第2课时　整式.ppt

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1、整式(含因式分解）(1)(1)单项式单项式是由数与字母的乘积组成的代数式；是由数与字母的乘积组成的代数式； 单独的一个数或字母也是单项式；单独的一个数或字母也是单项式； 单项式的数字因数叫做单项式的单项式的数字因数叫做单项式的系数系数； 单项式中所有字母的单项式中所有字母的指数的和指数的和叫做单项式的叫做单项式的次数次数，而，而且且次数只与字母有关次数只与字母有关。(2)(2)多项式多项式是建立在单项式概念基础上，几个是建立在单项式概念基础上，几个单项式的和单项式的和就是就是多项式多项式； 每个单项式是该多项式的一个每个单项式是该多项式的一个项；项；每项包括每项包括它前面的它前面的符号符号，这

2、点一定要注意。，这点一定要注意。 组成多项式的每个单项式的次数是该多项式各项的组成多项式的每个单项式的次数是该多项式各项的次次数数；“几次项几次项”中中“次次”就是指这个就是指这个次数次数； 多项式的多项式的次数次数，是指示最高次项的，是指示最高次项的次数次数。(3)(3)根据加法的交换律和结合律，可以把一个多项式的各根据加法的交换律和结合律，可以把一个多项式的各项重新排列，移动多项式的项时，需连同项重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号项的符号一起一起移动，这样的移动移动，这样的移动并没有改变项的符号和多项式的值并没有改变项的符号和多项式的值。 把一个多项式按某个字母的把一个多项式按某个

3、字母的指数从大到小的顺序指数从大到小的顺序排列排列起来叫做把该多项式按这个字母的起来叫做把该多项式按这个字母的降幂排列降幂排列； 把一个多项式按某个字母的把一个多项式按某个字母的指数从小到大的顺序指数从小到大的顺序排列排列起来叫做把该多项式按这个字母的起来叫做把该多项式按这个字母的升幂排列。升幂排列。 排列时，一定要看清楚是按哪个字母，进行什么样的排列时，一定要看清楚是按哪个字母，进行什么样的排列（升幂或降幂）排列（升幂或降幂）(4)(4) 单项式单项式和和多项式多项式是统称为是统称为整式整式。 指出下列代数式中哪些是单项式？哪些是指出下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？多项式

4、？哪些是整式？ 例例1 1 评析：本题需应用单项式、多项式、整式的意义来解答。单评析：本题需应用单项式、多项式、整式的意义来解答。单项式只含有项式只含有“乘积乘积”运算；多项式必须含有加法或减法运算。运算；多项式必须含有加法或减法运算。不论单项式还是多项式，分母中都不能含有字母。不论单项式还是多项式，分母中都不能含有字母。解：解：zyxbamtsxxab322241,11, 13, 5,32, 0单项式有：单项式有：zyxxab32241, 5, 0多项式有：多项式有：13,322mx整式有：整式有：zyxmxxab322241, 13, 5,32, 0 例例2 2 评析：对含有两个或两个以上

5、字母的多项式重新排列，先要评析：对含有两个或两个以上字母的多项式重新排列，先要确定是按哪个字母升（降）幂排列，再将确定是按哪个字母升（降）幂排列，再将常数项或不含这个常数项或不含这个字母的项字母的项按照按照升幂升幂排在排在第一项第一项，降幂降幂排在排在最后一项最后一项。(1)(1)按按x x的升幂排列；的升幂排列；(2)(2)按按y y的降幂排列。的降幂排列。按下列要求排列将多项式723232244yxyxyxxy解：解： (1)(1)按按x x的升幂排列：的升幂排列：(2)(2)按按y y的降幂排列：的降幂排列：432242327xyxyxxyy723243224xxyyxyxy1 1、对于

6、、对于同类项同类项应从概念出发，掌握判断标准：应从概念出发，掌握判断标准：(1)(1)字母相同；字母相同；(2)(2)相同字母的指数相同；相同字母的指数相同；(3)(3)与系数无关；与系数无关；(4)(4)与字母的顺序无关。与字母的顺序无关。 2 2、合并同类项合并同类项是整式加减的基础。是整式加减的基础。法则：法则：合并同类项，合并同类项，只把系数相加减，字母及字母的指数不变只把系数相加减，字母及字母的指数不变。注意以下几点：注意以下几点：( (前提：正确判断同类项前提：正确判断同类项) )(1)(1)常数项是同类项，所以几个常数项可以合并；常数项是同类项，所以几个常数项可以合并；(2)(2

