和倍问题差倍问题和差问题(19页).doc

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1、-和倍问题学法指导 已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题叫做和倍应用题，简称和倍问题。首先我们要并清几个问题：两个数相比，以被比的数为标准，这个被比的数称为一倍数，比的数里有几个这样的一倍数，就是几倍数，我们就说一个数是另一个数的几倍。它们之间的数量关系式是： 一倍数倍数=几倍数 t 几倍数一倍数=倍数 几倍数倍数=一倍数 在解决和倍问题时，先要确定一个数为标准（通常以较小的数为标准），即一倍数，再根据较大的数与较小的数之间的倍数关系，确定总和相当于一倍数（较小的数）的多少倍，然后求出一倍数（较小的数），再算出其他各数量。和倍问题的数量关系式是： 和（倍数+1）=一倍

2、数即较小的数 和一较小的数=较大的数，或较小的数倍数=较大的数甲、乙两车间共有工人664人，甲车间的人数是乙的3倍，甲、乙两车间各有工人多少人？【分析与解答】我们可以用线段图表示题中的已知条件与问题：乙车间：甲车间： 从上图看出，甲车间的人数是乙的3倍，那么把乙车间的人数看作1份，甲就有这样的3份，总人数664人占了1+3 =4份，把664人平均分成4份，l份就是乙车间的人数，3份就是甲车间的人数。 664(1+3) =166（人） 166 x3 =498（人）或664 - 166= 498（人） 答：甲车间有工人498人，乙车间有166人。试一试1华强和建军共有图书84本，华强的图书本数是建

3、军的3倍。华强和建军各有图书多少本？【例题】果园里有梨树、苹果树、桃树共207棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，苹果树的棵数是桃树的2倍。三种果树各多少棵？ 【分析与解答】我们把桃树的棵数看作1份，苹果树的棵数就是这样的2份，梨树的棵数就是桃树的2 x3 =6倍，三种果树的总棵数就是桃树的6 +2 +1 =9倍。可以先求出桃树有2079=23（棵），苹果树有232 =46（棵），梨树就是46 x3 =138（棵）。 207(2x3 +2+1) =23（棵） 23 x2 -46（棵） 46 x3 =138（棵）答：梨树有138棵，苹果树有46棵，桃村有23棵。试一试2 一所小学共有学生868人，

4、中年级的学生人数是高年级的2倍，低年级的人数是中年级的2倍。这所学校高、中、低年级各有学生多少人？ 【例题】两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取出15千克到乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍，两箱原有茶叶各多少千克？【分析与解答】从甲箱取出15千克放入乙箱后，两箱茶叶的总重量没有变，它相当于甲箱的3+1 =4倍，这时甲箱有茶叶884 =22（千克），那么甲箱原有茶叶22+15=37（千克），乙箱原有88 - 37=51（千克）茶叶。 88(3+1) +15 =37（千克） 88 -37 =51（千克） 答：甲箱原有茶叶37千克，乙箱原有茶叶51千克。试一试3 小明、小玲两人共有糖果63块，如果小

5、明给小玲9块糖果，小玲的块数就是小明的2倍。他们两人原有糖果各多少块？【例题】有两袋大米，第一袋97千克，第二袋44千克。从第一袋中取出多少千克大米放人第二袋，就能使第一袋大米的重量是第二袋的2倍？【分析与解答】根据题意可知，两袋大米的总千克数始终未变。要使第一袋的千克数是第二袋的2倍，把97 +44 =141（千克）大米平均分成2+1 =3份，求出的1413 =47（千克）是一倍数，也就是第二袋犬米后来的千克数，所以从第一袋中取出47 -44 =3（千克）大米放入第二袋中，就可以使第一袋大米的千克数是第二袋的2倍。【例题】某畜牧场有山羊、绵羊共670只，如果绵羊减少30只，山羊增加200只，

