2016-2017学年人教A版选修2-1_232_第2课时_双曲线方程及性质的应用课件(54张).ppt

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1、第2课时双曲线方程及性质的应用类型类型 一一 直线与双曲线的位置关系的判定直线与双曲线的位置关系的判定 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013汝阳高二检测汝阳高二检测) )若直线若直线y=kx+2y=kx+2与双曲线与双曲线x x2 2-y-y2 2=6=6的的右支交于不同的两点右支交于不同的两点, ,那么那么k k的取值范围是的取值范围是( () )A.(- , )A.(- , )B.(0, )B.(0, )C.(- ,0)C.(- ,0) D.(- ,-1) D.(- ,-1)1531531531531532.(20132.(2013大理高二检测大理高二检测) )已知双曲线已知双

2、曲线C:2xC:2x2 2-y-y2 2=2=2与点与点P(1,2).P(1,2).求过点求过点P(1,2)P(1,2)的直线的直线l的斜率的取值范围的斜率的取值范围, ,使使l与与C C只有一个交只有一个交点点. .【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中直线中直线y=kx+2y=kx+2过定点吗过定点吗? ?2.2.“当直线当直线l与双曲线有且只有一个交点时与双曲线有且只有一个交点时, ,则则=0=0”, ,这句这句话对吗话对吗? ?探究提示探究提示: :1.1.直线直线y=kx+2y=kx+2恒过定点恒过定点(0,2).(0,2).2.2.这句话不正确这句话不正确. .当直线与双曲线只有

3、一个公共点时当直线与双曲线只有一个公共点时, ,除了除了=0=0的情况的情况, ,还有直线与渐近线平行的情况还有直线与渐近线平行的情况. .【解析解析】1.1.选选D.D.方法一方法一: :直线直线y=kx+2y=kx+2过定点过定点(0,2)(0,2)(如图如图),),由图可知由图可知, ,l2 2渐近线渐近线, ,且且 =-1,=-1,l1 1与双曲线相切与双曲线相切, ,若若l1 1的斜率的斜率为为 , ,那么显然当那么显然当 k-1k-1时时, ,直线与双曲线的右支有两个直线与双曲线的右支有两个不同的公共点不同的公共点. .由由 得得(1-k(1-k2 2)x)x2 2-4kx-10=

4、0,-4kx-10=0,令令=0=0可解得可解得 ( (舍舍).).故由图可知故由图可知k k的取值范围是的取值范围是(- ,-1).(- ,-1).22ykx2xy6,11515k,33 l1531kl2kl1kl方法二方法二: :由由 得得(k(k2 2-1)x-1)x2 2+4kx+10=0.+4kx+10=0.设直线与双曲线的两交点为设直线与双曲线的两交点为(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2),),两交点都在双曲线的右支上两交点都在双曲线的右支上, ,22ykx2xy6,221221224k4 10 k104kxx01k10 x x0k1 ，- k-1.-

5、 k0,-1)0,得得故故k k的取值范围为的取值范围为(- ,-1)(-1,1)(1, ).(- ,-1)(-1,1)(1, ).22ykx2xy6,1515k.33153153【拓展提升拓展提升】直线与双曲线交点个数问题的处理方法直线与双曲线交点个数问题的处理方法 把直线与双曲线的方程联立成方程组把直线与双曲线的方程联立成方程组, ,通过消元后化为一元通过消元后化为一元二次方程二次方程, ,在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式. .(1)0(1)0时时, ,直线与双曲线有两个不同的交点直线与双曲线有两个不同的交点. .(2)=0(2)=0时时

6、, ,直线与双曲线只有一个公共点直线与双曲线只有一个公共点. .(3)0(3)0时时, ,直线与双曲线没有公共点直线与双曲线没有公共点. . 另外另外, ,当直线平行于双曲线的渐近线时当直线平行于双曲线的渐近线时, ,直线与双曲线只有直线与双曲线只有一个公共点一个公共点, ,故直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相故直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要而不充分条件切的必要而不充分条件. .【变式训练变式训练】已知双曲线已知双曲线x x2 2-y-y2 2=4,=4,直线直线l:y=k(x-1),:y=k(x-1),试讨论实试讨论实数数k k的取值范围的取值范围, ,使使: :

