人教版高数选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理(教师版)(11页).doc

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1、-人教版高数选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理(教师版)-第 11 页定积分的概念与微积分基本定理 掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积. 一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上取一点，作和式：当）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分。记为： 即=其中函数叫做 ，叫做

2、 变量，区间为 区间，积分 ，积分 。说明：（1）定积分是一个常数 （2）用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程2定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间a,b上的函数连续且恒有。那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。 3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 （定积分的线性性质）性质4 （定积分对积分区间的可加性）说明：推广： 推广: 性质解释：性质4性质1二、 微积分基本定理：变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联

3、系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即而。 对于一般函数，设，是否也有若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则证明：因为=与都是的原函数，故 -=C（） 其中C为某一常数。 令得-=C，且=0即有C=，故=+令，有 类型一：定积分的概念：例1计算下列定积分1 2.； 3.。解：1. ，所以。3. 因为，所以例2计算由两条抛物线和所围成的图形的面积

4、.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。ABCDO解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。练习：1.若则（）A.B.C.答案:B2.定积分的值为（）答案：C3若则的大小关系为（）ABCD答案：B4已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（）A0是的极大值，也是的极大值B0是的极小值，也是的极小值C0是的极大值，但不是的极值D0是的极小值，但不是的极值答案

5、：C5：已知二次函数的导数为，对于任意实数都有，则的最小值为（）ABCD答案：C二、定积分求面积1直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.B.C.答案：2直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积等于（）答案：C3已知函数的图象是折线段，其中、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为_答案：一、选择题（共4小题，每小题10分，共40分）1. 下列各定积分的值等于1的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】理解定积分符号表示的几何意义，我们结合图象可以得解。2. 将和式的极限表示成定积分（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由求和式极限，我们知道求和式可以表示为，故

6、可以知道被积函数为，积分区间为0，13. 求由围成的曲边梯形的面积时，若选择为积分变量，则积分区间为（）A.0，B.0，2C.1，2D.0，1【答案】B【解析】根据作图来判定积分区间。4. 如下图，阴影部分的面积为（）A. dxB. dxC dxD. dx【答案】B【解析】利用定积分的几何意义和定积分的运算性质可以得到。二、填空题（每题10分，共40分）5. 由定积分的几何意义分析，则=_【答案】【解析】理解积分表示的几何意义，由x=3,x=-3,y=0和函数围成的面积，结合图形我们知道，所求的面积是圆面积的一半。6. 将和式表示为定积分_【答案】【解析】根据和式变形我们可以得到这样我们就可以

7、找到原来的函数7. 按万有引力定律，两质点间的吸引力，为常数，为两质点的质量，r为两质点间距离，若两质点起始距离为，质点沿直线移动至离的距离为b处，试求所做的功是（ba）_【答案】【解析】运用以不变代变的思想，将区间a,b分割为n等分，然后取近似值求和，取极限可以得到解。8. 由及轴围成的介于0与2之间的平面图形的面积，利用定积分形式应表达为_【答案】【解析】作出余弦函数图象，我们可以发现，在区间与上，而在区间与上，这样我们结合定积分的运算性质可以把其合并为三、解答题（共20分）9. 利用定义求定积分的值。【答案】【解析】解：因为x2在区间上连续，所以存在把区间分成n等份，每份长，各分点是：,

8、_基础巩固一、选择题 求由曲线,直线及轴所围成的图形的面积错误的为（）A BC D【答案】C 若函数,则的值为（）ABCD【答案】C 如图,已知幂函数的图像过点,则图中阴影部分的面积等于（）ABCD 【答案】C 已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为（）yxO第题图ABCD【答案】解析:根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为. 如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）ABCD【答案】C【解析】,故,答案C 6函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）AB1C2D【答案】A【解析】根据积分的应用可求面积为 ,选A若,则实数

9、的值为（）ABCD 【答案】B抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是（）A1B8CD【答案】B (陕西省西安中学2012届高三下学期第三次月考试题)如图,设D是图中边长为的正方形区域,E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域.向D中随机投一点,则该点落入E中的概率为（）ABCD【答案】C若,则a的值是（）A2B3C4D6【答案】A一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:,的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是（）ABCD【答案】C解:令,则.汽车刹

10、车的距离是,故选C直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（）AB2CD【答案】C 的方程是,所求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值:. 二、填空题 _.【答案】 由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为_.【答案】【解析】由,解得,即,所以所求面积为 能力提升计算_. 【答案】 若_.【答案】3 解: 计算定积分_.【答案】 【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 设函数,若, 其中,则=_.【答案】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则_.【答案】【解析】由已知得,所以,所以.函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于_.【答案】如

11、图,圆内的正弦曲线与轴围成的区域记为(图中阴影部分),随机往圆内投一个点,则点落在区域内的概率是_.【答案】已知函数的图像是折线段ABC,若A(0,0),B(,1),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为_.【答案】解析 如图1, xyABC11图1(O)NxyODM1P图2所以,易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.图中阴影部分的面积等于_.【答案】解：根据积分应用可知所求面积为。由曲线,围成的封闭图形面积为_.【答案】【解析】结合图形可知所求封闭图形的面积为. =_.【答案】