以立体几何中探索性问题为背景的解答题(解析版)(18页).doc

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1、-以立体几何中探索性问题为背景的解答题(解析版)-第 18 页【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开

2、放性、探索性和创造性深受命题者的青睐此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由这类问题常用“肯定顺推”的方法求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可

3、进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p的方程即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法【精选名校模拟】1. 在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点. （）求证：平

4、面；（）求证：；（）若在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由【答案】（）（）见解析；（）2.如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。（1）求证：BM平面PAD；（2）在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦。【答案】（1）见解析；（2）是的中点；（3）试题解析：（1）是的中点，取的中点，则，又四边形为平行四边形 （4分）（2）以为原点，以、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，3. 如图，在中，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，

5、如图（）求证：平面；（）若是的中点，求与平面所成角的大小；（）点是线段的靠近点的三等分点，点是线段上的点，直线过点且垂直于平面，求点到直线的距离的最小值【答案】（）见解析；（）与平面所成角的大小；（）点到直线的距离有最小值.试题解析：（）由题，平面，又平面，又，平面不妨取又与平面所成角的大小4. 在四棱锥中，侧面底面，底面是直角梯形，.（）求证：平面；（）设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角为.【答案】解法一：（）平面的法向量为，7分所以， 8分设平面的法向量为，由，得法二：（）面PCD底面ABCD，面PCD底面ABCD=CD，PD面PCD，且PDCDPD面ABCD，1分 又BC面ABCD，

6、BCPD . .2分取CD中点E，学科网连结BE，则BECD，且BE=1FQ/BC，FG/PD.10分在RtFGQ中，FGQ=45FQ=FG，即 .11分 .12分（1）求直线AP与平面SBC所成角的正弦值；（2）求二面角BSCD大小的余弦值； （3）在正方形ABCD内是否存在一点Q，使得平面SDC？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）直线AP与平面SBC所成角的正弦值为；（2）二面角BSCD大小的余弦值为；（3）不存在满足条件的点Q.（1），设平面SBC的法向量=（x1,y1,z1），则,即，可取=（0, ,1），6. 如图1，已知的直径，点、为上两点，且，为弧的中点将沿直

7、径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）（）求证：；（）在弧上是否存在点，使得平面？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由；（）求二面角的正弦值.【答案】（）详见解析;（）在弧上存在点，使得平面，且点为弧的中点；（）;（3）根据，DAB=60求出D点坐标，然后求出平面ACD的一个法向量，找出平面ADB的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值试题解析：（法一）：证明：（）如右图，连接，又为弧的中点，（）过作于，连因为，平面平面，故平面又因为平面，故，所以平面，则是二面角的平面角，又，故由平面，平面，得为直角三角形，又，学科网故，可得=，故二面角的正弦值

8、为.（法二）：证明：（）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，作空间直角坐标系，则，点为弧的中点，点的坐标为，即7. 如图，在多面体ABCDE中，,是边长为2的等边三角形，CD与平面ABDE所成角的正弦值为.（1）在线段DC上是否存在一点F，使得，若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（）存在F为CD中点，DF=时，使得（）8. 如图，在直三棱柱中，是的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由 【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为；（3）当点为

9、线段中点时， 与成角.由 是直三棱柱，得 四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以 ， 由二面角是锐角，得 . 8分所以二面角的余弦值为.（3）解：假设存在满足条件的点.因为在线段上，故可设，其中.所以 ，因为与成角，所以.9.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，,是边长为2的等边三角形，,.（）求证：底面；（）求直线与平面所成角的大小；（）在线段上是否存在一点，使得平面？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由【答案】（）详见解析；（）；（）存在，=试题解析：解：（）因为底面是菱形，,由已知可得 -6分设平面的法向量为，则即令，则，所以.-8分因为，-9分所以直线与平面所成角

10、的正弦值为，10. 如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中，是的中点.又已知侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(1)求证:EM平面ABC;(2)试问在棱DC上是否存在点N,使NM平面? 若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，【解析】11. 如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面，（1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；（2）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）存在点，使.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在