6、则山羊的只数就是绵羊的3倍。求原来山羊、绵羊各多少只？【分析与解答】依题意，绵羊减少30只，山羊增加200只，这时羊的总数为670 - 30 +200= 840（只），而且山羊的只数是绵羊的3倍，就可求出此时绵羊有840(3+1) =210（只），那么原来绵羊有210 +30= 240（只），山羊有670 -240 =430（只）。 (670 -30 +200)(3+1) +30 =240（只） 670 -240 =430（只） 答：原来山羊有430只，绵羊有240只。试一试5 有两堆棋子共49个，如果第一堆增加15个，第二堆减少4个，则第二堆的个数是第一堆的2倍。求两堆棋子原来分别有多少个？

7、【例题】两数相除商3余2，已知被除数、除数、商与余数的和是115，被除数是多少？【分析与解答】依题意可知，被除数除数=32，即被除数=3除数+2，也可以理解为被除数比除数的3倍多2。由此画出线段图。 除数： 被除数： 商： 余数： 可以首先求出被除数与除数的和为115 -3 -2 =110;从图中看出，若被除数减去2，就正好是除数的3倍，把除数看作1份，110 -2 =108就是这样的3 +1=4份，l份就是1084= 27，即除数，被除数为27 x3 +2=83或110 - 27= 83。 (115 -3 -2 -2)(3+1) =27 110 - 27= 83 答：被除数是83。试一试6

8、两数相除商为4，余数是9，被除数、除数、商和余数的和为177，求被除数是多少？课内练习1城北小学买来足球和排球共36个，其中足球的个数是排球的2倍。城北小学买来足球和排球各多少个？ 2庆祝元旦，四(1)班同学共做红、黄、绿花279朵，红花的朵数是黄花的3倍，黄花的朵数是绿花的2倍。三种花各做了多少朵？3兄弟两个去钓鱼，共钓了27条，若哥哥取4条给弟弟，那么哥哥钓的条数就正好是弟弟的2倍。问兄弟俩各钓了多少条鱼？4甲部队有52名士兵，乙部队有23名士兵，从乙部队调走多少名士兵到甲部队，甲的人教就是乙的4倍？ 5书架上、下两层共有书169本，如果把新买的15本书放人上层，从下层中取出9本，则上层的

9、本数是下层的4倍。求上、下两层原来各有书多少本？ 6两数相除商8余1，已知被除数、除数、商与余数的和是118，求被除数与除数分别是多少？ 7小明、小红、小玲共有73块糖。如果小玲吃掉了3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的2倍，问三人原来各有多少块糖？课外练习1-所小学共有学生810人，其他年级的学生是六年级学生人数的5倍，六年级有学生多少人？其他年级有学生多少人？2人民路小学共有篮球、足球和排球95个。又知排球的个数是篮球的2倍。足球比排球少5个，求篮球、足球和排球各多少个？3小英、小红两人共有气球20只，若小英给小红3只，则小英气球的只数就正好是小红

10、的4倍。问小英、小红原来各有气球多少只？4大、小两船，大船载客110人，小船载客58人。从小船上调几人到大船，大船上的人数就是小船的3倍？5四(3)班有学生50人，若女生增加14人，男生增加2人，女生的人数就是男生的2倍。求四(3)班男、女学生各多少人？6两数相除，商和余数均为5，被除数、除教、商、余数的和为129，被除数、除数分别是多少？7*. -个正方形铁丝框周长为48厘米。若把这根铁丝重新折成一个长方形，长正好是宽的2倍（接缝处长度忽略不计）。问这个长方形的长比原来正方形的边长增加了多少厘米？ 8*.甲、乙、丙、丁四个人一起做了370个零件，如果把甲做的个数减去3，乙的个数乘2，丙的个数

11、除以2，丁的个数加上2，则四人做的零件个数正好相等。问四个人分别做了多少个零件？差倍问题 学法指导 前面我们学习了用画线段图的方法来解答和倍应用题，这种画线段图的方法能使问题具体化、形象化，从而容易找到解题的思路。通过学习，我们尝到了线段图带给我们的乐趣。下面，我们再来学习与和倍问题有相似之处的差倍问题。 什么是差倍应用题呢？已知两数的差以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题就叫做差倍应用题。 差倍应用题的解题规律是： t 两数之差（倍数-1）=1倍数解题关键是确定“1倍数”和“差”是多少。对于一些较复杂的差倍问题，我们可以借助线段图来进行分析。 小明买了一枝钢笔和一枝圆珠笔。已知