7、(1)(1)直线直线l与双曲线有一个公共点与双曲线有一个公共点. .(2)(2)直线直线l与双曲线有两个公共点与双曲线有两个公共点. .(3)(3)直线直线l与双曲线没有公共点与双曲线没有公共点. .【解析解析】由由得得(1-k(1-k2 2)x)x2 2+2k+2k2 2x-kx-k2 2-4=0.-4=0.( (* *) )当当1-k1-k2 2=0,=0,即即k=k=1 1时时, ,直线直线l与双曲线的渐近线平行与双曲线的渐近线平行, ,方程化为方程化为2x=5,2x=5,故此时方程故此时方程( (* *) )只有一个实数解只有一个实数解; ;当当1-k1-k2 20,0,即即kk1 1

8、时时,=(2k,=(2k2 2) )2 2-4(1-k-4(1-k2 2)(-k)(-k2 2-4)=4(4-3k-4)=4(4-3k2 2).).22xy4,yk x1当当 即即 且且kk1 1时时, ,方程方程( (* *) )有有两个不同的实数解两个不同的实数解; ;当当 即即k=k= 时时, ,方程方程( (* *) )有两个相同的实数解有两个相同的实数解; ;当当 即即k- k k 时时, ,方程方程( (* *) )无实数解无实数解. .2243k0,1k0, 2 32 3k332 332243k0,1k0, 2243k0,1k0 ,2 332 33综上所述综上所述: :(1)(1

9、)当当k=k=1 1或或k=k= 时时, ,直线与双曲线有一个公共点直线与双曲线有一个公共点. .(2)(2)当当- k - k 且且kk1 1时时, ,直线与双曲线有两个公共点直线与双曲线有两个公共点. .(3)(3)当当k- k k 时时, ,直线与双曲线没有公共点直线与双曲线没有公共点. .2 332 332 332 332 33类型类型 二二 直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线的相交弦问题 【典型例题典型例题】1.1.过点过点(0,1)(0,1)且斜率为且斜率为1 1的直线交双曲线的直线交双曲线 于于A,BA,B两点两点, ,则则|AB|=|AB|=. .2.2.经过点经过点M(2,

10、2)M(2,2)作直线作直线l交双曲线交双曲线 于于A,BA,B两点两点, ,且且M M为为ABAB中点中点. .(1)(1)求直线求直线l的方程的方程. .(2)(2)求线段求线段ABAB的长的长. .22yx1422yx14【解题探究解题探究】1.1.弦长公式的内容是什么弦长公式的内容是什么? ?2.2.解决中点弦问题的常用方法是什么解决中点弦问题的常用方法是什么? ?探究提示探究提示: :1.|AB|= |x1.|AB|= |x1 1-x-x2 2| |或或|AB|= |y|AB|= |y1 1-y-y2 2| |( (其中其中k k是直线的斜率是直线的斜率, ,当当k=0k=0时用前者

11、时用前者).).2.2.解决中点弦问题的常用方法是点差法解决中点弦问题的常用方法是点差法, ,即把两端点代入曲线即把两端点代入曲线方程作差方程作差, ,利用平方差公式得直线斜率再求解利用平方差公式得直线斜率再求解. .21k211k【解析解析】1.1.可知直线的方程为可知直线的方程为y=x+1.y=x+1.与双曲线方程与双曲线方程x x2 2- =1- =1联立消去联立消去y y得得, ,3x3x2 2-2x-5=0.-2x-5=0.设方程设方程3x3x2 2-2x-5=0-2x-5=0的解为的解为x x1 1,x,x2 2, ,则有则有x x1 1+x+x2 2= ,x= ,x1 1x x2

