六年级奥数全教程.doc
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1、第一章 数与计算第一单元 同余问题1 知识前提。(1) 整除:如果整数a除以自然数b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a能被b整除或b能整除a。(2) 乘方的意义:求n个相同因数的乘积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。n个相同因数a相乘,即,记做。其中a叫做底,n叫做指数,读做a的n次方。(3) 幂的运算法则: 同底数的幂相乘,底数不变,指数相加。即 。 幂的乘方,底数不变,指数相乘。即 。 积的乘方,等于把积的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘。即 。2 同余如果两个整数的a、b除以同一个自然数m所得的余数相同,那么就说a、b对于m是同余的,记为a=h(modm)。我们
2、把m称为模。如果a、b对于m是同余的,那么a与b的差能被m整除;反之,如果a与b的差能被M整除,那么a、b对于m是同余的。3 规律、方法应用。(1) 反身性规律:a和a对于m同余。(2) 对称性规律:a和b对于m同余,那么b和a对于m同余。(3) 传递性规律:如果a和b对于m同余,b和c对于m同余,那么a和c对于m同余。(4) 同余的加减法、乘法规律:如果a和b对于m同余,c和d对于m同余,那么ac,和bd,ac和bd,ac和bd对于m同余。(5) 同余的乘方规律:如果a和b对于m同余,那么和也对于m同余。(6) 同余的连加规律:和对于m同余,和对于m同余,和对于m同余和对于m同余,那么和也对
3、于m同余。例1 有一个不等于1的整数,它除300,262,205得到的余数相同,这个整数是多少?拓展一 如果某数除492,2241,3195都余15,那么这个数是几?拓展二 自然数16520,14903,14177除以m的余数相同, m的最大值是多少?拓展三 若2836,4582,5164,6522这4个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?例2求除以7的余数。拓展一 求除以13的余数。拓展二 求除以11的余数。拓展三 求的结果除以3的余数。拓展四 把1至2002这2002个自然数依次写下来,得到一个试求A除以9的余数。例3被7除的余数是多少?拓展一 除以13的余
4、数是多少?拓展二 今天是星期日,过天是星期几?拓展三 求的末两位数是多少?拓展四(1)2005年全年有几个星期日?全年有几个月有五个星期日?(2005年1月1日是星期六)(2)2008年全年有几个星期日?全年有几个月有五个星期日?(2008年1月1日是星期二)检测1已知69,90,125被除余数相同,求81被N除的余数是()1991和1769除以某一个自然数n,余数分别为2和1,n的最小值是( )231317183除以13的余数是( )12 11974除以3所得的余数是( )1 2035 今天是星期二,再过天是星期( )三 四五六6 的个位数字是( )3 2 467 的个位数字是( )3 1
5、968 的个位数字是( )3 1 959 在小于2002的自然数中,被18和33除以余数相同的数有( )个。17 198 34 5110 一个三位数,它的29倍加上5能被2002整除,这个三们数是( )。345 121 150 26711 一个整数乘以13后,积的最后三位数是123,这样的整数最小是( )。157 253 942 47112 用1,9,8,8这四个数能排出( )个被11除余8的四位数。3 4 5613 的积被7除的余数是( )。1 2 35二解答题。14试证明:能被10整除。15 求乘积除以13所得的余数。16 今天是星期五,再过天是星期几?17 求除以39所得的余数。18 求
6、的个位数字。19 除以13余几?20 试证明:是5的倍数。21 70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的:0,1,3,8,21,问最右边的一个数被6除余几?22 2002年全年有几个星期日?全年有几个月有5个星期日?(2002年1月1日是星期二)23 某年的10月有五个星期六,4个星期日,这年的10月1日是星期几?24 甲、乙两人轮流报数,必须报不大于2的自然数(零除外),把两人报出的数依次加起来,谁报数后加起来的数是20,谁就获胜,如甲要取胜,是先报还是后报?以后怎样报?25 设A是一个有35位循环节的循环小数,把A的所有奇数
