余数性质及同余定理(B级)答案(6页).doc

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1、-余数性质及同余定理(B级)答案-第 6 页余数性质及同余定理知识框架一、 带余除法的定义及性质1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有ab=qr，也就是abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式

2、中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。2. 余数的性质 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数； 余数小于除数二、 余数定理：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+1639除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+1942除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所

3、以23167除以5的余数等于2，两个余数差312.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23149除以5的余数等于4，两个余数差为3544a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316除以5的余数等于313。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以2319除以5的余数等于34除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么与除以m的余数也相同一、 同余定理1、 定义整数a和b，除以一个大

4、于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即 ab（modm）2、 同余的重要性质及举例。1aa（modm）（a为任意自然）；2若ab（modm），则ba（modm）3若ab（modm），bc（modm）则ac（modm）；4若ab（modm），则acbc（modm）5若ab（modm），cd（modm），则ac=bd（modm）；6若ab（modm）则anbm（modm）其中性质3常被称为同余的可传递性，性质4、5常被称为同余的可乘性，性质6常被称为同余的可开方性注意：一般地同余没有可除性，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则ab（modm）3

5、、 整数分类：1用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，（奇数）；0，2，4，6，8，（偶数）2用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，（被3除余数是0）1，4，7，10，13，（被3除余数是1）2，5，8，11，14，（被3除余数是2）3在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，1（mod6）：1，7，13，19，25，2（mod6）：2，8，14，20，26，3（mod6）：3，9，15，21，27，4（mod6）：4，10，16，22，29，5（mod6）：5，11，17，23，29，重难点一个自然数被9除的余数和这个自然数所有

6、数字之和被9除的余数相同。同余在解答竞赛题中有着广泛的应用在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法例题精讲【例 1】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？【巩固】 2024除以一个两位数，余数是22求出符合条件的所有的两位数【例 2】 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【例 3】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人

7、岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁? 【巩固】 有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人三校共有高中生2196人有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是_人【例 4】 求被7除的余数【巩固】 一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是 。【例 5】 若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_【巩固】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为，则这个自然数是多少？【例

8、 6】 有这样一类2009位数，它们不含有数字0，任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的两位数都有一个约数和20相差1，这样的2009位数共有_个【巩固】 在两位数10，11，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变问：经过这样改变之后，所有数的和是多少?【例 7】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍求等于多少？【巩固】 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是，求该自然数的值【例 8】 【答案】已知n是正整数，规定，令，则整数m除以2008的余数为多少？【巩固

9、】 已知n是正整数，规定，令，则整数Q除以2013的余数为多少？【例 9】 设n为正整数，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值【巩固】 试求不大于100，且使能被11整除的所有自然数n的和【例 10】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【巩固】 两位自然数与除以7都余1，并且，求课堂检测【随练1】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【随练2】 与的和除以7的余数是_【随练3】 、为非零自然数，且被整除。的最小值为 。家庭作业【作业1】 大于35的所有数中，有

10、多少个数除以7的余数和商相等？【作业2】 一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是_。【作业3】 三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是 。【作业4】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？【作业5】 修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？ 【作业6】 科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几?教学反馈学生对本次课的评价特别满意 满意 一般家长意见及建议 家长签字：