131单调性与最大（小）值（1）课件.ppt

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1、1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值1.3 函数的基本性质函数的基本性质单调性最大值与最小值最大值与最小值(1)1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 前面我们学习了函数的单调性，知道了在前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数定义域的某个区间上函数值的变化函数值的变化与与自变自变量增大量增大之间的关系，请大家看某市一天之间的关系，请大家看某市一天24小时小时内的气温变化图内的气温变化图. (1)说出气温随说出气温随时间变化的特点时间变化的特点. 从图象上看出从图象上看出0时时4时之间气温下降时之间气温下降,4时时14

2、时之间气温逐步上升时之间气温逐步上升,14时时24时气温逐渐下降时气温逐渐下降.1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 (2)某市这一天何时的气某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低？温最高和何时的气温最低？ 14时气温达到最高时气温达到最高,4时气温达到最低时气温达到最低. (3)从图象上看出从图象上看出14时的气温为全天的最时的气温为全天的最高气温高气温,图象在这一点的位置最高图象在这一点的位置最高，气温气温达达到最大值。到最大值。这就是本节课我们要研究函数最大、这就是本节课我们要研究函数最大、最小值问题最小值问题.1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(

3、 (小小) )值值设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为,如果存在实数如果存在实数M满足满足:(1)对于任意的对于任意的x I,都有都有f(x)M; ;(2)存在存在x0 I,使得使得f(x0)= =M. .则称则称M是函数的是函数的最大值最大值(maximum value)1.1.函数的最大值：函数的最大值： 上面我们从直观的感受知道了最值的概念上面我们从直观的感受知道了最值的概念,下面给出严格的定义下面给出严格的定义. 2.函数最大值应该是所有函数值中最大的函数最大值应该是所有函数值中最大的, ,即对于任意的即对于任意的xI, ,都有都有f(x)M 注意注意: :1.函数最大值首先应该是

4、某一个函数值函数最大值首先应该是某一个函数值,即存在即存在x0I,使得使得f(x0) = M；axf)(max1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值(1)对于任意的对于任意的x I,都有都有f(x)M; ;(2)存在存在x0 I,使得使得f(x0)= =M. .则称则称M是函数的是函数的最小值最小值(minimum value)设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为,如果存在实数如果存在实数M满足满足:2.2.函数的最小值：函数的最小值： 函数的最大值从图象上看是在指定的区函数的最大值从图象上看是在指定的区间里间里最高位置对应的点的纵坐标最高位置对应的点的纵坐标,

5、,好象有一种好象有一种一览众山小的情景一览众山小的情景.同样函数的最小值从图象同样函数的最小值从图象上看是在指定的区间里上看是在指定的区间里最低位置对应的点的纵最低位置对应的点的纵坐标，好像有一种坐井观天的情景坐标，好像有一种坐井观天的情景.比照最大值的定义比照最大值的定义, 最小值是如何定义的最小值是如何定义的? bxf)(min1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值(1)( )1;f xx 2(2)( );f xx 请大家思考请大家思考, 是否每个函数都有最大值是否每个函数都有最大值,最最小值？举例说明小值？举例说明.一个一个 函数不一定有最值函数不一定有最值.

6、有的函数可能只有一个最大有的函数可能只有一个最大(或小或小)值值. 如果一个函数存在最值，那么函数的最如果一个函数存在最值，那么函数的最值都是唯一的值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有但取最值时的自变量可以有多个多个. 2(3) ( )21,0,3)f xxxx 1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 例例1.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的如果烟花距地面的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时

7、刻那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时这时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?2( )4.914.718,httt 1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 例例1.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的如果烟花距地面的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时这时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?2( )

8、4.914.718,httt 解解:作出函数作出函数h(t)=- -4.9t2+14.7t+18的图象的图象. 则函数则函数图象的顶点图象的顶点就是就是烟花上升的最高点，烟花上升的最高点，顶点顶点的的横坐标就是烟花爆裂的最佳横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻时刻,纵坐标就是这时距地面纵坐标就是这时距地面的高度的高度.1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 由二次函数的知识由二次函数的知识,对于对于h(t)=- -4.9t2+14.7t+18,我们有我们有: 当当时时，14.71.52( 4.9)t 答答:烟花冲出后烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻秒是它爆裂的最佳时刻,这

9、时距这时距地面的高度为地面的高度为29 m. 例例1.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的如果烟花距地面的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时这时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?2( )4.914.718,h ttt 24 ( 4.9) 1814.729.4 ( 4.9)h 函数有最大值函数有最大值1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小