7、位画去,得到一个新的无限小数:再把的所有奇数位画去,得到一个新的无限小数:如此继续下去,能否仍得到原来的循环小数?第二单元 分数的大小比较比较分数的大小,需要仔细观察每个分数的特点,根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同,分子大的分数比较大;如果两个分数的分子相同,分母大的分数反而小。如果分数的分子分母都不相同,需要经过转化,利用分数的基本性质,把它们转化成分子或分母相同的分数,再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较,具体的方法有:1 相减法。把两个分数相减,如果差大于零,减数就小。2 相除法。把两个分数相除,若商是真分数,则被除数小于除数。3 交叉相乘法。分数和,如
8、果,那么。4 倒数法。利用几个分数的倒数比较,倒数大的分数反而小。5 转化法。可以把分数转化成小数进行比较。6 中间数比较法。依据数据的特点,借助某一有规律的中间数,进行比较。此类比较,需要将已知的数或算式作适当的变形。解题时,要认真分析,要学会多角度、多侧面思考问题,灵活运用解题方法。例1 比较、这四个分数的大小。拓展一 将下列的分数由小到大的排列起来。, 拓展二 ,。试比较A和B的大小。 拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。 , 拓展四 将下列分数由小到大排成一列不等式。 、例2 比较,三个分数的大小。拓展一 比较和的大小。拓展二 比较和的大小。拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等
9、式。 ,例3 ,试比较A与0.003谁大谁小。拓展一 如果,试比较A与的大小。拓展二 用A表示下面的积:,问:A与0.01相比,谁大谁小?拓展三 比较与0.001的大小.检测1 在中填入“”或“”。(1) (2) (3)(4) (5) (6)(7) (8) (9)(10) (11)2. 比较和的大小。3. 把、和按从小到大的顺序排列。4. 在,五个分数中,最大的分数是谁?5. 把下面的分数按从小到大的顺序排列。、。6. 比较和的大小。7. 把、按从小到大的顺序排列。8. 下面四个算式谁最大。(1) (2)(3) (3)9. 下面两个算式谁大谁小? ;10. 把下面五个分数从大到小排列。 、。1
10、1. 在、中,哪个分数最大?12. 比较、的大小。13. 和,谁大谁小?14. 按下面各式值的大小,把A、B、C、D、E从小到大的顺序排列。15. 满足下面式子的最小是多少?16. 试比较和的大小。17. 如果,那么中应填哪个自然数?18. 已知:,将A、B、C三个数从小到大排列。19. 在下式中的内填入7个互不相等且小于20的自然数,使等式成立。 20. 下面给出6个分数算式: ,其中哪一个计算结果最小?并求出它的值。第三单元 速算与巧算六年级所学习的简便计算主要是有关分数的巧算,除与整数、小数简便计算相同外,还有其独特的巧算方法。1 运算定律规律:加法的交换律、结合律,乘法的交换律、结合律
11、和分配律,还有加、减法的运算性质、商不变的规律等。23 (1) (2) (3) (4)(5)将分拆成两个分数单位和的方法:先找出A的两个约数和,然后分子、分母分别乘,再拆分,最后进行约分。4. 等差数列求和法:(首项+末项)项数和。5. 约分法简章:将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式,从而简化计算过程。例1 计算 拓展一 计算 拓展二 计算 拓展三 计算 拓展四 计算拓展五 计算 例2 计算 拓展一 计算 拓展二 计算 拓展三 计算 例3 计算 拓展一 计算 拓展二 计算 拓展三 计算 拓展四 计算 例4 计算 拓展一 计算 拓展二 计算 拓展三 计算