12、钢笔比圆珠笔贵4元，且钢笔的价钱正好是圆珠笔的3倍，求每枝钢笔和每枝圆珠笔各多少元？圆珠笔： 钢笔： 【分析与解答】从图中可以看出，把圆珠笔的单价看作1倍，那么4元就相当于圆珠笔单价的(3 -1)倍。这样，把4元平均分成2份，l份就是圆珠笔的价钱，3份就是钢笔的价钱。 4(3 -1) =2（元） 2x3=6（元） 答：每枝钢笔6元，每枝圆珠笔2元。试一试1 四年级参加踢毽子比赛的女生人数是男生人数的3倍，已知女生比男生多38人，求参加踢毽子比赛的男生和女生各有多少人？ 【例题】两根同样长的铁丝，第一根剪去180厘米，第二根剪去260厘米，余下的部分第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米

13、？【分析与解答】第一根：第二根：图中虚线部分表示剪去的。由于第二根比第一根多剪去260 - 180= 80厘米，所以，剩下的铁丝第一根就比第二根多80厘米，正好多2倍，因此，现在第二根的长度就是802 =40（厘米）。原来长40 +260300厘米。 (260 -180)(3-1) =40（厘米） 40 +260= 300（厘米） 答：原来两根铁丝各长300厘米。试一试2 甲班和乙班的人数同样多。如果从甲班调出20人，从乙班调出38人去大扫除，甲班剩下的人数正好是乙班的2倍。原来两班各有多少人？【例题】四年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球的3倍多8人，已知做游戏的比打球的多64人，打球的

14、和做游戏的各有多少人？【分析与解答】 打球： 做游戏： 从图中可以看出：把打球的人数看作1倍，那么，做游戏的就是这样的3倍多8人。而(64 -8)人正好相当于打球人数的2倍。因此，打球的人数是(64 -8)（3-1）=28（人），做游戏的有28 +64 =92（人）。 (64 -8)（3-1）=28（人） 28 +64= 92（人） 答：打球的有28人，做游戏的有92人。试一试3 果园里种了一批苹果树和杏树。已知苹果树比杏树多1800棵，苹果树的棵数比杏树的3倍多200棵。苹果树和杏树各有多少棵？【例题】小张有存款5400元，小王有存款3800元。两人各取出同样多的钱后，小张的存款是小王的3倍

15、。问：取款后两人各有存款多少元？【分析与解答】小王：小张： 从图中可以看出，由于两人的取款数相同，所以，两人的存款差不变，还是相差5400 - 3800 =1600（元）。取钱后，小王的钱是l倍数，小张的钱就是3倍数，用差除以倍数之差就能得1倍数，即小王取款后的钱数了。 (5400 - 3800)(3-1)=800（元） 800 x3 =2400（元） 答：取款后，小王有800元，小张有2400元。试一试4甲箱有苹果45个，乙箱有苹果25个。从两箱取出同样多的苹果后，甲箱的苹果是乙箱的5倍。求后来两箱各有多少个苹果？【例题】有两筐橘子，如果从甲筐拿出18个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；如果从乙

16、筐拿出13个放进甲筐，甲筐里的橘子就是乙筐的3倍。甲、乙两筐原来各有橘子多少个？【分析与解答】根据“从甲筐拿出18个放进乙筐，两筐的橘子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐的橘子多18 x2 =36（个）。如果“从乙筐拿出13个放进甲筐”，这时，甲筐就比乙筐多36 +13 x2 =72（个）橘子。根据差倍问题的解题规律，乙筐里后来有橘子72(3-1) =36（个），原来有36 +13 =49（个）。而甲筐里原来应该有49 +36= 85（个）橘子。 (18 x2+13 x2)(3-1) =36（个） 36 +13 =49（个） 49 +18 x2 =85(个) 答：甲筐原来有85个，乙筐原来有49个