12、 2=- ,=- ,|AB|= |x|AB|= |x1 1-x-x2 2|=|= =答案答案: :2y423532212122xx4x x420822.9338 232.(1)2.(1)设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),代入双曲线方程得代入双曲线方程得 两式相减得两式相减得 , ,(x(x1 1+x+x2 2)(x)(x1 1-x-x2 2)- (y)- (y1 1+y+y2 2)(y)(y1 1-y-y2 2)=0.)=0.MM为为ABAB的中点的中点,x,x1 1+x+x2 2=4,y=4,y1 1+y+y2 2=4,=4,4(x4(x1

13、1-x-x2 2)-(y)-(y1 1-y-y2 2)=0,)=0,l的方程为的方程为y-2=4(x-2),y-2=4(x-2),即即y=4x-6.y=4x-6.2211yx1,42222yx1,422221212yyxx()044141212yyk4,xxl(2)(2)将将y=4x-6y=4x-6代入到代入到 中得中得3x3x2 2-12x+10=0,-12x+10=0,故故x x1 1+x+x2 2=4,x=4,x1 1x x2 2= =|AB|=|AB|=22yx1410,322121221kxx4x x102.3【拓展提升拓展提升】1.1.直线和双曲线相交所得弦长的两种求法直线和双曲线

14、相交所得弦长的两种求法2.2.中点弦问题的两种处理方法中点弦问题的两种处理方法【变式训练变式训练】双曲线双曲线 A(8,4),A(8,4),过过A A作直线作直线l交双交双曲线于曲线于P,Q,AP,Q,A恰为恰为PQPQ的中点的中点, ,求直线求直线l的方程的方程. .【解析解析】设设P(xP(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1+x+x2 2=16,y=16,y1 1+y+y2 2=8.=8.由由 得得= =22xy1169 ，22112222xy1,169xy11691212xxxx161212yyyy,9k= k= 由点斜式得由点斜式得y

15、-4= (x-8),y-4= (x-8),即即9x-8y-40=0,9x-8y-40=0,把把x=8x=8代入代入 得得y y2 2=274=2742 2, ,点点(8,4)(8,4)在双曲线的内部在双曲线的内部, ,即以即以(8,4)(8,4)为中点的直线是存在的为中点的直线是存在的, ,故直线故直线l的方程为的方程为9x-8y-40=0.9x-8y-40=0.1212yy9xx8，9822xy1169类型类型 三三 与双曲线有关的综合问题与双曲线有关的综合问题 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013桂林高二检测桂林高二检测) )已知圆已知圆x x2 2+y+y2 2-4x-9=0

16、-4x-9=0与与y y轴的两个交轴的两个交点点A,BA,B都在某双曲线上都在某双曲线上, ,且且A,BA,B两点恰好将此双曲线的焦距三等两点恰好将此双曲线的焦距三等分分, ,则此双曲线的标准方程为则此双曲线的标准方程为( () )A. A. B.B.C. D.C. D.22yx193622yx197222yx1168122yx14642.2.已知双曲线的中心在原点已知双曲线的中心在原点, ,焦点焦点F F1 1,F,F2 2在坐标轴上在坐标轴上, ,离心率离心率为为 , ,且过点且过点(4,- ).(4,- ).(1)(1)求双曲线的方程求双曲线的方程. .(2)(2)若点若点M(3,m)M

17、(3,m)在双曲线上在双曲线上, ,求证求证: =0.: =0.(3)(3)求求F F1 1MFMF2 2的面积的面积. .21012MF MF 【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中中, ,双曲线两顶点三等分焦距双曲线两顶点三等分焦距, ,能得出什么能得出什么结论结论? ?2.2.双曲线上的点具有什么性质双曲线上的点具有什么性质? ?平面向量数量积的坐标形式怎平面向量数量积的坐标形式怎样表达样表达? ?探究提示探究提示: :1.1.结论是结论是2a= 2a= 2c,2c,即即c=3a.c=3a.2.(1)2.(1)若点若点P P在双曲线上在双曲线上, ,则点则点P P的坐标一定适合于双曲线

