双曲线的定义及其标准方程(1).ppt

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1、2022年年8月月23日星期二日星期二拼搏改变命运，励志照亮人生拼搏改变命运，励志照亮人生 高高20122012级数学备课组级数学备课组主备人：主备人： ， ，问题问题1 1：椭圆的定义是什么？椭圆的定义是什么？平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的的距离的和和等于常数（等于常数（大于大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆。问题问题2 2：椭圆的标准方程是怎样的椭圆的标准方程是怎样的? ?222222221(0)1(0)xyyxa ba babab 或 ， ， 关系如何？关系如何？abc222abc问题问题3 3：如果把椭圆定义中如果把椭圆定义中“距离的距离的和和

2、”改为改为“距离的距离的差差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？那么动点的轨迹会发生怎样的变化？平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的的距离的差的绝对值差的绝对值等于常数等于常数（小于（小于|F1F2|，且不等于，且不等于0）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做双曲线。双曲线。这两个定点叫做双曲线的这两个定点叫做双曲线的焦点，焦点，两焦点间的距离叫两焦点间的距离叫做双曲线的做双曲线的焦距。焦距。通常情通常情况下，我们把下，我们把|F1F2|记为记为2c2c（c0)c0)； 常数记为常数记为2a(a0)2a(a0).问题问题4:4:定义中为什么强调定义中为什么强调常数常数要要小于小于|F|F

3、1 1F F2 2| |且不等于且不等于0 0（即（即02a2c02a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？若若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？此时轨迹为以此时轨迹为以F F1 1或或F F2 2为端点的为端点的两条射线两条射线此时此时轨迹不存在轨迹不存在此时轨迹为线段此时轨迹为线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线F1F2F1F2分分3种情况来看：种情况来看：(4)理解双曲线的定义要紧扣理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离为定值且小于两定点的距离”对双曲线定义的理解对双曲线定义的理解(1)把定常数记为把定常数记为2a

4、，当，当2a|F1F2|时，时，其轨迹是双曲线；其轨迹是双曲线；其轨迹是以其轨迹是以F1、F2为端点的两条射线为端点的两条射线(包括端点包括端点)；其轨迹不存在其轨迹不存在其轨迹是其轨迹是线段线段F F1 1F F2 2的垂直平分线。的垂直平分线。则点则点P在左支上在左支上若点若点P满足满足|PF1|PF2|2a， 则点则点P在右支上；在右支上；F1、F2表示双曲线的左、右焦点，表示双曲线的左、右焦点，若点若点P满足满足|PF2|PF1|2a，原则：原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段一般利用对称轴或已有的互相垂

5、直的线段所在的直线作为坐标轴所在的直线作为坐标轴.).) 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxy方案一方案一Oxy(对称、对称、“简简洁洁”)1F2FMOxy方案二方案二F2F1MxOy2.设点设点:设设M（x , y）,双曲线的焦双曲线的焦距为距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数常数=2a双曲线方程的推导双曲线方程的推导1. 建系：建系：如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系xOy，使，使x轴经过点轴经过点 ， ，并且点并且点O与线段与线段 中点重中点重合合.1F2F1 2FF 222222()2()xcyaxcy 222()cxaaxc

6、y 22222222()()caxa yaca 222bca令令22221(0,0)xyabab4.4.化简化简. .2222()()2x cyx cya 即即3.列式列式:122MFMFa 22221xyab22221yxabF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy(00)ab，若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?看看 前的系数，哪一个为正，前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上则在哪一个轴上22,xy“焦点跟着正项走焦点跟着正项走”22221(0,0)yxabab22221(0,0)xyabab三三. .双曲线两种标准方程的比较双曲线两种标准方程的比较 方程用方程用“”号连接。号连

7、接。 分母是分母是 但但 大小不定。大小不定。22,0,0abab,a b 。 222cab如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上；如果轴上；如果 的系数是正的，则的系数是正的，则焦点在焦点在 轴上。轴上。2xx2yyOMF2F1xyF2 2F1 1MxOy对双曲线标准方程的理解对双曲线标准方程的理解(3)焦点焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型标准方程的类型“焦点跟着正项走焦点跟着正项走”，若，若x2项的系数为正，则焦项的系数为正，则焦点在点在x轴上；若轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在项的系

8、数为正，那么焦点在y轴上轴上(1)只有当双曲线的两焦点只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段在坐标轴上，并且线段F1F2的垂的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程(2)标准方程中的两个参数标准方程中的两个参数a和和b，确定了双曲线的形状和大小，是，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里双曲线的定形条件，这里b2c2a2，与椭圆中与椭圆中b2a2c2相区别，相区别，且椭圆中且椭圆中ab0，而双曲线中，而双曲线中a、b大小则不确定大小则不确定(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，用待定

9、系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为可设双曲线的标准方程为Ax2By21(AB680|AB|680m, ,所以爆炸点所以爆炸点的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. . 例例2.2.(.(课本第课本第5454页例页例) )已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆地听到炮弹爆炸声比在炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系x

10、O Oy, ,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx221(0)11560044400 xyx2800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为22244400bca 答答: :再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用，利用B、C（或（或A、C）两处）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置准确位置. .这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用. .PBA Cxyo补充题补充题: :如果方程如果方程 表示双表示双曲线，求曲线，求m的取值范围的取值范围. .22121xymm解解: :22121xymm 思考：思考：21得或mm (2)(1)0由m m2m 222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）F ( c, 0) F(0, c)12222byax12222 bxayyxoF2F1MxyF2F1M谁正谁对应谁正谁对应a 请同学们认真完成 名门基训和点金训练相应作业,名门基训作业要交。谢谢！