17、橘子。试一试5 甲、乙两仓都存有货物。若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓存货同样多；若从乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓货物是乙仓的4倍。原来两仓各存货物多少吨？【例题】学校体育器械室里的红皮球是黄皮球个数的5倍。如果红皮球和黄皮球各购进4个，那么红皮球的个数是黄皮球的4倍。原来红皮球和黄皮球各有多少个？【分析与解答】根据题意可知，如果黄皮球购进4个，红皮球购进45 =20（个），那么红皮球还是黄皮球的5倍。现在，红皮球只购进了4个，所以，红皮球就是黄皮球的4倍了。现在有黄皮球（20 -4）(5-4)=16（个）。原来有黄皮球16 -4 =12（个），红皮球有12 x5 =60（个）。 (4 x5

18、-4)(5-4) -4 =12（个） 12 x5 =60（个） 答：黄皮球原来有12个，红皮球原来有60个。试一试6学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍，如果这两种粉笔各买进12盒，那么白粉笔的盒数就是彩色粉笔的3倍。原来学校里两种粉笔各有多少盒？课内练习1新华书店运进一批新书，其中数学奥林匹克的本数是新华字典的6倍，比新华字典多2000本。两种书各进了多少本？2甲、乙两仓存的水泥同样多，从甲仓运出65吨，从乙仓运出9吨水泥后，乙仓的水泥是甲仓的3倍。两仓原来典存水泥多少吨？3-台彩色电视机比一台黑白电视机贵1900元，一台彩色电视机的价钱比黑白电视机的5倍少100元。每

19、台彩色电视机多少元？4食堂里原有大米560千克，面粉340千克。吃掉同样多的大米和面粉后，大米是面粉的3倍。现在食堂里还有大米、面粉各多少千克？5兄弟二人各有存款若干元，若哥哥给弟弟45元，二人的钱数就同样多；若弟弟给哥哥45元，则哥哥的钱正好是弟弟的2倍。兄弟两人各有存款多少元？6师徒二人生产一批零件，前3天师傅生产的个数是徒弟的4倍。后来师徒二人各自又生产了18个，这时师傅生产的正好是徒弟的2倍。师徒前3天各生产了多少个零件？7某小队队员提着一篮苹果和梨去敬老院慰问老人。每次从篮里取2个梨、5个苹果送给老人，最后梨正好分完，苹果还剩下11个。这时他们才想起原来苹果的个数是梨的3倍。问：他们

20、把水果分给了几位老人？课外练习1兄弟两人各有若干元钱，已知哥哥比弟弟多240元，并且哥哥的钱正好是弟弟的5倍。兄弟两人各有多少元钱？2一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。原来每筐水果有多少个？3用大、小两辆车装货，大车装的比小车的3倍少2吨，大车比小车多装12吨。两辆车各装了几吨货物？4四(1)班有男生28人，女生32人。选出同样多的男生和女生排练节目后剩下的女生是男生人数的2倍。还剩下多少个同学没有参加排练节目？5学校组织夏令营活动。如果参加的女生名额给5个男生，则男、女生人数同样多；若参加的男生名额给4个女生，则男生人数是女生人数的一半。原定夏令营

21、中男、女生各多少人？6今年，爸爸的年龄是小明的6倍。再过4年，爸爸的年龄恰好是小明的4倍。今年小明多少岁？7*小华做一道加法算术题，由于粗心把一个加数个位上的零漏掉了，结果比正确答案少了225。这个加数应该是多少？8*饲养场的白兔是黑兔的5倍。后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在的白兔是黑兔的7倍。饲养场原来有白兔和黑兔各多少只？和差问题知识点：和差问题和差应用题是指已知大小两个数的和与它们的差，求这两个数各是多少的应用题，简称和差问题。 由于和差问题中的两个数不相同，我们可以用假设的方法使两个数变成相等的数。首先，我们可以先根据题意判断应该怎样假设，一般可假设要求的两个或几个未知数相

