以使总销售量达到30000台台.补例补例2求数列求数列 前前n项项的和的和.1111 1 , 2 , 3 , 4,.248161( )2nnan 解：由已知2111(1 2) ()222nnSn 所以111 ( ) (1)221212nn n(1)11 ( )22nn n 22131(1 2)(1 2 2 ).(1 2 22 )n 补例求数列 ，的前项和.21.nnnnanS分析：此数列的第 项本身就是一个求和的问题，此通项为，由此再来求数列的前 项和211 (21)1 2 22212 1nnnna 解：

17、212(2 1) (21)(21)nnnSaaa 212(21)2 22222 1nnnnnn 注：当数列的通项为特殊数列时，注意对通项的化注：当数列的通项为特殊数列时，注意对通项的化简，找出其与特殊数列的关系，转化为等差、等比简，找出其与特殊数列的关系，转化为等差、等比等特殊数列的问题。等特殊数列的问题。回顾回顾1.1.等比数列前等比数列前n n项公式项公式1 qqqaaSnn 11qqaSnn 1)1(1当当时，时， 或或当当q=1时，时，1naSn 当已知当已知1a, q, 1ana, q, n 时用公式时用公式；当已知；当已知时，用公式时，用公式.111,2nnnSnaSSn， 2.3

18、.) 1() 1(111naSSnaSnnn课本61页A66396932SSSSSS成等差数列，解：时，当1qqqaqqaqqa1)1 (1)1 (1)1 (2613191)1 ()1 ()1 (2639qqq369-22-2qqq 即：, 02369qqq)0(01236qqq课本61页A61236qq,214171qaqaqa2582aaa即成等差数列；852,aaa时，当1q，852aaa成等差数列。852,aaa2582aaa其实其实: nnaaaSaaaS2421231, 偶偶奇奇则则奇奇偶偶qSS 思考：已知一等比数列思考：已知一等比数列an,其项数为偶其项数为偶数，其所有奇数项的

19、和为数，其所有奇数项的和为S奇奇=100 ，公，公比比q=2，求其所有偶数项的和，求其所有偶数项的和S偶偶。 71472114nnaSSSSSS已知数列是等比数列，是其前项和，求证： ，成等比数列。71141211171421qSaSaSa证明：时，147211470SSSSS此时，71472114SSSSS，成等比数列1q 当时，7142111171421(1)(1)(1)111aqaqaqSSSqqq，271422147221114722()(1)()(1)(1)aqqa qqSSqq此时7142121472111721142(1)()(1)()11(1)aqa qqa qqSSSqqq214772114()()SSSSS71472114SSSSS，成等比数列*232 kkkkkkNSSS SS当， ，也成等比数列吗？是，但是，这是有前提的！这数列里面的任何一项都不能为0！课本58页练习2