高考数学（理）新课堂课件：9.6-离散型随机变量及其分布列（含答案）.ppt

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1、第6讲 离散型随机变量及其分布列,1.随机变量,(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字,母 X，Y，表示.,(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变,量.,(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫,做连续型随机变量.,2.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：,设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A),P(AB) P(A),为事件,A 发生的条件下，事件 B 发生的概率. (2)条件概率的求法： 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概,型概率公式，即 P(B|A),n(AB) . n(A),(3)条件概率的性质：,0,1,

2、条件概率具有一般概率的性质，即_P(B|A)_； 若 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B C|A) P(B|A) P(C|A).,3.事件的相互独立性,P(A)P(B),(1)设 A，B 为两个事件，若 P(AB)_，则称事件 A 与事件 B 相互独立. (2)若事件 A 与事件 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立.,4.离散型随机变量的分布列,一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1，x2， xi，xn，X 取每一个值 xi(i1，2，n)的概率 P(Xxi) pi，则表,称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列. 有时为了

3、表达简单，也用等式 P(Xxi)pi，i1，2，n 表 示 X 的分布列.,5.离散型随机变量分布列的性质,(1)pi0(i1，2，n).(2)p1p2pn1.,6.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：,如果随机变量 X 的分布列为：,其中 0p1，称 X 服从两点分布，而称 pP(X1)为成功,概率.,(2)超几何分布：,一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中 恰有 X 件次品，则随机事件 X k 发生的概率为 P(X k) ,MN，n，M，NN*)，称随机变量 X 服从超几何分布，其分 布列如下表：,(3)二项分布： 一般地，在 n 次独立重复试验中，设事

4、件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复,(k0，1，2，n).此时称随机变量,X 服从二项分布.记作 X,B(n，p)，并称 p 为成功概率.其分布列如下表：,1.设随机变量 X 的分布列如下：,则 p 为(,),A.,1 6,B.,1 3,C.,1 4,D.,1 12,C,2.某射手射击所得环数 X 的分布列为：,C,则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为(,),A.0.28,B.0.88,C.0.79,D.0.51,解析：P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.29 0.220.79.,恰好投进 3 个球的概率为(,),

5、C,A.,3 4,B.,5 8,C.,5 16,D.,5 32,4.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去,描述 1 次试验的成功次数，则 P(X0)(,),C,A.0,B.,1 2,C.,1 3,D.,2 3,解析：由已知，得 X 的所有可能取值为 0，1，且 P(X1),考点 1,离散型随机变量的分布列,例 1：(2016 年山东济南模拟)某学生参加某高校的自主招 生考试，须依次参加 A，B，C，D，E 五项考试.若前四项中有 两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束； 若考生未被淘汰，继续参加后面的考试.已知每一项考试都是相 互独立的，该考生参加 A，B，

6、C，D 四项考试不合格的概率均 (1)求该考生被录取的概率； (2)设该考生参加考试的项数为 X，求 X 的分布列.,解：(1)若该考生被录取，则前四项最多有一项不合格，并 且第五项必须合格. 记“前四项均合格且第五项合格”为事件 M. “前四项中仅有一项不合格且第五项合格”为事件 N，,(2)该考生参加考试的项数 X 可以是 2，3，4，5.,【规律方法】离散型随机变量的分布列的求法：,写出 X 的所有可能取值(注意准确理解 X 的含义，以免失,误)；,利用概率知识(古典概型或相互独立事件的概率)求出 X,取各值的概率；,列表并检验，写出分布列.,【互动探究】,1.(2014 年四川)一款击

7、鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都 需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐； 每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐 获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除,次击鼓出现音乐相互独立.,(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率.,解：(1)X 可能的取值为 10，20，100，200. 根据题意，有,考点 2,超几何分布,例 2：(2017 年北京)为了研究一种新药的疗效，选 100 名 患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药. 一段时间后，记录了两组患者的生理指

8、标 x 和 y 的数据，并制 成图 9-6-1，其中“*”表示服药者，“”表示未服药者. 图 9-6-1,(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值 小于 60 的概率； (2)从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记为选出 的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求的分布列和数学期望 E()； (3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服 药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出结论) 解：(1)由题图知，在服药的 50 名患者中，指标的值小于 60 的有 15 人， 所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标的值小,于 60 的

9、概率为,15 50,0.3.,(2)由图知，A，B，C，D 四人中，指标的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C. 所以的所有可能取值为 0，1，2.,所以的分布列为：,(3)在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服,药者指标 y 数据的方差.,【规律方法】对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布 列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问 题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布是一个重 要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不 同类别的小球等概率模型.,【互动探究】,2.(2017 年山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法 评价不同心理

10、暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的 志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙 种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来 评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4， A5，A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接 受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.,(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的,频率；,(2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分,布列与数学期望 E(X).,因此 X 的分布列为：,考点 3,二项分布的应用,例 3：(2014 年广东珠海

11、二模)已知甲、乙两名乒乓球运动 员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲 甲、乙二人准备进行三局比赛. (1)求在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率； (2)用表示三局比赛中甲获胜的局数，求的分布列. 解：(1)设事件 A 表示“在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第,(2)方法一，由题意知，的可能取值为 0，1，2，3.,则的分布列为：,【规律方法】(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关 键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否必居其 一；二是重复性，即试验是否独立重复进行了 n 次.,(2)二项分布满足的条件：,每次试验中，事件发生的概率是相同的； 各次试验中的事件是

12、相互独立的；,每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； 随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数.,【互动探究】,3.(2011 年大纲)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险 的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3， 设各车主购买保险相互独立.,(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概,率；,(2)X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买,的车主数.求 X 的期望.,解：记 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险； B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种,保险；,C 表示事件：该地的 1 位

13、车主至少购买甲、乙两种保险中,的 1 种；,D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买. (1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A),P(B)0.8.,(2)D C ，P(D)1P(C)10.80.2， XB(100，0.2)，即 X 服从二项分布， 所以期望 E(X)1000.220.,思想与方法,分类讨论思想与离散型随机变量的结合,例题：(2014 年福建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖 的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面 值之和为该顾客所获的奖励额.,(1

14、)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其,余 3 个均为 10 元，求：,顾客所获的奖励额为 60 元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.,(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个 球只能由标有面值为 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 为 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋 中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解：(1)设顾客所获的奖励额为 X.,依题意，得 X 的所有可能取值为 20，60.,即 X 的分布列为：,所以顾

15、客所获的奖励额的期望为 E(X)200.5600.540.,(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元. 所以先寻找期望为 60 元的可能方案.,对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10，10， 10，50)的方案，因为 60 元是面值之和的最大值，所以期望不 可能为 60 元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为 60 元 是面值之和的最小值，所以期望也不可能为 60 元，因此可能的 方案是(10，10，50，50)，记为方案 1；,对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理可排除(20，20， 20，40)和(40，40，40，20)的方案，所

16、以可能的方案是(20，20， 40，40)，记为方案 2.,以下是对两个方案的分析：,对于方案 1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励 额为 X1，则 X1 的分布列为：,对于方案 2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励 额为 X2，则 X2 的分布列为：,因为两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励 额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.,【规律方法】本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率 的计算，考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力. 尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时 候，可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质 来检查分类讨论是否有所遗漏或重复.,【互动探究】,4.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从 8 个试题 中随机挑选 4 个进行作答，至少答对 3 个才能通过初试，已知 甲、乙两人参加初试，在这 8 个试题中甲能答对 6 个，乙能答,响.,(1)求甲通过自主招生初试的概率；,(2)试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试,的可能性更大；,(3)记甲答对试题的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望.,