圆中三角函数综合例题及练习.docx

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1、圆中的三角函数解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：ACBDO图1一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中例1(成都市)如图1，已知AB是O的直径，弦CDAB， ，BC=1，那么sinABD的值是 解析：在O中，ACD=ABD；又由于AB为O的直径，CDAB，则ACD=ABC.RtABC中，AB=3,从而sinABD=.评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。二、用直径与所对圆周角构造直

2、角三角形例2(烟台市)已知是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若DPB=，那么等于 Asin BCOS Ctan D解析： 连结BD,由于AB为直径,则ADB=90,图2于是,在RtPBD中,有COS=,而点C与点A在圆周上，所以A=C，又APB=CPD，则APBCPD，从而=，所以=COS，故选B。评注：直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。三、转化条件中的垂直关系构造直角三角形例3(武汉市)如图4，等腰三角形ABC中，ACBC10，AB12。以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为

3、F，交CB的延长线于点E。(1)求证：直线EF是O的切线；ABDCEFGO图4(2)求sinE的值。解析：（1）证明：如图5,连结OD、CD，因为BC是直径，所以CDAB，而AC=BC，则D是AB的中点又因为O是CB的中点，所以OD/AC由于DFAC，则ODEF，于是EF是O的切线.（2）连结BG，因为BC是直径，所以BGC=90在RtBCD中，CD=8图5而ABCD=2= ACBG , 则有BG=.在RtBCG中，CG=;又因为BGAC， DFAC，所以BG/EF, 则E=CBG,从而sinE=sinCBG=评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求

4、角的函数值提供便利.例4.如图，Rt ABC中, ACB=90，AC=4， BC=2,以AB上的一点0为圆心作O分别与ACBC相切于点D，E。 (1)求O的半径。(2)求sin BOC的值。证：(1)：连OE,OD，证四边形OECD为正方形，设半径为R，=, R=； (2)，作CMAB于M，易求AB=2AB CM=BCAC， CM=,易求OC=,sin BOC=例5.如图，等腰ABC中，AB=A C，以AB为直径作O，交BC于点D，DEAC于点E。(1)求证：DE为O的切线：(2)若BC=4，AE=1，求cos AEO的值。解：(1)连OD, C=ABC=ODB. OD/AC, ODE=DEC

5、 =90 (2) AEO=DOE, cosAEO= cosDOE=，连DA.证CD=BD =2， 证CDECDA,CD2=CECA=CE (CE+1) CE =4, DE=2, OD=AC=，OE=,cos AEO= cosDOE=专练1如图，已知RtABC与RtEBC，B=90以边AC上的点D为圆心， OA为半径的O与EC相切于点D，ADBC. (l)求证： E=ACB: (2)若AD=1, tanDAC=，求BC的长2如图，已知点0是RtABC的直角边AC上一动点，以D为圆心，OA为半径的O交AB于D点， DB的垂直平分线交BC于F,交BD于E。(l)连结DF，请你判断直线DF与O的位置关

6、系,并证明你的结论(2)当点D运动到OA=2OC时，恰好有点D是AE的中点，求tanB。3如图，在ABC中AB=BC,以AB为直径的O交AC于点D过D 作DFBC,交AB的延长线于点E,垂足为F . (1)求证；直线DE是O的切线；(2) 当AB=5，AC=8时，求cosE的值4如图，RtABC中， C=90，BD平分 ABC，以AB上一点0为圆心， 过B、D两点作O，O交AB于点E EFAC于点F。 (1)求证：O与AC相切： (2)若EF=2，BC =4，求tanA的值。5如图， ABP中，ABP=90，以AB为直径作O交AP于点C，在弧AC上取一点F，使弧CF=弧CB，过C作AF的垂线，

7、垂足为M，MC的延长线交BP于D。 (1)求证：CD为O的切线。(2)连BF交AP于B若BE=6，EF=2求tan FAE。6如图，AB是O的直径，AC是弦，点D是的中点，,垂足为点P.（1）求证：PD是O的切线. （2）若AC=6, cosA=，求PD的长.7如图，O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点.过点B作BE CD，交AC的延长线于点E.连接BC（1）求证：BE为O的切线；（2）如果CD=6，tanBCD=，求O的直径的长8ABCDEOF如图，DEC内接于O，AC经过圆心交于点B，且ACDE，垂足为，连结AD、BE，若，BED=30（1）求证：AD是O的切线； （2）是否是等边三角形？请说明理由；（3）若的半径，试求的长9如图，AB为O的直径，弦CDAB，垂足为点E，CFAF，且CF=CE （1）求证：CF是O的切线； （2）若sinBAC=，求的值 第 6 页