10、) )值值例例2.画出函数画出函数y = |x2- -2x3|的图象的图象，并指出其单调，并指出其单调区间？并求最值区间？并求最值.解解:当当 x2- -2x- -30 ,即即 x 1 或或 x3 时时,y = x2- -2x3=( x- -1)24. 当当 x2- -2x30, 即即 1x3时时,y =(x2- -2x- -3) =(x- -1)2+4. 2223,1,3,23,13.xxxxyxxx 或或xyo4- -431-10)(minxf1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 例例3.函数函数 y=x2 - -2|x|- -3 的单调递增区间是的单调递增区间

11、是_;- -1,0,1,+ )-2-21 1-1-1oxy2223,0,23,0.xxxyxxx 4)(minxf1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值例例4.求函数求函数 y=|x+1|1x| 的单调区间的单调区间.解解:由由 y = | x + 1 |1x |,知知xy- -112- -2o故函数的增故函数的增区间区间为为1, 1.1,12,2 ,2,11.xxxyx 2)(minxf2)(maxxf1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值例例5.求函数求函数y=2|x- -1|- -3|x|的最大值的最大值.解解:(1)当当x0时时,y=

12、- -2(x- -1)+3x=x+2;(2)当当0 x1时时,y=- -2(x- -1)- -3x=- -5x+2;(3)当当x1时时,y=2(x- -1)+3x=- -x- -2.2,0,52, 01,2,1.xxyxxxx . 2)0(max fy由图象知：由图象知：xyO1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值例例6. .求函数求函数 在区间在区间2，6上的最大值和上的最大值和最小值最小值 12xy解解:121222()()11f xf xxx由由2x1x26 ,12()()0,f xf x所以，函数所以，函数 是区间是区间2,6上的减函数上的减函数.12xy且且

13、 x10, 于是于是 (x1-1)(x2-1)0,12 ()()f xf x 即即故当故当x=2时，时，max2y ；当当x=6时，时，min0.4.y 任取任取 x1 , x2 2,6，1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值12,(0),xx ， + +12121211()()()()f xf xxxxx121211()()xxxx120,xx解：解：则则211212()xxxxx x 12121()(1)xxx x1212121()()x xxxx x 120,xx12()()0f xf x ，12()()f xf x 1( )(0 ,1f xxx在在上是减函数上

14、是减函数.即即1201x x ，思考：思考：求函数求函数 的最值的最值.1( )(0)f xxxx12xx 且且，设设 当当 0 x1x21时，时，当当 1x1x2 时，时，121x x ，12()()0f xf x ，12()()f xf x 即即1( )1,)f xxx 在在上是增函数上是增函数.654321-1-2-3-4-8-6-4-224681012xy1234102345故当故当x=1时，时，min( )2.f x 该函数无最大值该函数无最大值.1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值12,(0),xx ，12121211()()()()f xf xxxxx

15、121211()()xxxx120 ,xx解：解：则则211212()xxxxx x 12121()(1)xxx x1212121()()x xxxx x 120,xx12()()0f xf x ，12()()f xf x 1( ) 1, 0)f xxx在在上是减函数上是减函数.即即1201x x ，思考：思考：求函数求函数 的最值的最值.1( )(0)f xxxx12xx 且且，设设 当当-1x1x20时，时，当当 x1x2-1时，时，121x x ，12()()0f xf x ，12()()f xf x 即即1( )(,1f xxx 在在上是增函数上是增函数.xy0-1-2-3-4-1-2

16、-3-4-5故当故当x=-1时，时，max( )2.f x 该函数无最小值该函数无最小值.1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值一、一、函数的最大函数的最大( (小小) )值的定义及几何意义值的定义及几何意义 函数在其定义域上的最大值函数在其定义域上的最大值, ,其几何其几何意义是图象上最高点的纵坐标意义是图象上最高点的纵坐标; ;最小值为最小值为图象上最低点的纵坐标图象上最低点的纵坐标. .1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值1.利用利用二次函数二次函数的性质（的性质（配方法配方法）求函数的最）求函数的最 大大( (小小) )值值 2. 利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大( (小小) )值值 3.利用利用函数单调性函数单调性的求函数的最大的求函数的最大( (小小) )值值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a, ,b上单调递上单调递增增, ,则函数则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处处有有最大值最大值f(b); 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a, ,b上单调递上单调递减减, ,在区间在区间b, ,c上单调递上单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b). .二、二、求函数最值的方法求函数最值的方法