18、的的坐标一定适合于双曲线的方程方程; ;点点P P满足定义满足定义, ,即即|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a.|=2a.(2)(2)若若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2. .13【解析解析】1.1.选选B.B.在在x x2 2+y+y2 2-4x-9=0-4x-9=0中中, ,令令x=0 x=0得得y=y=3,A(0,3),B(0,-3),3,A(0,3),B(0,-3),A,BA,B在双曲线上在双曲线上, ,a=3,a=3,又又A,BA,B两点恰好将此双曲线的焦

19、距三等分两点恰好将此双曲线的焦距三等分, ,2a= 2a= 2c,c=9,2c,c=9,从而从而b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=81-9=72.=81-9=72.双曲线的焦点在双曲线的焦点在y y轴上轴上, ,双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为1322yx1.9722.(1)e= ,2.(1)e= ,可设双曲线方程为可设双曲线方程为x x2 2-y-y2 2=.=.过点过点(4,- ),16-10=,(4,- ),16-10=,即即=6.=6.双曲线方程为双曲线方程为x x2 2-y-y2 2=6.=6.(2)(2)方法一方法一: :由由(1)(1)可知可知, ,双曲线中双曲线中a

20、=b=a=b=c=2 ,Fc=2 ,F1 1(-2 ,0),F(-2 ,0),F2 2(2 ,0).(2 ,0).2106,33312MFMFmmk,k,32 332 31222MFMFmmkk.9 123 点点(3,m)(3,m)在双曲线上在双曲线上,9-m,9-m2 2=6,m=6,m2 2=3,=3,故故 =-1,MF=-1,MF1 1MFMF2 2. =0. =0.方法二方法二: :由由(1)(1)可知可知 =(-3-2 ,-m),=(-3-2 ,-m), =(2 -3,-m), =(2 -3,-m), =(3+2 ) =(3+2 )(3-2 )+m(3-2 )+m2 2=-3+m=-

21、3+m2 2. .MM点在双曲线上点在双曲线上,9-m,9-m2 2=6,=6,即即m m2 2-3=0,-3=0, =0. =0.(3)(3)F F1 1MFMF2 2的底的底|F|F1 1F F2 2|=4 ,|=4 ,由由(2)(2)知知m=m= . .F F1 1MFMF2 2的高的高h=|m|= , =6.h=|m|= , =6.12MFMFkk12MF MF 1MF 32MF 312MF MF 3312MF MF 33312FMFS【拓展提升拓展提升】与双曲线有关的综合问题的三点说明与双曲线有关的综合问题的三点说明【变式训练变式训练】已知双曲线已知双曲线C: (a0,b0),BC:

22、 (a0,b0),B是右顶是右顶点点,F,F是右焦点是右焦点, ,点点A A在在x x轴的正半轴上轴的正半轴上, ,且满足且满足成等比数列成等比数列, ,过过F F作双曲线作双曲线C C在第一、三象限的渐近线的垂线在第一、三象限的渐近线的垂线l, ,垂足为垂足为P.P.(1)(1)求证求证(2)(2)若若l与双曲线与双曲线C C的左、右两支分别相交于点的左、右两支分别相交于点D,E,D,E,求双曲线求双曲线C C的离心率的离心率e e的取值范围的取值范围. .OA OB OF ，2222xy1abPA OPPA FP. 【解题指南解题指南】(1)(1)写出直线写出直线l的方程的方程, ,与双曲

23、线方程联立与双曲线方程联立, ,解得解得P P点坐标点坐标, ,写出向量的坐标后表示出数量积写出向量的坐标后表示出数量积, ,从而得到证从而得到证明明.(2).(2)利用根的判别式且利用根的判别式且x x1 1x x2 200建立不等式建立不等式, ,通过解不等式通过解不等式求得求得e e的取值范围的取值范围. .【解析解析】(1)(1)设直线设直线l:y=- (x-c),:y=- (x-c),由由 得得P( ).P( ). 成等比数列成等比数列,A( ,0).,A( ,0).abayxc ,bbyxa 2aab,ccOA , OB , OF 2ac22abaabbabPA(0,),OP(,)