12、拓展四 计算 计算下面各题:1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22. 已知, 求23.24.25.26.27. 减去它的,再减去余下的,再减去又余下的,依此类推,一直减到最后余下的,最后得多少?第二章 有关的分数应用题第一单元 单位“1”的妙用解答分数应用题,关键要通过分析数量关系,弄清每一道题把什么看作单位“1”,找出解题的数量关系式,再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。知识、规律、方法在解答时,有的分数应用题常常会出现几个不同的单位“1”,一般都要经过分析,转化成统一的单位“1”,然后进行解答。例1
13、甲、乙两数之和为180,甲数的等于乙数的,问甲、乙两数各是多少?拓展一 甲、乙两数相差30,其中甲数的与乙数的相等,求这两个数的和是多少?拓展二 上元水果店运来的苹果比橘子多1筐,其中苹果筐数的与橘子筐数的相同,上元水果店一共运来苹果和橘子多少筐?拓展三 学校有皮球和足球共100个,皮球个数的比足球个数的多16个,学校有皮球和足球各多少个?例2某工厂的甲、乙、丙三个车间向灾区捐款,甲车间捐款数是另外两个车间捐款数的,乙车间捐款数是另外两个车间捐款数的,已知丙车间捐款180元,这三个车间共捐款多少元?拓展一 兄弟四人合修一条路,结果老大修了另外三人总数的一半,老二修了另外三人总数的,老三修了另外
14、三人总数的,老四修了91米,问这条路全长多少米?拓展二 把一堆皮球分装在四个盒子中,其中放入甲盒,放入乙盒。放入丙盒的皮球是甲、乙两盒皮球总数的,丁盒放入10个皮球,这堆皮球一共有多少个?拓展三 有红黄两种颜色的小球共140个,拿出红球的,再拿出7个黄球,剩下的红球和黄球正好一样多。原来红球和黄球各有多少个?例3把一批面粉分给三个工厂,甲厂先分得这批面粉的,乙厂分得余下的,最后丙厂分得吨,这批面粉重多少吨?拓展一 某校四、五、六三个年级共有学生618人,其中五年级人数比四年级多10%,六年级人数比五年级少10%,求各年级有学生多少人?拓展二 有甲、乙两个粮库,原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的。如
15、果从乙粮库调6吨粮食到甲粮库,甲粮库存粮的吨数是乙粮库的。原来甲、乙粮库各存粮多少吨?拓展三 甲容器中装有一定数量的糖,乙容器中装有若干千克水,先从甲容器中取出8克糖放入乙容器中,搅拌均匀后,又将乙容器中的糖水倒30千克到甲容器,搅拌均匀后,甲容器中糖水的质量分数为40%,乙容器中糖水的质量分数为20%,甲容器中应有糖多少克?检测、反馈、应用1某车间男工人数比女工人数多,女工人数比男工人数少( )。2. 菜地里黄瓜获得丰收,收下全部的时,装满了4筐还多36千克,收完其余部分时,又刚好装满8筐,共收黄瓜( )千克。3. 食堂运来一批大米,第一天吃了全部的,第二天吃了余下的,第三天吃了余下的,这时
16、还剩下15千克。食堂运来大米( )千克。、4. 甲有若干本书,乙借走了一半加3本,剩下的书,丙借走了加2本,再剩下的书,丁借走了加1本,最后甲还有2本书。甲原来有( )本书。5. 小明从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条的一半是上坡路,一半是下坡路。小明上学时走两条路所用的时间一样,已知下坡的速度是平路的倍,那么上坡的速度是平路速度的( )6. 有两堆棋子,A堆有黑子350个和白子500个,B堆有黑子400个和白子100个。为了使A堆中黑子占50%,B堆中的黑子占75%,要从B堆中拿到A堆黑子多少个?白子多少个?7. 甲、乙两个仓库,乙仓库原有存货1200吨。当甲仓库的货物运走,乙仓
17、库的货物运走以后,再从甲仓库取出剩下货物的10%放入乙仓库,这时,甲、乙两仓库的货物重量恰好相等。那么甲仓库原有存货多少吨?8. 同学们乘汽车外出春游。开始上第一辆汽车的同学比上第二辆汽车的同学多8人。后来调走13个同学上第二辆汽车,这时第一辆汽车上的同学的人数是第二辆汽车上同学人数的。参加这次春游活动的同学一共有多少人?9. 某商店分别花同样多的钱,购进甲、乙、丙三种不同的糖果。已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是元、元、元。如果把这三种糖果混合成什锦糖,按20%的利润定价,那么这种什锦糖每千克定价多少元?10. 电影票原价每张若干元,现在每张降价3元出售,观众增加一半,收入增加,一张电