7、)两个同类项系数互为相反数，则这两项的和等于两个同类项系数互为相反数，则这两项的和等于0 0；(3)(3)同类项中的同类项中的“合并合并”是指同类项是指同类项系数求和系数求和，把所得到，把所得到结果作为新的项的结果作为新的项的系数系数，字母与字母的指数不变字母与字母的指数不变。(4)(4)只有同类项才能合并，不是同类项就不能合并。只有同类项才能合并，不是同类项就不能合并。 例例1 1 若若-5a-5a3 3b bm+1m+1与与8a8an+1n+1b b2 2是同类项，求是同类项，求(m-n)(m-n)100100的值。的值。解：由同类项的定义知：解：由同类项的定义知：m+1=2m+1=2，n

8、+1=3n+1=3；解得；解得m=1m=1，n=2n=2 (m-n) (m-n)100100=(1-2)=(1-2)100100=(-1)=(-1)100100=1=1 答：当答：当m=1m=1，n=2n=2时，时，(m-n)(m-n)100100=1=1。评析：例评析：例1 1要注意同类项概念的应用；例要注意同类项概念的应用；例2 2要注意几位要注意几位数的表示方法。如：数的表示方法。如：578=5578=5100100+7+71010+8+8。 例例22如果一个两位数的个位数是十位数的如果一个两位数的个位数是十位数的4 4倍，那么倍，那么这个两位数一定是这个两位数一定是7 7的倍数。请说明

9、理由。的倍数。请说明理由。解：设两位数的十位数字是解：设两位数的十位数字是x x，则它的个位数字是，则它的个位数字是4x4x。这个两位数可表示为：这个两位数可表示为：10 x+4x=14x10 x+4x=14x，14x14x是是7 7的倍数，故这个两位数是的倍数，故这个两位数是7 7的倍数。的倍数。思考：计算思考：计算(1)-a(1)-a2 2-a-a2 2-a-a2 2；(2)a(2)a3 3+a+a2 2b+abb+ab2 2-a-a2 2b-abb-ab2 2-b-b2 21 1、整式加减的一般步骤是：、整式加减的一般步骤是：(1)(1)如果有括号，那么要先去括号；如果有括号，那么要先去

10、括号；(2)(2)如果有同类项，再合并同类项；如果有同类项，再合并同类项；2 2、去去( (添添) )括号都是多项式的恒等变形；括号都是多项式的恒等变形； 去去( (添添) )括号时一定对照法则把去掉括号时一定对照法则把去掉( (添上添上) )括号与括号的括号与括号的符号看成统一体，不能拆开。符号看成统一体，不能拆开。 遇到括号前面是遇到括号前面是“-”-”时，容易发生漏掉括号内一部时，容易发生漏掉括号内一部分项的变号，所以，要注意分项的变号，所以，要注意“各项各项”都要都要变号变号。不是只。不是只变第一项的符号。变第一项的符号。 例例1 1 求减去求减去-x-x3 3+2x+2x2 2-3x

11、-1-3x-1的差为的差为-2x-2x2 2+3x-2+3x-2的多项式的多项式评析：把一个代数式看成整体，添上括号。利用已评析：把一个代数式看成整体，添上括号。利用已知减数和差，求被减数应该用加法运算。知减数和差，求被减数应该用加法运算。解：解：(-x(-x3 3+2x+2x2 2-3x-1)+(-2x-3x-1)+(-2x2 2+3x-2)+3x-2)=-x=-x3 3+2x+2x2 2-3x-1-2x-3x-1-2x2 2+3x-2=-x+3x-2=-x3 3-3-3答：所求多项式为：答：所求多项式为：-x-x3 3-3-3。已知已知a a2 2+ab=-3+ab=-3，ab+bab+b

12、2 2=7=7，试求，试求a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2；a a2 2- -b b2 2的值。的值。 例例2 2 解：解：a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=(a=(a2 2+ab)+(ab+b+ab)+(ab+b2 2)=-3+7=4)=-3+7=4 a a2 2-b-b2 2=(a=(a2 2+ab)-(ab+b+ab)-(ab+b2 2)=-3-7=)=-3-7=-10-10评析：这是利用评析：这是利用“整体代入整体代入”思想求值的一个典型思想求值的一个典型题目，关键是利用题目，关键是利用“拆项拆项”后添加括号重新组合，后添加括号重新组合，巧妙求解。巧妙求解。 练习练

