等差数列前N项和的公式.ppt

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1、复习回顾(1) 等差数列的通项公式等差数列的通项公式: 已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有: an=a1+ (n-1) d 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质等差数列的性质: 在等差数列在等差数列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么那么: an+am=ap+aq 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建

2、而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有同大小的圆宝石镶饰而成，共有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题呈现 问题问题1 这个问题，可看成是求等差数列这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前的前100项的和。项的和。假设1+2+3+ +

3、100=x, (1)那么100+99+98+ +1=x. (2)由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,100个101所以,1001012xx=5050.高斯高斯探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 这是求奇数个项和的问题，这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项办法，需要把中间项1111看成首、看成首、尾两项尾两项1 1和和2121的等差中项。的等差中项。 通过前后比较得出认识：高通过前后比较得出认识：高斯斯“首尾配对首尾配对” ” 的算法还得分的

4、算法还得分奇、偶个项的情况求和。奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？有无简单的方法？ 探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 借助几何图形之借助几何图形之直观性，使用熟悉的直观性，使用熟悉的几何方法：把几何方法：把“全等全等三角形三角形”倒置，与原倒置，与原图补成平行四边形。图补成平行四边形。探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 12321212019121(121)212s获得算法：获得算法：设等差数列设等差数列a1,a2,a3,它的前它的前n 项

5、和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2) 得得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即即 Sn=n(a1+an)/2 下面将对等差数列的前下面将对等差数列的前n项和公式进行推导项和公式进行推导由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于项的和等于首末项首末项的的和和与与项数项数乘乘积积的一半。的一半。上面的

6、公式又可以写成上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an = a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,51nnSanda这就是：知三求二（2） 1+3+5+（2n-1）=（1） 1+2+3+n=（3）2+4+6+2n=上面习题的答案在以后会经常用到。n（n+1）/2 n（n+1）n2 =Sn =SnSn你能做多块？你能做多块？【说明说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的项和公式的方法叫方法叫 ；等差数列的前等差数列的前n项和公式类同项和公式

7、类同于于 ；an为等差数列为等差数列 ，这，这是一个关于是一个关于 的没有的没有 的的“ ” 倒序相加法倒序相加法梯形的面积公式梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（ 注意注意 a 还还可以是可以是 0）例例1 解解：由题意可知，这个由题意可知，这个V形架上共放着形架上共放着120层铅层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为为an,其中其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前根据等差数列前n项项和的公式，得和的公式，得260 72)1201 (120120S答：答：V形架上共放着形架上共放着 7 260支铅笔。

8、支铅笔。例例2：在等差数列在等差数列an中，中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求，求Sn（2）由等差数列的通项公式，得由等差数列的通项公式，得14.5+(n 1) 0.7=32 n=265.604226)325.14(26 S（1）a3= -2，a8=12，求，求S10解解：（1）a1+a10 = a3+a8 = 105021010210)(10110aaS巩固练习巩固练习1、已知、已知 a6+a9+a12+a15=192,求求 S202、凸、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为边形各内角成等差数列，公差为 10，最小，最小内角为内角为 100，则，则n等于等于（）（A）7（B

9、）8（C）9（D）8或或 9 a6+a9+a12+a15=192， a6+a15=a9+a12= a1+a20 a1+a20=969609610220)(20120aaS由题意，得由题意，得 :解得解得 n=8 或或 n=9（舍）（舍） B180)2(210) 1(100nnnn3.一个项数为一个项数为36的数列的前四项和是的数列的前四项和是21，后四，后四 项和是项和是67，求这个数列的和，求这个数列的和。22467211naa解：39622236nS1()2nnn aaS公式11(1)(1)22nnn nn nSnadnad公式2等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式： 熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用解决相关问题活运用解决相关问题 课堂小结课堂小结 休休 息息 十十 分分 钟钟明天见明天见