固体物理习题解答.doc

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1、固体物理学习题解答( 仅供参考 )参加编辑学生柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）指导教师黄新堂华中师范大学物理科学与技术学院2003级2006年6月第一章 晶体结构1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a。解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na+和一个Cl组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的原子和一个体对角线上的原子组成的原子对。由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：相应的晶胞

2、基矢都为：2. 六角密集结构可取四个原胞基矢与,如图所示。试写出、这四个晶面所属晶面族的晶面指数。 解：(1)对于面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：，。所以，其晶面指数为。(2)对于面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：，。所以，其晶面指数为。(3)对于面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：，。所以，其晶面指数为。(4)对于面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：，。所以，其晶面指数为。3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：简立方：；体心立方：；面心立方：；六角密集：；金刚石：。证明：由于晶格常数为a，所以：(1)构成简立方时，最大球半径为，每个原胞中占有一个

3、原子，(2)构成体心立方时，体对角线等于倍的最大球半径，即：，每个晶胞中占有两个原子，(3)构成面心立方时，面对角线等于倍的最大球半径，即：，每个晶胞占有个原子，(4)构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢的长度的一半，由几何知识易知。原胞底面边长为。每个晶胞占有两个原子，原胞的体积为： (5)构成金刚石结构时，的体对角线长度等于两个最大球半径，即：，每个晶胞包含8个原子，4. 金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析的方法证明这一夹角为。证明：如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶格常数为。选择体对

4、角线和，用坐标表示为和。所以,其夹角的余弦为： 5. 试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a。解：如图所示，面ABCD即(110)面，面CDE即为(111)面。设该面心立方的晶格常数为a，则在(110)面内选取只包含一个原子的面AFGD，其面积为，所以其原子数面密度为：在(111)面内选取只包含一个原子的面DHIG，其面积为：，所以其原子数面密度为： 6. 若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每个原胞内包含几个原子，设立方边长为a。解：这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另外，面心上的原子前后、

5、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子数为：（个）7. 底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子）、侧心立方（立方顶角与四个侧面的中心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？解：这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为：底心立方：侧心立方：边心立方：8. 试证六角密集结构中解：如图所示，ABC分别表示六角密集结构中中间层的三个原子，表示底面中心的原子。DABC构成一个正四面体，为长为a。，则，且 则由勾股定理得，第二章 晶体中的衍射1. 试证明面心立方与

6、体心立方互为正倒格子。方法1：面心立方： （1）由正格子和倒格子的转换关系 （2）其中：得： （3）在体心立方中 （4）由（2）式可得 （5）比较（1）与（5），（3）与（4）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。方法2：由方法一中的（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系： 由此可得面心立方的倒格子基矢： 同理可得体心立方的倒格子基矢： 比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。2. 为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（h k l）的晶 面间距为解： 由知 可得： 再由中和的关系：可得： 得证。3. 六角密集结构如取如下原胞基矢 试写出其倒格子基矢。方法一： 解得。 方法二：由正格子和倒格子

7、之间的关系：可得： 4. 如X射线沿简立方原胞的Oz负方向入射，求证当和时，衍射光线在yz平面上，为衍射线和Oz轴的夹角。证明：简立方的原胞的正格子基矢为： 其倒格矢为：由图可知：当m=1，=0时，上式可以成立当h=0时，只有分量，即只有分量，而,亦只有y，z分量，即衍射光线在yz平面上。5. 设在氯化钠晶体中， 位于立方晶胞的（0 0 0） ，（1/2 1/2 0） ，（1/2 0 1/2）与（0 1/2 1/2）诸点；而位于（1/2 1/2 1/2），（0 0 1/2），（0 1/2 0）与（1/2 0 0）诸点。试讨论衍射面指数和衍射强度的关系。解：对于氯化钠晶胞：（1）当衍射面指数全为