13、习 1.1.已知已知a a2 2-ab=2-ab=2，4ab-3b4ab-3b2 2=-3=-3，试求，试求a a2 2-13ab+9b-13ab+9b2 2-5-5的值。的值。2.2.化简求值：化简求值：3x3x2 2-7x-(4x-3)-2x-7x-(4x-3)-2x3 3 ，其中，其中x=-0.5x=-0.53.3.某人做了一道题：某人做了一道题：“一个多项式减去一个多项式减去3x3x2 2-5x+1”-5x+1”，他误将减去，他误将减去3x3x2 2- -5x+15x+1写为加上写为加上3x3x2 2-5x+1-5x+1，得出的结果是，得出的结果是5x5x2 2+3x-7+3x-7。求

14、出这道题的正确结果。求出这道题的正确结果。提示：提示：a a2 2-13ab+9b-13ab+9b2 2-5=(a-5=(a2 2-ab)-3(4ab-3b-ab)-3(4ab-3b2 2)-5)-5 答案：答案：-1-1提示：提示：先设被减数为先设被减数为A A，可由已知求出多项式，可由已知求出多项式A A，再计算再计算A-(A-(3x3x2 2-5x+1)-5x+1)(ab)n=anbn(n为正整数为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘再把所得的幂相乘aman=am+n(m，n都是正整数都是正整数)即同底数幂相乘，底数

15、不变，指数相加即同底数幂相乘，底数不变，指数相加1.整数指数幂的运算法则：整数指数幂的运算法则：(am)n=amn(m，n都是正整数都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘即幂的乘方，底数不变，指数相乘)0(1);0( 10aaaaann),(都是整数nmaaanmnm多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加2、整式乘法法则：整式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加;222)(;2)(;)(:.

16、3222222222acbcabcbacbababababababa乘法公式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.整式除法法则：整式除法法则：单项式除以单项式是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式； 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式例.计算：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)(-7x2y)；例已知x2-2x=2，将下式化简，再求值(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)1、把 化成 的形式，叫做把这个多项式因式分解。2、因式分解与 是互逆变形，分解的结果对不对可以用 运算检验 一个多项式 几个整式的乘积

17、 整式乘法整式乘法3、有（1） （2），两种因式分解的方法。 运用公式法提公因式法()下列解法对吗？若不对，应如何改正？解： -x4y5+x2y2-xy=-xy(x3y4-xy)解：解法不对改正：-x4y5+x2y2-xy = -xy(x3y4-xy+1)（）2a(b-c)-3(c-b)2 =2a(b-c)+3(b-c)2 =(b-c)(2a+3b-3c)解：解法不对改正：2a(b-c)-3(c-b)2 =2a(b-c)-3(b-c)2 =(b-c)(2a-3b+3c)例：分解因式x4-2x2+1 (x2+y2)2-4x2y2 a5b3-a3b5例2因式分解的一般步骤怎样？1、如果多项式的各项

18、有公因式，那么首先提公因式；2、如果多项式的各项没有公因式，那么接着尝试用公式； 、多种方法综合试；、因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。练习：()如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式(x+y)，那么另外的因式是( )(A)x2+y2 (B)(x-y)2(C)(x+y)(x-y) (D)(x+y)2B()a(a+b)+c(-a-b)因式分解的结果是( )(A)(a-b)(a-c) (B)(a-b)(a-c)(C)(a+b)(a-c) (D)(a+b)(a+c)C()把下列各式因式分解：4x4-12x2y2+9y2 (x2-x)2-14(x2-x)+49m2(m-1)-4(1-m)2小结、因式分解的两种基本方法、因式分解的两种基本方法、因式分解的一般步骤、因式分解的一般步骤、按其项数试探分解方法：、按其项数试探分解方法：（1 1）多项式是两项时，考虑用平方差公式）多项式是两项时，考虑用平方差公式分解因式（两项为异号时）分解因式（两项为异号时）（2 2）多项式是三项时，考虑用完全平方公）多项式是三项时，考虑用完全平方公式分解因式式分解因式强调：因式分解必须分解到每一个因式都不强调：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。能再分解为止。