24、,FP(,).ccccc 222222a ba bPA OP,PA FP.cc PA OPPA FP. (2)(2)联立方程组联立方程组整理整理, ,得得b b2 2x x2 2- (x-c)- (x-c)2 2=a=a2 2b b2 2, ,即即xx1 1x x2 2= 0,b= aa4 4, ,即即b b2 2aa2 2,c,c2 2-a-a2 2aa2 2,e,e2 22,2,即即e .e .222222ayxc ,bb xa ya b , 42ab44422222222aaa c(b)x2cx(a b )0.bbb42222422a c(a b )babb2【规范解答规范解答】设而不求

25、的思想在解双曲线综合问题中的应用设而不求的思想在解双曲线综合问题中的应用【典例典例】 【条件分析条件分析】【规范解答规范解答】(1)(1)设双曲线方程为设双曲线方程为 (a0,b0).(a0,b0).由已知得由已知得a= ,c=2,a= ,c=2,再由再由a a2 2+b+b2 2=2=22 2, ,得得b b2 2=1.=1.故双曲线故双曲线C C的方程为的方程为 -y-y2 2=1.=1.3 3分分(2)(2)将将y=kx+ y=kx+ 代入代入 -y-y2 2=1=1得得(1-3k(1-3k2 2)x)x2 2-6 kx-9=0.-6 kx-9=0.由直线由直线l与双曲线交于不同的两点得

26、与双曲线交于不同的两点得 即即k k2 2 且且k k2 21.(22得得x xA Ax xB B+y+yA Ay yB B2,2, 9 9分分于是于是 即即 解此不等式得解此不等式得 kk2 23.(3.(* * *) )由由( (* *)()(* * *) )得得 kk2 21.00”. .2.2.设而不求思想的应用设而不求思想的应用解决双曲线的综合问题解决双曲线的综合问题, ,常涉及等价转化及方程的思想常涉及等价转化及方程的思想, ,以及以及整体的思想和设而不求的思想整体的思想和设而不求的思想, ,“设而不求设而不求”是解决问题的常是解决问题的常见方法见方法, ,如本例中设出如本例中设出

27、A,BA,B两点坐标两点坐标, ,但并不需要求出这两点的但并不需要求出这两点的坐标坐标. .【类题试解类题试解】已知直线已知直线kx-y+1=0kx-y+1=0与双曲线与双曲线 相交于相交于两个不同点两个不同点A,B.A,B.(1)(1)求求k k的取值范围的取值范围. .(2)(2)若若x x轴上的点轴上的点M(3,0)M(3,0)到到A,BA,B两点的距离相等两点的距离相等, ,求求k k的值的值. .【解析解析】(1)(1)由由 得得(1-2k(1-2k2 2)x)x2 2-4kx-4=0.-4kx-4=0.解得解得:-1k1:-1k0)=1(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的一个顶点到

28、它的一条渐近线的距离为的距离为 , ,则则m=(m=() )A.1A.1 B.2B.2 C.3C.3 D.4D.4【解析解析】选选D.D.双曲线的顶点为双曲线的顶点为(0,- )(0,- )和和(0, ),(0, ),渐近线方程渐近线方程为为3y3ymx=0.mx=0.由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得m0,m0,解得解得m=4.m=4.151313211.5m92.2.过点过点A(4,3)A(4,3)作直线作直线l, ,如果它与双曲线如果它与双曲线 只有一只有一个公共点个公共点, ,则直线则直线l的条数为的条数为( () )A.1A.1 B.2 B.2 C.3 C.3 D.4 D.

