matlab中方程根的近似计算.docx

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1、实验一 方程根的近似计算一、问题求非线性方程的根二、实验目的1、学会使用matlab中内部函数roots、solve、fsolve、fzero求解方程，并用之解决实际问题。4、熟悉Matlab的编程思路，尤其是函数式M文件的编写方法。三、预备知识方程求根是初等数学的重要内容之一，也是科学与工程中经常碰到的数值计算问题。它的一般形式是求方程f(x)=0的根。如果有x*使得f(x*)=0，则称x*为f(x)=0的根，或函数f(x)的零点。并非所有的方程都能求出精确解或解析解。理论上已经证明，用代数方法可以求出不超过3次的代数方程的解析解，但对于次数大于等于5的代数方程，没有代数求根方法，即它的根不

2、能用方程系数的解析式表示。至于超越方程，通常很难求出其解析解。不存在解析解的方程就需要结合具体方程（函数）的性质，使用作图法或数值法求出近似解。而计算机的发展与普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学与工程中最实用的方法之一。下面介绍几种常见的求近似根的方法。1. 求方程近似解的简单方法1.1 图形方法放大法求根图形的方法是分析方程根的性态最简洁的方法。不过，不要总是想得到根的精确值。这些值虽然粗糙但直观，多少个根，在何范围，一目了然。并且还可以借助图形局部放大功能，将根定位得更加准确一些。例1.1 求方程x5+2x2+4=0的所有根及其大致分布范围。解（1）画出函数f(x)=x5+

3、2x2+4的图形，确定方程的实数根的大致范围。为此，在matlab命令窗中输入clfezplot x-x,grid onhold onezplot(x5+2*x2+4,-2*pi,2*pi) 1-1 函数f(x)=x5+2x2+4的图形clfx=-2*pi:0.1:2*pi;y1=zeros(size(x);y2= x.5+2*x.2+4;plot(x,y1,x,y2)grid on axis tighttitle(x5+2x2+4)xlabel(x) 从图1-1可见，它有一个实数根，大致分布在-2与2之间。（2）将作图范围不断缩小，用放大法可得到精度越来越高的根的近似值。在matlab命令窗

4、中先后键入subplot(2,2,1)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot(x5+2*x2+4,-2,2)subplot(2,2,2)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot(x5+2*x2+4,-2,-1)subplot(2,2,3)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot(x5+2*x2+4,-1.6,-1.5)subplot(2,2,4)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot(x5+2*x2+4,-1.55,-1.54)图1-2 放大法求函数f(x)=x5

5、+2x2+4的根由图1-2可知，方程的根在-1.545与-1.54之间。1.2 数值方法非线性方程f(x)=0求根的方法有区间法与迭代法两大类，二分法、弦位法是区间法，简单迭代法与牛顿迭代法及其变形是迭代法，这里只给出二分法、简单迭代法与牛顿迭代法的构造过程。（1）根的隔离与二分法根的隔离思想来源于连续函数的零点定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一根x*。二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将含根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列xn来逼近根x*。用该方法求f(x)=0的近似解可分两步做：第一步，确定

6、根的近似位置或大致范围，即确定一个区间a,b,使所求根是位于这个区间内的唯一实根。这个区间称为根的隔离区间，这可以通过函数作图达到：先画出y=f(x)的图形，然后从图上定出它与x轴交点的大概位置。第二步，以根的隔离区间a,b的端点作为根的初始近似值，用二分法逐步改进根的近似值的精确度，直至求得满足精确度的近似解。具体步骤如下：取a,b的中点x0=(a+b)/2，若f(x0)=0，则x0就是f(x)=0的根x*。若f(a)f(x0)0，则根x*必在区间(a,x0)内，取a1=a, b1=x0；否则根x*必在区间(x0,b)内，取a1=x0, b1=b。这样，得到新区间a1,b1，其长度为a,b的

7、一半。如此继续下去，进行n等分后，得到一组不断缩小的区间序列a,b, a1,b1, a2,b2, an,bn,与对应区间的中点数列xn=(an+bn)/2, n=0,1,2, 其中每个区间都含有根x*，满足a,ba1,b1 a2,b2 an,bn 且每个区间的长度都是前一区间长度的一半。由于an,bn的长度为(b-a)/2n,当n不断变大时，这些区间将收敛于一点x*，该点即为所求的根。当做到第n步时，有选择适当的步数n，就可达到满意的精度。用二分法，理论上区间中点序列xn将收敛到根的真值，但收敛速度较慢，所以通常用二分法为其他方法提供初步的近似值。（2）简单迭代法迭代法的基本原理是构造一个迭代

