高考数学（理）新课堂课件：9.5-几何概型（含答案）.ppt

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1、第5讲,几何概型,1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面 积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简,称为_.,几何概型,2.几何概型中，事件 A 的概率计算公式,P(A),构成事件 A 的区域长度( 面积或体积) 全部结果所构成的区域长度( 面积或体积),3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点,(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个. (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.,注意：在几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子 区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置 和形状无关.,求试验中几何

2、概型的概率，关键是求得事件所占区域和,整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解.,1.一只蚂蚁在如图 951 所示的地板砖(除颜色不同外，其 余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在灰色地板砖上的概,率是(,),B,图 951,A.,1 4,B.,1 3,C.,1 5,D.,1 2,2.(2016 年湖北武汉调研)在两根相距 6 m 的木杆上系一根 绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概,率为(,),B,A.,1 2,B.,1 3,C.,1 4,D.,1 6,解析：记“灯与两端距离都大于 2 m”为事件 A，则 P(A),面积不小于 的概率是(,3.在面积为 S 的ABC

3、 的边 AB 上任取一点 P，则PBC 的,S 3,),A.,2 3,B.,1 3,C.,3 4,D.,1 4,空间是线段 AB 的长度.如图 D77，取 AB 的三等 分点 P，如果在线段 BP 上取点，那么PBC 的,答案：A,图 D77,4.向面积为 S 的ABC 内任投一点 P，则PBC 的面积小,图D78,考点 1,与长度(或角度)有关的几何概型,例 1：(1)(2016 年新课标)某公司的班车在 7：00,8：00, 8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车， 且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的,概率是(,),A.,1 3,B

4、.,1 2,C.,2 3,D.,3 4, .故选 B.,解析：如图 D79，画出时间轴： 图 D79 小明到达的时间会随机地落在图中线段 AB 中，而当他的 到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过,10 分钟，根据几何概型，得所求概率 p,1010 40,1 2,答案：B,间4,5上随机取一个数 x，则 xD 的概率是_. 解析：由 6xx2 0，即 x2x60，解得2x3，,3( 2) 5( 4),根据几何概型的概率计算公式得 xD 的概率是 5 . 9 5 答案： 9,(3)在区间2,3上随机选取一个数 x，则 x1 的概率为,(,),A.,4 5,B.,3 5,

5、C.,2 5,D.,1 5,解析：在区间2,3上符合 x1 的区间为2,1，因为区 间2,3的长度为 5，区间2,1的长度为 3，所以根据几何概 答案：B,【规律方法】应用几何概型求概率的步骤：,把每一次试验当作一个事件，看事件是否是等可能的且 事件的个数是否是无限个，若是，则考虑用几何概型； 将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图,形，并加以度量；,将几何概型转化为长度、面积、体积之比，应用几何概,型的概率公式求概率.,考点 2,与面积(或体积)有关的几何概型,例 2：(1)(2017 年新课标)如图 952，正方形 ABCD 内 的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部

6、分和 白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一,),点，则此点取自黑色部分的概率是( 图 952,解析：不妨设正方形边长为 a，由图形的对称性可知，太 极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半.由几何概型,答案：B,(2)(2016 年新课标)从区间0,1内随机抽取 2n 个数 x1， x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)， (xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机,模拟的方法得到的圆周率 的近似值为(,),A.,4n m,B.,2n m,C.,4m n,D.,2m n,解析：由题意，得(xi，yi)(i1,2

7、，n)在如图所示方格中， 而平方和小于 1 的点均在如图 D80 所示的阴影中，利用几何概,图 D80 答案：C,(3)如图 953，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，有一动点在 此长方体内随机运动，则此动点在三棱椎 AA1BD 内的概率为 _. 图 953,【规律方法】如果试验结果构成的试验区域的几何测度可 用面积或体积表示，那么概率的计算公式为P(A),构成事件 A 的区域长度( 面积或体积) 全部结果所构成的区域长度( 面积或体积),.,考点 3,与线性规划有关的几何概型,例 3：甲、乙两人约定上午 9 时至 12 时在某地点见面，并 约定任何一个人先到之后等另一个人不超过 1 小

8、时，1 小时之 内若对方不来，则离去.如果他们两个人在 9 时到 12 时之间的 任何时刻到达约定地点的概率都是相等的，求他们见到面的概 率.,思维点拨：(1)考虑甲、乙两人分别到达某地点的时间.我们 以 9 时为起时，在平面直角坐标系内用 x 轴表示甲到达约定地 点的时间，y 轴表示乙到达约定地点的时间，用 0 到 3 表示 9 时至 12 时的时间段，则横轴 0 到3 与纵轴 0 到3 的正方形中任 一时的坐标(x，y)就表示甲、乙两人分别在 9 时至 12 时时间段 内到达的时间对.(2)两人能会面的时间必须满足：|xy|1.这就 将问题化归为几何概型问题.,解：设 9 时后过了 x 小

9、时甲到达，9 时后过了 y 小时乙到达， 取点 Q(x，y)， 则 0x3,0y3. 两人见到面的充要条件是|xy|1.如图 954，其概率是：,图 9-5-4,【规律方法】将随机事件转化为面积之比时，要注意哪部 分代表总的基本事件表示的区域，哪部分是所求事件所表示的 区域.,1. (由人教版教材必修 3P137例2 改编)某校早上 8：00 开始上 课，假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50 之间到校， 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王 至少早 5 分钟到校的概率为_.(用数字作答),解析：如图 D81，用 x 表示小张到校的时间，30 x50， 用 y 表示小

10、王到校的时间，30y50，则所有可能的结果对应 平面直角坐标系的正方形 ABCD 区域，小张比小王至少早 5 分 钟到校，即yx5.所对应的区域为DEF.,【互动探究】,图 D81,答案：,9 32,2.(2015 年湖北)在区间0,1上随机取两个数 x，y，记 p1为,A.p1p2p3 B.p2p3p1 C.p3p1p2 D.p3p2p1,(1),(2),(3),图 D82 答案：B,易错、易混、易漏 几何概型中容易混淆几何量的比 例题：(1)在 RtABC 中，A30，过直角顶点 C 作射,线 CM 交线段 AB 于点 M，则使|AM|AC|的概率为(,),正解：如图 955，取 ADAC，A30，此时ACD,图 955 答案：B,(2)在 RtABC 中，A30，在斜边 AB 上任取一点 M，,则使|AM|AC|的概率为(,),正解：如图956，取 ADAC，A30，欲使|AM|AC|，,点 M 必须在线段 BD 内，其概率为,.,图 956 答案：C,【失误与防范】请注意两题的区别“过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于点 M”“在斜边 AB 上任取一点 M”，前者 CM 在直角内等可能，结果应该为角度的比；后者 M 为斜边 AB 上 任一点，结果应该为斜边 AB 上的长度比.,