29、4【解析解析】选选C.C.把点把点A A代入双曲线方程可知代入双曲线方程可知, ,点点A A在双曲线上在双曲线上, ,所所以过以过A A且与双曲线只有一个公共点的直线有且与双曲线只有一个公共点的直线有3 3条条, ,其中一条为切其中一条为切线线, ,另两条分别平行于渐近线另两条分别平行于渐近线. .经验证切线所在的直线与渐近经验证切线所在的直线与渐近线不平行线不平行, ,故直线故直线l的条数为的条数为3.3.22xy1433.3.过双曲线过双曲线 (a0,b0)(a0,b0)的一个焦点的一个焦点F F作一条渐近线作一条渐近线的垂线的垂线, ,若垂足恰在线段若垂足恰在线段OF(OOF(O为原点为

30、原点) )的垂直平分线上的垂直平分线上, ,则双则双曲线的离心率为曲线的离心率为( () )A.A. B. B. C. C. D. D.2222xy1ab32512312【解析解析】选选B.B.如图如图, ,不妨设不妨设F F为右焦点为右焦点, ,向渐近线向渐近线y= xy= x所作垂线的垂足为所作垂线的垂足为P,P,则由题知则由题知|PO|=|PF|,|PO|=|PF|,POF=45POF=45, ,即即 =1,=1,双曲线的离心率双曲线的离心率故选故选B.B.baba22be12,a4.4.直线直线2x-3y=02x-3y=0被双曲线被双曲线2x2x2 2-3y-3y2 2=6=6截得的弦

31、长是截得的弦长是. .【解析解析】由由 得得 和和弦长为弦长为答案答案: :2 2222x3y0,2x3y6x3y2 ,x3y2,2233222 13.135.5.双曲线双曲线 与与 的离心率分别为的离心率分别为e e1 1与与e e2 2, ,则则e e1 1+e+e2 2的最小值为的最小值为. .【解析解析】e e1 1= ,e= ,e2 2= =(e(e1 1+e+e2 2) )2 2= =2+2+22+2+22=8.e2=8.e1 1+e+e2 2 =2 ( =2 (当且仅当当且仅当b=ab=a时时“= =”成立成立).).答案答案: :2 22222xy1ab2222yx1ba22a

32、ba22ab,b222222222222abababbaba22()2()abababab8226.6.双曲线的中心为原点双曲线的中心为原点O,O,焦点在焦点在x x轴上轴上, ,两条渐近线分别为两条渐近线分别为l1 1, ,l2 2, ,经过右焦点经过右焦点F F垂直于垂直于l1 1的直线分别交的直线分别交l1 1, ,l2 2于于A,BA,B两点两点, ,已知已知双曲线离心率为双曲线离心率为 , ,设设ABAB被双曲线所截得的线段的长为被双曲线所截得的线段的长为4,4,求求双曲线的方程双曲线的方程. .52【解析解析】 即即a=2b.a=2b.又又双曲线的焦点在双曲线的焦点在x x轴上轴上

33、, ,可以设双曲线的方程为可以设双曲线的方程为x x2 2-4y-4y2 2=4b=4b2 2. . 不妨令不妨令l1 1的斜率为的斜率为 ,c= b,c= b知知, ,直线直线ABAB的方程为的方程为y=-2(x- b)y=-2(x- b) 将代入并化简将代入并化简, ,得得15x15x2 2-32 bx+84b-32 bx+84b2 2=0.=0.设直线设直线ABAB与双曲线的两交点的坐标分别为与双曲线的两交点的坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2),),22cb51,aa2b1,a212555则则x x1 1+x+x2 2= ,x= ,x1 1x x2 2= =于是于是ABAB被双曲线截得的线段长为被双曲线截得的线段长为 |x|x1 1-x-x2 2| |= = =由已知由已知, ,得得 b=4,b=4,解得解得b=3,a=6,b=3,a=6,故双曲线的方程为故双曲线的方程为32 5b152284b28b155，212 212125xx4x x2232 5b28b45()4b.1553 4322xy1.369