8、偶数时，衍射强度最大，（2）当衍射面指数全为奇数时，由于与具有不同的散射本领，使衍射指数全为奇数的衍射具有不为零但较低的强度。 6. 试求金刚石型结构的几何结构因子，设原子散射因子为。解：几何结构因子其中为晶胞的体积。金刚石型结构的晶胞内八个原子的位矢为（0 0 0）， （1/2 1/2 1/2 ），（1/2 0 1/2），（0 1/2 1/2），（1/4 1/4 1/4），（3/4 3/4 1/4），（3/4 1/4 3/4），（1/4 3/4 3/4）且八个原子为同种原子，金刚石型结构的几何结构因子为：7. 设一二维格子的基矢,夹角a=，试画出第一与第二布里渊区。二维倒格子基矢与正格子基矢

9、间有如下关系： 解：令 中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。8. 铜靶发射的X射线入射铝单晶，如铝（1 1 1）面一级布拉格反射角，试据此计算铝（1 1 1）面族的间距d与铝的晶格常数。解：第三章 晶体的结合1. 试证明以等间距排列的一维离子晶体的马德隆常数等于2ln2。证明：设相邻原子间的距离为r，一个原子的最近邻、次近邻原子均有2个，该晶体的马德隆常数为：M=+ =） =2 =得证2. 由实验测得NaCl晶体的密度为2.16g/cm3 , 它的弹性模量为2.141010 N/m2 ，试求NaCl晶体的每对离子内聚能。（已知马德隆常数M=1.7476, Na和Cl的原子量分别为2

10、3和35.45）解：NaCl晶体中Na+和Cl-的最近距离为晶胞基矢长为 2， 一个晶胞中含有四对正负离子对 一个原胞（一个NaCl分子）的体积为： = NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为： 由晶体体积弹性模量的公式： ，并且由于NaCl晶体为面心立方结构，参数=2，故由上式可得： = =7.82由平衡时离子晶体的内聚能公式：， 将n=7.82代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为： = 3. LiF晶体具有NaCl结构，已由实验测得正负离子间的最近距离=0.2014nm(1摩尔的内聚能1012.8kJ/mol, 以孤立离子系统的内能为能量的零点)。试计算该晶体的体积弹性模量，并与它的实验植

11、进行比较。解：由平衡时离子晶体的内聚能公式：，其中M=1.784 计算1mol的内聚能时，N=Na=6.021023 ，且=0.2014，计算得： n= = =6.33 LiF晶体具有NaCl结构，将 =2，n =6.33, =0.2014代入上式得：晶体的弹性模量为: = 7.242101 0 (N/m2)相对误差为：4. 试说明为什么当正负离子半径比时不能形成氯化铯结构，当时不能形成氯化钠结构，当时，将形成什么结构？已知：RbCl, AgBr, BeS的正负离子半径分别为： （nm） (nm)RbCl, 0.149 0.181AgBr, 0.113 0.196 BeS 0.034 0.17

12、4若把它们看成典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？若近似把正负离子都看成是硬小球，试计算这些晶体的点阵常数。解： （1）要形成氯化铯的体心立方结构，正负离子的直径必须小于立方体的边长，考虑密堆积，体对角线上的离子相切。即： 可得： 故，时，不能形成氯化铯结构。要形成氯化钠的面心立方结构，考虑密堆积，取面上的离子观察。 即： 故，时，不能形成氯化钠结构，将形成配位数更低的闪锌矿结构。（2）RbCl, 为氯化铯结构 晶格常数为： AgBr, 为氯化钠结构 晶格常数为： BeS： 为闪锌矿结构 晶格常数为：5. 由气体分子的实验测得惰性气体Xe的伦纳德琼斯势参数在低温下Xe 元素形成面心立方的