18、影票原价多少元?11. 王师傅要加工一批零件,若每小时多加工12个零件,则所用的时间比原计划少;若每小时少加工16个零件,则所用的时间比原来多小时。这批零件共有多少个?12. 金放在水里称,重量减轻;银放在水里称,重量减轻。一块金银合金重770克,放在水里称,共减轻了50克。这块合金含金银各多少克?13. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出,经4小时相遇,相遇后各自继续前进。又经过3小时,甲车到达B地,乙车离A地还有70公里,求A、B两地相距多少公里?14. 二年级两个班共有学生90人,其中少先队员有71人,又知一班少先队员占本班人数的75%,二班的少先队员占本班人数的,求两个班各有多少人
19、?15. 张师傅做一种零件,第一天做了这批零件的12.5%,第二天比第一天多做了25%,第三天比第二天多做了8只,这时正好完成这批零件的一半,这批零件共有多少只?16. 兄弟三人,老大比老二的年龄大20%,老二比老三的年龄大20%,老大比老三的年龄在百分之几?17. 某工厂的27位师傅共带徒弟40名,每位师傅可以带一各徒弟、两名徒弟或三名徒弟,如果带一名徒弟的师傅是其他师傅的人数的两倍,那么带两名徒弟的师傅有多少位?18. 已知甲校学生数是乙校学生数的40%,甲校女生数是甲校学生数的30%,乙校男生数是乙校学生数的42%,那么两校女生总数占两校学生总数的百分比是多少?19. 某商店到橘子产地去
20、收购橘子,收购价为每千克1.20元,从产地到商店距离400千米,运费为每吨货物每运1千米收1.50元,如果不计损耗,商店要实现25%的利润,每千克橘子零售价应是多少元?20. 有三堆棋子,每堆棋子数一样多,并且都只有黑白两种棋子。第一堆里的黑子数与第二堆里的白子数一样多,第三堆里的黑子数为全部黑子的,把三堆棋子集中在一起,白子为全部棋子的几分之几?21. 纸箱中有若干个乒乓球,其中是一级品,(为正整数)是二级品,其余的91个是三级品。共有多少个乒乓球?第二单元 工程问题工程应用题中的工作(或工作)一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工程看作单位“1”,再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几
21、分之几,即工作效率。一般要用到下面三个关系式:工作量=工作效率工作时间,工作时间=工作量工作效率,工作效率=工作量工作时间。在解答时要注意以下几点。1 有的工程问题,工作效率往往隐藏在条件中,工作过程也较为复杂,要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。2 涉和到具体数量的工程问题,关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系,转化为分数应用题来解答。3 对一些有循环周期的工程问题,要注意弄清一个周期的工作量,还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。例1 打印一份稿件,甲单独打4小时打了这份稿件的,乙接着又打了2小时,打了这份稿件的,剩余的甲、乙共同打,还需几小时?拓展一 一件工作,甲单
22、独做要20天完成,乙单独做要12天完成。这件工作,先由甲做了若干天,然后乙继续做完,从开始到完工共用了14天,问甲、乙两人各做了多少天?拓展二 一件工作,若单独完成,甲需10小时,已需15小时,丙需20小时。现由三人合做,中途甲因故停工几小时,结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时?拓展三 有甲、乙两人合做一项工程,需天完成。若甲一人独做8天后,再由乙独做10天完工,问甲、乙单独做各需几天完工?拓展四 一个水池,甲、乙两管同时开,5小时灌满,乙、丙两管同时开,4小时灌满。如果乙管先开6小时,还需要甲、丙两管同时2小时才能灌满(这时乙管关闭),那么乙管单独开灌满水池需要多少小时?例2 修一段公路
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