传球问题的统一解法及染色问题(3页).doc

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1、-传球问题的统一解法及染色问题-第 3 页传球问题的统一解法及染色问题刘克让 1. 传球问题很多高中数学复习资料中常见有关传球和染色类型的问题.请看:例1 甲、乙、丙三人相互传球, 甲首先发球作为第一次传球, 传球5次, 球在甲手中的不同方法有多少种?分析 此类问题解法很多，有的从传球方向分析；有的从中间持球人分析，但传球次数一多，则分类复杂，不易算对，且方法难以掌握. 本人以遇难则返的思想, 直接用树图求解,不但简单明快, 还能找到一般的解题规律。解: 由于持球人只能传球给其他2人, 所以:甲 (传1次) 乙 丙 (传2次)甲 丙 甲 乙 (传3次)乙 丙 甲 乙 乙 丙 甲 丙 (传4次)

2、甲 丙 甲 乙 乙 丙 甲 丙 甲 丙 甲 乙 乙 丙 甲 乙容易看出, 若要第5次传球到甲手中, 只要乙丙二人传出即可。所以, 传球5次, 球在甲手中的不同方法有10种。此种方法有一般性：例2 ,个人相互传球, 首先发球作为第一次传球, 传球次, 球在手中的不同方法有多少种? 球在甲手中的概率是多少？分析 1次传球传种，其中：0（手中无球），传给其余人共：种；2次传球种，其中 ： 种，传给其余人共：种；3次传球种，其中 ：种 ，传给其余人：种；次传球种，其中 ：种，（即次传给其余人的种数）设=用数学归纳法容易证得：定理1 个人相互传球, 确定某人首先发球作为第一次传球, 传球次, 球在此人手

3、中的不同方法有种；球在甲手中的概率.由此定理计算例1：, （种）2. 传球问题与染色问题的关系仍以例1为例. 若把甲、乙、丙三人看成“三种颜色”，5次传球到甲手中看成“染5个区域，相邻区域不同染色，甲选定某色”.，求染法种数. 则两种提法实质是相同的.12345例3 现有三种不同颜色供选择染如图5个区域，且相邻区域不同色，求不同的染法种数.分析 由于1号区有三种染法，由定理1知：不同染法种数 于是我们得到如下的（无心）染色定理:定理2 有种不同颜色供选择，染如图个区域（把图中5改为），并且相邻区域不同色，则不同染法有 种.例4 甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由拿球者传给其他三人中任一人，这样共传了4次，则第4次球仍回到甲的方法有多少种？回到甲的概率是多少？（21；p=）此类问题还有研究空间，欢迎有兴趣的读者积极探索。