13、晶体，试求Xe晶体的晶格常数a,每个原子的内聚能和体积弹性模量Bm。若对Xe晶体施加压力。试在近似假定体积弹性模量不变的情况下，计算这些晶体的晶格常数a将变为多少？并求这时的内聚能将变为多少？解：原子间的平衡间距为 ：因结构为立方晶体，则晶格常数为：每个原子的内聚能为：体积弹性模量： =3.81109 N/m2由体积弹性模量的定义式可知： 因为：故 P 晶格常数 内聚能 6. 原子轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz相互正交、归一，请证明由sp3 杂化后的未配对电子轨道也相互正交归一：如已知在球面极坐标中，轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz可写成：请求出杂化轨道在球面坐标中的表达式并由此

14、求出杂化轨道具有最大值的方向。解：（1）原子轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz相互正交、归一 且 其余同理可证，波函数相互正交。 其余同理可证，波函数归一。 亦可以证明 （2）在球面坐标中的表达式为： （3）具有最大值时 具有最大值时 具有最大值时 具有最大值时 轨道具有最大值时，概率最大，即波函数的模的平方有最大值： 对 同理可得： 7. sp2杂化轨道可写成，在球面系中写出轨道表达式，并求杂化轨道最大值的方向。解：在球坐标系中：由 可得：具有最大值时 或 具有最大值时 或 具有最大值时 或 利用（i=1,2,3）可得： ， ， 第四章 晶格振动和晶体的热学性质1. 一维单原子晶格，在简

15、谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色散关系。解：设第个原子的势能函数为其中，为与第个原子的相距的原子间的恢复力常数，为晶格常数。则，第个原子的受力为其中，利用了。第个原子的运动方程为 令其试解为代入运动方程得故，2. 聚乙烯链的伸张振动，可以采用一维双原子链模型来描述，原胞两原子质量均为，但每个原子与左右的力常数分别为和，原子链的周期为。证明振动频率为解：单键和双键的长分别为和，而原子与的运动方程分别为令这两个方程的试解为把试解代入运动方程得有非零解的条件为解得利用，方程的解为3. 求一维单原子链的振动模式密度，若格波的色散可以忽略，其具有什么形式，比较这两者的曲线。解:

16、一维单原子链的晶格振动的色散关系为 其中，此函数为偶函数，只考虑的情况，下式右边乘2。区间振动模式数目为其中，故色散关系为其中，为单链总长，为晶格常数，因此，为原子个数。若格波没有色散，既只有一个（爱因斯坦模型）。而且振动模式密度函数满足下面关系故，为函数色散关系的曲线图如下：4. 金刚石（碳原子量为12）的杨氏模量为，密度。试估算它的德拜温度解：德拜温度为将，代入上式5. 试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。解：在德拜模型中，纵波与横波的最大振动频率均为，其中。纵波的零点振动能为同理，两支横波的零点振动能均为故，总的零点振动能为6. 一根直径为的人造蓝宝石晶体的热导率，在的温度达到

17、一个锐的极大值，试估计此极大值。（蓝宝石在时，）解：在低温情况下，热导率的表达式为其中，而且由于直径很小，自由程，所以而声速由德拜模型求取，在德拜模型中，故，,，代入中，得7. 和的原子量分别为23和37。氯化钠立方晶胞边长为，在方向可以看作是一组平行的离子链。离子间距。晶体的杨氏模量为，如果全放射的光频率与的光频模频率相等，求对应的光波波长（实验值为）。解：在一维双原子链模型中，时，光频模频率为杨氏模量为故，光波波长为8. 立方晶体有三个弹性模量，和。铝的，铝沿方向传播的弹性纵波的速度，横波速度，的密度。求德拜模型中铝的振动模式密度。解：德拜模型中，振动模式密度为其中，将，代入上式所以，代入