22、等，然后根据所作的假设，注意数量关系发生了什么变化，怎样从所给的条件与变化了的数量关系的比较中作出适当的调整，从而求出正确的答案。 和差问题中大小两数的关系可以用下图表示： 较大数=（和+差）2较小数=（和一差）2 【例题】养鸡场养了540只鸡，其中母鸡比公鸡多50只。和母鸡各有多少只？【分析与解答】公鸡： 母鸡： 从图中可以看出：假如增加50只公鸡，公鸡的只数就和母鸡同样多了。但如果增加50只公鸡，养鸡场的鸡的只数就是540 +50 =590（只），用5902 =295（只）就是养鸡场母鸡的只数。知道了母鸡的只数，就能很方便地求出公鸡的只数了。 (540 +50)2 =295（只） 295

23、- 50= 245（只） 答：养鸡场养公鸡245只，母鸡295只。想一想：假设减少50只母鸡，又该怎样求出公鸡和母鸡的只数呢？请试一试。【试一试】 果园里有苹果树和梨树共420棵，苹果树比梨树多36棵，两种树各有多少棵？ 【例题】老师把140块糖分给了大班和中班的小朋友。如果从大班拿12块糖给中班，两个班分得的糖就同样多。求大班和中班各分得多少块糖？【分析与解答】根据题意可知，大班减少12块糖，中班增加12块糖后，两个班分得的糖就一样多，就是说大班比中班多分得12 x2 =24（块）糖。假如从140块糖中去掉24块，剩下的糖就是中班分得糖的2倍，由此先求出中班分得的块数，再求出大班分得的块数。

24、 (140 -12 x2)2 =58（块） 140 -58= 82（块） 答：大班分得82块，中班分得58块。想一想：还可以怎样解答？【试一试】 两个班共有学生92人，如果从一班调2人到二班，则两班人数同样多。两个班各有多少个同学？【例题】一个书架分上、下两层，共放有图书100本。如果从上层取出5本放入下层，那么上层比下层还多6本。问原来上、下两层各有图书多少本？【分析与解答】先求出原来上、下两层所放图书的差。因为上层减少5本，下层增加5本后，上层还比下层多6本，所以，原来上层比下层多52 +6 =16（本）。假如上层减少16本，则上、下两层的书就同样多，即(100 -16)相当于下层本数的2

25、倍，由此求出下层的本数，再求上层的本数。 (100 -5 x2 -6)2 =42（本） 100 -42 =58（本） 答：原来上层有图书58本，下层有图书42本。【试一试】 两箱零件共102个。从甲箱拿24个放入乙箱后，甲箱还比乙箱多4个。原来两箱各放有多少个零件？ 【例题】 李明每天早晨沿着长和宽相差50米的长方形小路跑步。已知他每天跑4圈，共跑了1200米。问这条长方形路的长和宽各是多少米？【分析与解答】根据题意可知，李明沿长方形路跑四周共跑了1200米，长方形周长是12004= 300（米），长与宽的和是3002=150（米）。假设长减少50米，那么，（150 - 50）米就正好是宽的2

26、倍。由此先求出宽，再求出长。 (120042 -50)2 = (150 - 50)2 =50(米) 50 +50 =100（米） 答：这条长方形路长100米，宽50米。【试一试】 王师傅和李师傅4小时共做纸箱180只。王师傅比李师傅每小时少做5只。他们每小时各做多少只纸箱？【例题】食堂共有三种蔬菜，其中茄子、辣椒共重50千克，辣椒、黄瓜共重70千克，茄子、黄瓜共重60千克。请你算一算三种蔬菜各有多少千克？【分析与解答】因为“茄子、辣椒共重50千克，辣椒、黄瓜共重70千克”，而辣椒的重量是一定的，所以，70千克比50千克多的20千克，就是黄瓜比茄子多的千克数。再由“茄子、黄瓜共重60千克”就转化

