2022年复合函数的导数 .pdf

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1、高中数学教案选修第 1 章导数第 1 页（共 18 页）课题： 复合函数的导数 (1) 教学目的：1.理解掌握复合函数的求导法则. 2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律教学重点： 复合函数的求导法则的概念与应用教学难点： 复合函数的求导法则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 2 页（共 18 页）

2、的导入与理解授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：点，也是导数的难点 . 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导 .求导时对哪个变量求导要写明， 可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 3 页（共 18 页）教学过程 ：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0C；1)(nnnxx；xxcos)

3、(sin；xxsin)(cos2.法则 1 )()()()(xvxuxvxu法则 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x vx, ( )( )Cu xCux法则 3 2(0)uu vuvvvv二、讲解新课：1.复合函数 : 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数)(ufy与)(xu复合而成的函数一般形式是)(xfy， 其中 u 称为中名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - -

4、高中数学教案选修第 1 章导数第 4 页（共 18 页）间变量2.求函数2(32)yx的导数的两种方法与思路：方法一：22(32) (9124)1812xyxxxx；方法二：将函数2(32)yx看作是函数2yu和函数32ux复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2uyuu，(32)3xux两个导数相乘，得232(32) 31812uxy uuxx，从而有xuxuyy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学

5、教案选修第 1 章导数第 5 页（共 18 页）对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求 yx时，就可以转化为求yu和 ux的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同. 3.复合函数的导数： 设函数u= (x)在点 x 处有导数 ux= (x)，函数 y=f(u)在点 x 的对应点u 处有导数 yu=f(u)，则复合函数 y=f(x)在点 x 处也有导数， 且xuxuyy或 fx(x)=f(u) (x). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共

6、18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 6 页（共 18 页）证明： （教师参考不需要给学生讲）设 x有增量x， 则对应的 u，y 分别有增量 u，y，因为 u=(x)在点 x 可导，所以u=(x)在点 x 处连续 .因此当 x0 时，u0. 当u0 时，由xuuyxy. 且xyuyux00limlim. xuuyxuuyxuuyxyxuxxxx000000limlimlimlimlimlim即xuxuyy (当u0 时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

7、 - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 7 页（共 18 页）也成立 )4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5. 复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代三、讲解范例：例 1试说明下列函数是怎样复合而成的？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数

8、第 8 页（共 18 页）32)2(xy；2sin xy；)4cos(xy；)13sin(lnxy解：函数32)2(xy由函数3uy和22xu复合而成； 函 数2s i n xy由 函 数uys i n和2xu复合而成；函数)4cos(xy由函数uycos和xu4复合而成；函数)13sin(lnxy由函数uyln、vusin和13xv复合而成说明：讨论复合函数的构成时， “内层”、 “外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等例 2写出由下列函数复合而名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

9、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 9 页（共 18 页）成的函数：uycos，21xu；uyln，xuln解：)1cos(2xy； )ln(ln xy例 3 求5) 12( xy的导数解：设5uy，12xu，则xuxuyy)12()(5xux2)12(52534xu4) 12(10 x注意：在利用复合函数的求导法则求导数后， 要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的， 特别要注意

10、将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 10 页（共 18 页）逐层求导 . 例 4 求 f(x)=sinx2的导数 . 解：令 y=f(x)=sinu; u=x2xuxuyy=(sinu)u(x2)x=cosu2x=cosx22x=2xcosx2f(x)=2xcosx2例 5 求 y=sin2(2x+3)的导数 . 分析: 设 u=si

11、n(2x+3)时，求ux，但此时 u 仍是复合函数，所以可再设 v=2x+3. 解：令 y=u2，u=sin(2x+3)，再令 u=sinv，v=2x+3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 11页（共 18 页）xuxuyy=yu(uvvx) yx=yu uv vx=(u2)u(sinv)v(2x+3)x=2ucosv2=2sin(2x+3)cos(2x+3)2 =4sin(2x

12、+3)cos(2x+3)=2sin(4x+32) 即 yx=2sin(4x+32) 例 6 求32cbxaxy的导数 . 解：令 y=3u，u=ax2+bx+cxuxuyy=(3u)u(ax2+bx+c)x=3231u(2ax+b) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 12 页（共 18 页）=31(ax2+bx+c)32(2ax+b)=322)(32cbxaxbax即 yx=3

13、22)(32cbxaxbax例 7 求 y=51xx的导数 . 解：令xxuuy1,5xuxuyy=(5u)u(xx1)x4455221(1)(1)1 1(1)()55x xx xxxxuxxx24654511115 (1)5 ()xxxxx24515()xxx即 yx=542)(51xxx例 8 求 y=sin2x1的导数 . 解：令 y=u2，u=sinx1，再令u=sinv，v=x1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - -

14、- - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 13 页（共 18 页）xuxuyy v x=(u2) u(sinv)v(x1)x=2ucosv210 x=2sinx1cosx121x=21xsinx2yx=21xsinx2例 9 求函数 y=(2x23)21x的导数 . 分析 : y 可看成两个函数的乘积， 2x23 可求导，21x是复合函数，可以先算出21x对 x 的导数. 解：令y=uv，u=2x23，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - -

15、 - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 14 页（共 18 页）v=21x, 令 v=，=1+x2xxvv=()(1+x2)x=22211122)2(21xxxxxyx=(uv)x=uxv+uvx=(2x2 3)x21x+(2x23)21xx=4x23232161321xxxxxxx即 yx=2316xxx四、课堂练习 ：1求下列函数的导数 (先设中间变量，再求导 ). (1)y=(5x3)4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18

16、页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 15 页（共 18 页）(2)y=(2+3x)5(3)y=(2 x2)3(4)y=(2x3+x)2解：(1)令 y=u4，u=5x3 xuxuyy=(u4)u(5x3)x=4u35=4(5x3)35=20(5x3)3(2)令 y=u5，u=2+3xxuxuyy=(u5)u(2+3x)x=5u43=5(2+3x)43=15(2+3x)4(3)令 y=u3，u=2x2xuxuyy=(u3)u(2x2)x=3u2(2x)=3(2 x2)2(2x)=6x(2x2)2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

17、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 16 页（共 18 页）(4)令 y=u2，u=2x3+xxuxuyy=(u2)u(2x3+x)x=2u (23x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导 )(nN*) (1)y=sinnx(2)y=cosnx(3)y=tannx(4)y=cotnx解：(1)令 y=sinu，u=nxxuxuyy=(sinu) u (nx) x=cosun

18、=ncosnx(2)令 y=cosu，u=nxxuxuyy=(cosu)u(nx)x=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 17 页（共 18 页）sinun=nsinnx(3)令 y=tanu，u=nxxuxuyy=(tanu) u (nx) x=(uucossin)un=2)(cos)sin(sincoscosuuuuun=nxnnu22coscos1=nsec2nx(4)令

19、y=cotu，u=nxxuxuyy=(cotu) u (nx) x=(uusincos)un=2)(sincoscossinsinuuuuu n=u2sin1 n=nxn2sin=ncsc2nx五、小结 ：复合函数的求导，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 高中数学教案选修第 1 章导数第 18 页（共 18 页）要注意分析复合函数的结构，引入中间变量， 将复合函数分解成为较简单的函数， 然后再用复合函数的求导法则求导；复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代七、板书设计 （略）八、课后记：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -