3垂径定理（1）.ppt

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1、3.3.垂径定理垂径定理广水市平林中学广水市平林中学 宋传锋宋传锋 本本 课课 学学 习习 目目 标标1探究探究圆的轴对称性，圆的轴对称性，感知垂径定理的正确性；感知垂径定理的正确性；2. 2. 运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题；2通过通过实验、观察、猜想、推理的实验、观察、猜想、推理的探究探究过程中发展过程中发展 逻辑思维能力和识图能力逻辑思维能力和识图能力学习重点：垂径定理及其推论学习重点：垂径定理及其推论预习预习 P P81_83探究探究如图，是一圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你会发现：如图，是一圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折

2、，你会发现：（1 1）这个圆形纸片是）这个圆形纸片是 对称图形；对称图形；（2 2）这个圆形纸片有）这个圆形纸片有 条对称轴；这些对称轴都经过条对称轴；这些对称轴都经过 ; ; (3) (3)思考：点思考：点A A是这个圆上任意一点，它在这个圆上是否有对称是这个圆上任意一点，它在这个圆上是否有对称 点吗？如果有点吗？如果有, ,请加以证明请加以证明. .轴轴无数无数圆心圆心oA AA AD DMC C证明：设证明：设CDCD是经过圆心的任一条直线是经过圆心的任一条直线, ,过过A A点作点作AAAA CDCD交交 O O于于A A 点，垂足为点，垂足为M,M,连接连接OAOA、OAOA. .

3、OA=OAOA=OA , OMAA, OMAA AM=A AM=A M M CD CD是是AAAA 的垂直平分线的垂直平分线即即 A A点关于直线点关于直线CDCD的对称点是的对称点是A A . . 如果沿直径如果沿直径CDCD折叠，点折叠，点A A与点与点AA重合，重合，AMAM与与 重合，重合， 与与 重合，重合， 与与 重合重合. .A AM MAMAMA AM MACACA AC C即直径平分弦即直径平分弦AA,AA,并且平分并且平分和和ACA.ACA.AAAA垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. .这样我们就得

4、到这样我们就得到垂径定理垂径定理A AA AO OC CD DM这个证明说明：这个证明说明：圆是轴对称图形，经过圆心的任何一条直线都是它的对称轴圆是轴对称图形，经过圆心的任何一条直线都是它的对称轴. .垂径定理的推论垂径定理的推论平分弦（此弦不是直径）的直径垂直这条平分弦（此弦不是直径）的直径垂直这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧弦，并且平分这条弦所对的两条弧.题设为题设为垂径定理垂径定理结论为结论为直线经过圆心（直线经过圆心（直径、半径、线段直径、半径、线段）直线垂直弦直线垂直弦. 直线平分弦，直线平分弦， 直线平分弦所对的两条弧直线平分弦所对的两条弧. .A AB BO OC CD DE

5、E如果把题设中的如果把题设中的“直线垂直弦直线垂直弦”换成换成“直线平分弦直线平分弦”, ,这个这个命题还成不成立？命题还成不成立？其实只需要其中两个条件作题设，就可以得出其他三个结论其实只需要其中两个条件作题设，就可以得出其他三个结论. .例例1 1.下列图形能表示垂径定理或推论的有下列图形能表示垂径定理或推论的有 .（H H为为ABAB的中点）的中点）o o（2 2）A AB BH HD Do o（3 3）A AB BH HC CD Do o（4 4）A AB BH HC CD D（C,DC,D为弧的中点）为弧的中点）o o（6 6）A AB BH HC CD Do o（5 5）A AB

6、BH HC C（C C为弧的中点，为弧的中点，H H为为ABAB的中点）的中点）（ C C为弧的中点为弧的中点）o o（7 7）A AB BH HC C o o（1 1）A AB BH HC CD D（H H为为ABAB的中点）的中点）例例2.2.判断下列说法的正误判断下列说法的正误: : 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦( ) ( ) 平分弦的直径必垂直弦平分弦的直径必垂直弦 ( )( )垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦( ) ( ) 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦( ) ( ) 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 (

7、)( )平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( ) ( ) 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧. ( ). ( )例例3.3.如图，赵州桥，它是如图，赵州桥，它是13001300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形, ,它的跨它的跨度度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为3737m, , 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.237.

8、23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？A AB BO OC CD DR R解：解：AB=37AB=37，CD=7.23CD=7.23，OD=OCOD=OCCD=RCD=R7.237.23如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O O，半径为，半径为R R经过经过圆心圆心O O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与与AB AB 相交于点相交于点D D，根据，根据前面的结论，前面的结论，D D 是是AB AB 的中点，的中点，C C是的中点，是的中点，CD CD 就是拱高就是拱高（

9、R RA AB BO OC CD D37372 21 12 21 1=18.5,=18.5,= =AD=AD=ABAB解得：解得：R27R273 3在在RtRtOADOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得OAOA2 2=AD=AD2 2+OD+OD2 2 即即 R R2 2=18.5=18.52 2+ +（R R7.237.23）2 2 赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.327.3m. .1.1.如图，在如图，在OO中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm,8cm,圆心圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm,3cm,求求 OO的半径的半径. .O OA AB BE E2

10、.2.如图，在如图，在OO中，中，AB,ACAB,AC为互相垂直且相等的两条弦，为互相垂直且相等的两条弦，ODABODAB 于于D,OEACD,OEAC于于E E，求证四边形，求证四边形ADOEADOE是正方形是正方形. .O OA AC CB BD DE E小结小结1. .垂径定理垂径定理垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分条弦所对的两条弧垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分条弦所对的两条弧2.2.垂径定理的推论垂径定理的推论平分弦（此弦不是直径）的直径垂直这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。平分弦（此弦不是直径）的直径垂直这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。3.3.垂径定理的推论的引伸：垂径定理的推论的引伸：直线经过圆心；直线经过圆心；直线平分弦所对的另一条弧直线平分弦所对的另一条弧.直线平分弦直线平分弦；直线平分弦所对的一条弧；直线平分弦所对的一条弧；直线垂直弦直线垂直弦；在这五个条件中，在这五个条件中，只要其中两个成立，只要其中两个成立，其余三个都成立。其余三个都成立。作业作业P P8989 8. 9 . 10弦的垂直平分线必然经过圆心弦的垂直平分线必然经过圆心