18、中，故，其中，。第六章 金属电子论1. 导出一维和二维自由电子气的能态密度。解：一维情形由电子的Schrdinger方程：得自由电子波函数解：且有：由周期性边界条件： 得：在到区间： 那么：，其中：二维情形同上，由电子的Schrdinger方程：得自由电子波函数解：，且：由周期性边界条件：得：，在到区间：那么：其中：2. 若二维电子气的面密度为ns，证明它的化学势为：解：由前一题已经求得能态密度：电子气体的化学势由下式决定：令，并注意到： 那么可以求出：证毕。3. He3是费米子，液体He3在绝对零度附近的密度为0.081 gcm3。计算它的费米能EF和费米温度TF。解：He3的数密度：其中m

19、是单个He3粒子的质量。可得：代入数据，可以算得：EF 6.85771023 J = 4.28104 eV.则：4.97 K.4. 金属钾在低温下的摩尔电子比热的实验值为：ce2.08 T mJmolK，试用自由电子气模型求它的费米能EF和状态密度g(EF)。解：考虑费米球模型，在费米面以内的粒子吸收能量跃出费米面的数目期望是：这些粒子共吸收能量：则相应的热容量为：其中：由题设数据，代入上式，可求出和 g(EF)：2.235103 eV=2.42510455. 银是一价金属，在T295 K时，银的电阻率1.61106cm，在T20 K时，电阻率0.038108cm。求在低温和室温时电子的自由程

20、。银的原子量为107.87，密度为10.5 gcm3。解：由可得：又：其中为阿伏加德罗常数，为Ag的原子量，为Ag的密度。将上式代入l的表达式，并代入数据可得：当 T295 K时，l = 3.7104 m,当 T20 K时，l = 1.6 m.在计算过程中，已取VF =106 m.6. Hunter S.C.和F.R.N.Nabarro曾计算铜中每厘米位错线引起的电阻率如下：刃型位错0.591020cm螺型位错0.181020cm假定刃型位错和螺型位错有相同的密度（位错密度为1有多少条位错线）。已知位错产生的电阻率2108cm，问铜中的位错密度是多少？解：设密度为x，由题意可以列出方程：2.6

21、10127. 在室温下金属铍的霍尔系数为2.441010 m3C1，求铍中空穴密度。解：由霍尔系数定义得：2.561028 m38. 试计算Cs在T1000 K时热电子发射的电流密度。解：电子热发射的电流密度函数为：由教材表6-3可查得Cs的功函数为1.81eV。代入数据到上式中可以算得：j9.2102 Am29. Al等离子体能量的实验值为15.3 eV，按照自由电子气模型的电子密度为n18.061022 m3，求的理论值。解：由等离子体振荡频率关系式：故：15.7 eV.第七章 周期场中的电子态1. 一维周期场中电子的波函数应满足布洛赫定理。若晶体常数是a, 电子的波函数为试求电子在这些状

22、态的波矢。解：2. 电子在周期场中的势能 V（X）= 且a=4b,是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。解：势能曲线为： 3. 用近自由电子模型处理上题，并求此晶体的第一个以和第二个禁带宽度。解：4. 已知一维晶体的电子能带可写成式中a是晶格常数。试求：（i）能带的宽度；（ii）电子在波矢k的状态时的速度；（iii）能带底部和顶部电子的有效质量。解：5. 如图所示平面正六方晶格是复式格子，若原胞中的原子属于同一元素，试求此晶体的结构因子。解：如图所示：由于红色和紫色的原子不等价，阴影部分为一个原胞。原胞中包含两个原子。6. 用紧束缚方法处理面心立方晶体的s态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出其能带为：，并求能带底部电子的有效质量。解：面心立方的每个格点有12个最近邻，如晶格常数为a，取某格点为坐标原点，则这12个最近邻的坐标为：7. 二维正方晶格的周期性势场可表示为：解：8. 图为二维正三角形晶格，相邻原子间距为a，只计入最近邻相互作用，试用紧束缚近似计算其s电子能带、带中电子的速度以和能带极值附近的有效质量。 解：三角形晶格的每个格点有6个最近邻，晶格常数为a，取某格点为坐标原点，则这6个最近邻的坐标为： 43 / 44