27、为和差问题了。假如减少20千克黄瓜，（60 -20）千克就正好是茄子的2倍，由此求出茄子的重量，再求出黄瓜的重量，最后求出辣椒的重量。 黄瓜与茄子的重量差：70 -50 =20（千克） 茄子的重量：(60 -20)2 =20（千克） 黄瓜的重量：20 +20= 40（千克） 辣椒的重量：50 -20 =30（千克） 答：茄子有20千克，黄瓜有40千克，辣椒有30千克。【试一试】小华参加了三门功课的考试，已知语文、数学共186分，数学、英语共188分，语文、英语共182分。求三门功课分别得了多少分？ 【例题】 学校三个运动队共有队员80人；已知田径队人数比足球队和篮球队人数的和还多8人，足球队人

28、数又比篮球队多4人。三个队各有多少人？【分析与解答】根据题意，田径队人数比其他两队人数的总和多8人，假设篮球、足球两队人数再增加8人，那么三队的总人数是80 +8=88（人），这个人数正好是田径队人数的2倍，所以，田径队的人数是882 =44（人），篮球队和足球队共有80 - 44=36（人）。再根据“足球队人数比篮球队多4人”来假设篮球队增加4人，则(36 +4)2 =20（人）就是足球队的人数，最后用(36 -20)求出篮球队人数。 (80 +8)2 =44（人）田径队 (80 -44 +4)2 =20（人）足球队 80 -44 -20 =16（人）篮球队 答：学校田径队有44人，足球队有

29、20人，篮球队有16人。【试一试】红花、绿花和黄花共有78朵。红花和绿花的总朵数比黄花多6朵，红花比绿花多6朵。三种花各有多少朵？【课内练习】 1学校买回故事书和科技书共106本，其中故事书比科技书多24本。两种书各买了多少本？2两个车队共有54辆汽车，若从一队调3辆车到二队后，两队的汽车就同样多。求两个车队各有几辆汽车？3甲、乙两筐水果共重40千克。从甲筐取6千克放到乙筐后，甲箧里的水果比乙筐多2千克。求两筐原有水果多少千克？ 4甲、乙两个工程队6天合修了一条长480米的公路，已知甲队比乙队每天少修18米，求两队每天各修多少米？5有三种水果，已知苹果和梨共95千克，苹果和橘子共重80千克，梨

30、和橘子共重75千克。问：三种水果各有多少千克？6学校四、五、六年级同学共植树80棵，已知六年级同学比另两个年级植树棵数的和少植8棵，四年级同学比五年级同学少植4棵。三个年级同学各植树多少棵？7*两车站相距110千米，甲、乙两车分别从两站同时出发，相向而行，经1小时相遇。如果两车从其中的一个站同时出发，同向而行。那么经11小时甲车追上乙车。求甲、乙两车的速度。【课外练习】1爷爷家养了100只山羊和绵羊，已知山羊比绵羊多64只，两种羊各养了多少只？2一根电线长84米，把它截成了两段，如果从第一段上剪15米接在第二段上，这两段电线就一样长。求这两段电线的长度。3两包茶叶共850克，从乙包中取15克放

31、入甲包，则乙包里的茶叶比甲包里的茶叶多6克。原来两包茶叶各多少克？4快、慢两车同时从相距560米的两地相向而行，4小时相遇。已知快车每小时比慢车多行30千米，求两车每小时各行多少千米？5工地上运来了三种建筑材料，已知水泥和黄沙共200吨，黄沙和石子共230吨，水泥和石子共270吨。求工地运来水泥、黄沙、石子各多少吨？6某工厂的三个车间共有工人220人，其中，第二车间比另两个车间的总人数少20人，第一车间又比第三车间少16人。三个车间各有工人多少人？7*一套书有上、中、下三册，上册比中册贵3元，中册比下册贵6元，四套这样的书共值300元。求上、中、T每册书各多少元？8*两个公司的产品正在展览会参展。展品中有466件不是A公司的，有378件不是B公司的。这两个公司共有展品498件。问两公司各有展品多少件？-第 19 页-