11、一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由（3）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）详见解析；（2）点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点；（3）.（2）解法一：由（1）的分析易知，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示易知这样的点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点； （8分）解法二：（略解）如图所示，（3）解法一：由（2）是平面的一个法向量，又，则得，所以，记直线与平面所成角为，则知，故所求角的正弦值为. .（12分）13. 四棱锥中，为矩形，平面平面.（1）求证：（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）详见解析，（2）时，四

12、棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P作AD的垂线，垂足为O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用表示高及底面积：设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC的法向量及平面DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=AD所以AB平面PAD

13、，因为PD平面PAD，故ABPD14. （如图1）在平面四边形中，为中点，且，现沿折起使，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）在线段PC上是否存在一点M，使直线与直线所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.试题解析：（1）因为分别为的中点，所以.又平面，平面，所以平面，同理：平面.（2）因为平面，所以平面，所以.又因为四边形是正方形，所以.如图，建立空间直角坐标系，因为，15. 如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD，正方形ADEF的

14、边长为2，直角梯形ABCD中，ABCD，ADDC，AB2，CD4（）试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30【答案】（）详见解析；（）详见解析（）利用 两两互相垂直建立空间直角坐标系，令 是平面 的一个法向量，则由求出向量的坐标，利用向量的夹角公式列方程求出点 的坐标试题解析：又因为 所以 平面 5分解法二：因为平面 平面 , 所以 平面 1分所以 两两互相垂直以点 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 （）因为平面 平面 , 所以 平面 所以 两两互相垂直以点 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示

15、的空间直角坐标系16. 如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，Q是AD的中点.（）若，求证：平面PQB平面PAD；（）若平面APD平面ABCD，且，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角的大小为，并求出的值.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.【解析】试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考试题解析：（1），Q为AD的中点，又底面ABCD为菱形， , 又平面PQB，又平面PAD,平面PQB平面PAD;（2）平面PAD平面ABCD,平面平面,平面ABCD.以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图.17.

16、 如图，垂直于梯形所在的平面，为中点， 四边形为矩形，线段交于点N （1）求证：/ 平面；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？ 若存在，请求出的长;若不存在，请说明理由【答案】（1）详见解析；（2）（3）在线段上存在一点，且（3）首先假设存在点Q满足条件由 设，再利用向量的夹角公式确定的值18. 如图，中，是的中点，将沿折起，使点与图中点重合（）求证：；（）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；（）在（）的条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论（）在平面内，作于点，则由（1）及已知可得当与重合时，三棱锥的体积最大，

17、并过点作于点，连，则为（）根据图形及已知条件分析可得，存在线段上中点，使与平面所成的角的正弦值为，求出平面的法向量，根据与平面所成的角的正弦值为建立等式关系，即可求得结论.为19. 如图，四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD8，BC6，AB2，E、F分别在BC、AD上，EFAB现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF 平面EFDC（）当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（）设BEx，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值【答案】（1）存在点，；（2）当时，三棱锥的最大值.又平面平面 6分又（）因为

18、平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDCEF，又AFEF，所以AF平面EFDC 10分由已知BEx，所以AFx（），则FD8x 12分故当且仅当，即4时，等号成立所以，当4时，有最大值，最大值为 14分20. 已知ACB45，B、C为定点且BC3，A为动点，作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，如图1。连接AB，沿将折起，使BDC90，如图2.（）当A点在何处时，三棱锥ABCD的体积最大；（）当三棱锥ABCD的体积最大时，分别取BC，AC的中点E、M，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求此时EN与平面BMN所成角的大小.【答案】（）AC2时，三棱锥的体积最大.（）当时，.与平面所成角的大小.【解析】（）解法1：在如图1所示的中，设，则.由，知，为等腰直角三角形，所以. 2分解法2：同解法1，得. 4分令，由，且，解得. 5分当时，；当时，.所以当时，取得最大值.故当BDx1，即AC2时，三棱锥ABCD的体积最大. 6分得可取. 10分设与平面所成角的大小为，则由，可得，即. 12分