余数定理(11页).doc

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1、-余数定理-第 12 页定理1:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。（1）73=1,53=2,这样（7+5）3的余数就等于1+2=3,所以余0.（2）83=2,53=2,2+2=43,431,这样（8+5）3的余数就等于1.定理1有一种常见的考察方式，在往年的考试中也曾经出现，充分利用了定理1在加法余数计算中的优势。【例1】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（ ）。解析：小钱和小孙都是小

2、李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个余2 余4 余4 余3 余0 余1 余3 余42+4+4+3+0+1+3+4=215=41,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1,而这些数字显然只有36除以3余1,小赵只能是36个，应选C.定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。（1）73余1,53余2,这样（75）3的余数就等于12=2,所以余2.（2）53余2,

3、83余2,22=43,43余1,这样（58）3的余数就是1.【例2】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管（ ）段。解析：设长度为41mm的钢管x段，19mm的钢管y段，可列方程41x+19y=1773,19y显然能被19整除，而177319=936,因此41x19一定也余6,又4119余3,根据定理2,x19只能余2,选项中只有C选项满足此条件，应选C.三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+

4、16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316除以5的余数等于31=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以2319除以5的余数等于34除以5的余数，即2.若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那

5、么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab)例题精讲模块二：三大余数定理的应用【例 1】 有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数. 【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的

6、公约数，的约数有，所以这个数可能为。 【练习】1、 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数. 【解析】(法1)，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是； (法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数，所以这个数是2、在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为18，33=198，所以每198个数一次1198之间只有1，2，3，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999198=59，所以共有518+

7、9=99个这样的数3、(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？ 【解析】 设这个三位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，则根据题意可知，所以，即，得所以是9的倍数，是8的倍数此时，由知由于为三位数，最小为100，最大为999，所以，而，所以，得到，而是9的倍数，所以最小为9，最大为54当时，而，所以，故此时最大为；当时，由于，所以此时最小为所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154【例 2】 两位自然数与除以7都余1，并且，求 【解析】能被7整除

8、，即能被7整除所以只能有，那么可能为92和81，验算可得当时，满足题目要求，【练习】1、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？ 【解析】 所求班级数是除以余数相同的数那么可知该数应该为和的公约数，所求答案为172、在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_ 【解析】 因为,，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除，所以所求的最大整数是98【例 3】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的

9、余数是_ 【解析】 找规律用7除2，的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4因为，所以除以7余4又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同而2003除以7余1，所以除以7余1故与的和除以7的余数是【练习】1、在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组这样的数组共有_组 【解析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5因为，所以这样的数组共有

10、下面4个：，【例 4】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_ 【解析】，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，所以除数不是58，所以除数是【练习】1、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=_ 【解析】n能整除因为，所以n是258大于8的约数显然，n不能大于63符合条件的只有432、号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动

11、员打了多少盘? 【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。【例 5】 (2002年小学生数学报数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本这种成语大词典的定价是_元 【解析】 六名小学生共带钱133元133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰

12、好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1易知，这个钱数只能是37元，所以每本成语大词典的定价是(元) 【练习】1、(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_千克 【解析】 两个顾客买的货物重量是的倍数，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20 千克【例 6】 求的余数 【解析】 因为，根据同余定理(三)，的余数等于的余数，而，所以的余数为5【练习】1、 (华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数 【解析】先求出

13、乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数除以17的余数分别为2，7和11，2、求的最后两位数 【解析】 即考虑除以100的余数由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余24，那么除以25余1；又因为除以4余1，则除以4余1；即能被4 和25整除，而4与25互质，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余数即等于除以100的余数，而除以100余29，除以100余43，所以除以100的余数等于除以100的余数，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后两位数为633、除以13所得余数是_.【解析】 我们发现2222

14、22整除13，20006余2，所以答案为2213余9。4、 求除以7的余数【解析】 法一：由于(143被7除余3)，所以(被7除所得余数与被7除所得余数相等)而，（729除以7的余数为1）， 所以故除以7的余数为5. 法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：于是余数以6为周期变化所以5、（2007年实验中学考题）除以7的余数是多少？ 【解析 由于，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故除以7的余数是0；7、被除所得的余数是多少？ 【解析】 31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，时被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所

15、以被13除的余数与被13除的余数相同，余12，则除以13的余数为12； 30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，时，被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数，即4，故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是7、(2008年奥数网杯)已知，问：除以13所得的余数是多少？ 【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到； 根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余，200820082008除以13余，即200820082008是13的倍数而除以3余1，

16、所以除以13的余数与除以13的余数相同，为6.8、除以41的余数是多少？【解析】 找规律：，所以77777是41的倍数，而，所以可以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为79、除以10所得的余数为多少？【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的首先计算的个位数字，为的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是的个位数即0，

17、另外5个数为、，它们和的个位数字是的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3【例 7】 求所有的质数P，使得与也是质数 【解析】 如果，则，都是质数，所以5符合题意如果P不等于5，那么P除以5的余数为1、2、3或者4，除以5的余数即等于、或者除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况如果除以5的余数为1，那么除以5的余数等于除以5的余数，为0，即此时被5整除，而大于5，所以此时不是质数；如果除以5的余数为4，同理可知不是质数，所以P不等于5，与至少有一个不是质数，所以只有满足条件因数89909192939495969798因数【练习】1、在图表的第二行中

18、，恰好填上这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积因此原题中的可以改换为，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了我们得到下面的结果：因数89909192939495969798因数37195621048进而得到本题的答案是：因数89909192939495969798因数919589979394909892962、(2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式(其中)， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的是多少？ 【解析】 由于， 于是，从而(用

19、代入上式检验)(1)，对进行讨论：如果，那么(2)，又的个位数字是6，所以的个位数字为4，可能为、，其中只有符合(2)，经检验只有符合题意如果，那么(3)，又的个位数字为2或7，则可能为、，其中只有符合(3)，经检验，不合题意如果，那么(4)，则可能为、，其中没有符合(4)的如果，那么，因此这时不可能符合题意综上所述，是本题唯一的解【例 8】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为，则这个自然数是多少？ 【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为）既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0那么这个自然数

20、是的约数，又是的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19【练习】1、一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？ 【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、22

21、0后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17【例 9】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍求等于多少？ 【解析】根据题意，这三个数除以都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：由于，要消去余数,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4于是我们可以得到下面的式子：这样余数就处理成相同的最后两两相减消去余数，意味着能被整除51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以等于17【练习】1、一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、，求这个自然数和的值. 【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：，、，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是，故同余. 将这三个数相减，得到、，所求的自然数一定是和的公约数，而，所以这个自然数是的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是时，除、所得的余数分别为、，时成立,所以这个自然数是，.