8、公式，反复用它得出一个逐次逼近方程根的数列，数列中每一项都是方程根的近似值，只是精度不同。简单迭代法也成逐次迭代法，是非线性方程求根中各类迭代法的基础。由于对方程作等价变换根不发生变换，将方程f(x)=0等价变换为，构造迭代计算公式。取定初值x0，算出数列xn。如果xn收敛于x*，则有这说明，x*就是方程f(x)=0的根。上面称为不动点方程，称为迭代函数，数列xn称为迭代数列。（3）牛顿迭代法如果f(x)在a,b上具有二阶导数，f(a)f(b)err)&(yc=0)c=(a+b)/2;x=a; ya=eval(f);x=b; yb=eval(f);x=c; yc=eval(f);if ya*y

9、c erfenfa输入函数：f(x)=x3+1.1*x2+0.9*x-1.4输入区间=0,1输入误差=0.001x0=0.5000x0=0.7500x0=0.6250x0=0.6875x0=0.6563x0=0.6719x0=0.6641x0=0.6680x0=0.6699x0=0.6709由此得到，方程的根的近似值为0.6709.2、编写牛顿迭代法求根程序，求1中方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的实根的近似值，并计算迭代次数为6的近似根。解：由1可知，0.5,1是根所在的区间，在0.5,1上f(x)= x3+1.1x2+0.9x-1.4f(x)=3*x2+2.2x+0.9, f(x

10、)=6x+2.2f(x)与f(x)在0.5, 1上保持同号，f(1)0与f(1)同号，所以取x0=1为迭代初始值。用matlab语言编写一般的程序如下：f=input(输入函数：f(x)=);n=input(请输入迭代次数：n=);x0=input(请输入迭代初始值：x0=);f1=diff(f);format longfor i=1:nx=x0;fx0=eval(f);f1x0=eval(f1);x0=x0-fx0/f1x0;fprintf(x0=%12.10fn,x0)end 存为文件niudunfa.m，调用及运行结果如下： niudunfa输入函数：f(x)=x3+1.1*x2+0.9

11、*x-1.4请输入迭代次数：n=6请输入迭代初始值：x0=1x0=0.7377049180x0=0.6741688117x0=0.6706675756x0=0.6706573108x0=0.6706573107x0=0.6706573107由此得到，方程的根的近似值为0.6706573107。3. 用matlab中的内部函数求方程的根。（1）用roots求方程x9+x8+1=0的根；（2）用solve求上述方程的根；（3）用fzero求方程x2+4sinx=25的实根；（4）用fsolve求方程x=e-x在0附近的根；解：（1）在matlab命令窗口输入命令：p=zeros(10,1); p(

12、1:2,end,1)=1; roots(p) ans = -1.2643 -0.9254 + 0.575312094072893i -0.9254 - 0.575312094072893i -0.269351937596575 + 0.9446i -0.269351937596575 - 0.9446i 0.416834006536573 + 0.841919773084660i 0.416834006536573 - 0.841919773084660i 0.8675 + 0.334352258897906i 0.8675 - 0.334352258897906i （2）在matlab命令窗

13、口输入命令：solve(x9+x8+1=0) ans =RootOf(X19 + X18 + 1, X1) （3）首先作图确定根的大致范围：clf, ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot(x2+4*sin(x)-25) 图1-6由图1-6可确定两根在x1-4，x25附近。再具体求根。x1=fzero(x2+4*sin(x)-25,-4)x2=fzero( x2+4*sin(x)-25,5) x1 = -4.5869x2 = 5.318580248846235 （4）在matlab命令窗口输入命令：x=fsolve(x-exp(-x),0) Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.x = 0.567143165036970 五、实验练习1、用二分法求方程x3-1.2x+6=0的实根的近似值，使误差不超过10-3，并用roots命令进行检验。2、用牛顿迭代法求方程x3-1.1x2+2x-8=0的实根的近似值，使误差不超过0.001，并用solve命令进行检验。3、用简单迭代法求方程x=e-x在0附近的根，并用fsolve命令进行检验。第 13 页