全等三角形-辅助线做法讲义(11页).doc

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1、-全等三角形-辅助线做法讲义-第 11 页全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一倍长中线【夯实基础】例：中，是的平分线，且，求证方法1：作于E，作于F，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线中 方式1： 延长到E， 是边中线 使， 连接 方式2：间接倍长 作于F， 延长到N， 作的延长线于E 使，连接 连接【经典例题】例1：中，5，3，求中线的取值范围例2：已知在中，D在上，E在的延长线上，交于F，且，求证：例3：已知在中，是边上的中线，E是上一点，且，延长交于F，求证：提示：倍长至G，连接，证明 三角形是等腰三角形例4：已知：如

2、图，在中，D、E在上，且，过D作交于点F，.求证：平分提示：方法1：倍长至G，连结方法2：倍长至H，连结例5：已知，是的中线，求证：提示：倍长至F，连结 证明（）进而证明（）【融会贯通】1、在四边形中，E为边的中点，与的延长线相交于点F。试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长、交于G 证明、 所以2、如图，为的中线，平分交于E，平分交于F. 求证：3、已知：如图，D中，90，于M，平分交于D，交于T，过D作交于E，求证：.提示：过T作于N 证明截长补短法引辅助线思路：当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较

3、短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。 通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。 例1. 如图，中，2B，12。 求证：证法一：（补短法） 延长至点F，使得 在和中 BF 2B 2F 而F F 而 证法二：（截长法） 在上截取，连结 在和中 例2. 如图，在中，90，12，交的延长线于E，证明：2。 分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2，转化为证两线段相等的问题，分别延长，交于F，证，得，再证，得。1、如图，中，2，平分，且，求证：2、如图，分别平分,，过点E，求证3、如图，已知在内，P，Q分别在，上，并且，分别是，

4、的角平分线。求证：4、如图，在四边形中，平分，求证： 5.已知：如图，中，平分，若2B,证明：.6.已知：如图，中，60，B与C的平分线交于点I，求证：.7.已知：如图，在正方形中，E为上一点，平分交于F，求证：.与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。（1）截取构全等如图1-1，如

5、取，并连接、，则有，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1 如图1-2，平分，平分，点E在上，求证：。简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。自已试一试。例2 已知：如图1-3，2，求证分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例3 已知：如图1-4，在中，2平分，求证：分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来

6、证明。练习1 已知在中，平分，2C，求证：2 已知：在中，2B，平分交于E，2，求证：23 已知：在中，为的平分线，M为上任一点。求证：4 已知：D是的的外角的平分线上的任一点，连接、。求证：。（2）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1 如图2-1，已知, 。求证：180分析：可由C向的两边作垂线。近而证与B之和为平角。例2 如图2-2，在中，90，。求证：分析：过D作于E，则，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3 已知如图2-3，的角平分线、相交于点P。求

7、证：的平分线也经过点P。分析：连接，证平分即可，也就是证P到、的距离相等练习：1如图2-415，如果4，则（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在中，90，平分，1.52.5.求。3已知：如图2-5, ，（）.求证：180。4.已知：如图2-6,在正方形中，E为 的中点，F为 上的点，。求证：。5 已知：如图2-7，在中，90，垂足为D，平分交于F，过F作交于H。求证。（3）、作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如

8、果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例1 已知：如图3-1，于D，H是中点。求证：（）分析：延长交于点E，则可得全等三角形。问题可证。例2 已知：如图3-2，90，为的平分线，.求证：2。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例3已知：如图3-3在中，、分别的内、外角平分线，过顶点B作垂直,交的延长线于F，连结并延长交于M。求证：。分析：由、是内外角平分线，可得，从而有，所以想到利用比例线段证相等。例4 已知：如图3-4，在中，平分，交延长线于M。求证：（）分析：题设中给出了角平分线，自然想到以为轴作

9、对称变换，作关于的对称，然后只需证，另外由求证的结果（），即2，也可尝试作关于的对称，然后只需证即可。练习：1 已知：在中，5，3，D是中点，是的平分线，且于E，连接，求。2 已知、分别是的的内角与外角的平分线，于F，于E，连接分别交、于M、N，求证（4）、以角分线上一点做角的另一边的平行线12ACDB有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。例4 如图，, 1=2，求证：。BDCA例5 如图，平分，且，求证：180。ABECD例6 如图，、分别平分各，

10、求证：。CAB练习：1. 已知，如图，2A，2。求证：是直角三角形。ABDC122已知：如图，2，1=2，求证：AEBDC3已知、是的角平分线，60，求证：ABCD4 已知：如图在中，90，是的平分线，求证：(5)、且垂直一线段，应想到、角平分线等腰三角形的中线例6如图7，是等腰直角三角形，90，平分交于点D，垂直于，交的延长线于点E。求证：2。证明：延长，交于点F，在和中，1=2，90，从而2。又1+3+90，故1=3。在和中，1=3，90，2。注：此例中是等腰的底边的中线。（六）、借助角平分线造全等1：如图，已知在中，60，的角平分线相交于点O，求证：2：（06郑州市中考题）如图，中，平分，且平分，于E，于F. （1）说明的理由；（2）如果，求、的长.总结口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。