2022年多元函数的极值与应用 .pdf

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1、多元函数的极值与应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性关键词：函数极值 :函数极值应用 : 函数极值奇异性Extreme value of function and application Abstract：This article is about the function extreme sol

2、ution by a function extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singular Keywords：Function extreme: function extend application 一函数极值理论定义 2.1.13设 n(2)n元函数12(,)nzf x xx在点00012(,)nxxx的某个邻域内有定义, 如果对该邻域内任一异于00012(,)nxxx的点12(

3、,)nx xx都有0001212(,)(,)nnf x xxf xxx( 或0001212(,)(,)nnf x xxf xxx)， 则称函数在点00012(,)nxxx有极大值 ( 或极小值 )00012(,)nf xxx. 极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 定 义2.2.13函 数12(,)nzf x xx在 m 个 约 束 条 件12(,)0inx

4、xx(1,2,;)im mn下的极值称为条件极值 .3. 多元函数普通极值存在的条件定理 3.1（必要条件） 若n(2)n元函数12(,)nzf x xx在点00012(,)nxxx存在偏导数，且在该点取得极值，则有00012(,)0ixnfxxx(1,2, )in备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.定理 3.23（充分条件） 设 n(2)n元函数12(,)nf x xx在00012(,)nxxx附近具有二阶连续偏导数， 且00012(,)nxxx为12(,)nzf x xx的驻点. 那么当二次型00012,1( )(,)ijnx xniji jgfxxx正定时，00012

5、(,)nf xxx为极小值；当()g负定时，00012(,)nf xxx为极大值；当()g不定时，00012(,)nf xxx不是极值 . 记00012(,)ijijx xnafxxx，并记11121321222312kkkkkaaaaaaAaaa，它称为f的k阶Hesse矩阵. 对于二次型()g正负定的判断有如下定理：定理 3.33若 det0kA(1,2, )kn， 则 二 次 型()g是 正 定 的， 此时00012(,)nf xxx为极小值；若 ( 1) det0kkA(1,2, )kn，则二次型()g是负定的，此时00012(,)nf xxx为极大值 . 特殊地，当2n时，有如下推论

6、：推论 3.1 若二元函数00( , )(,)zf x yxy在点的 某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 令000000(,) ,(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy则当20ACB时，0,0,AA取极大值取极小值. 当20ACB时，没有极值 . 当20ACB时，不能确定，需另行讨论. 4介绍多元函数条件极值的若干解法4.1

7、 代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决. 例 4.1.1 求函数( , )f x y zxyz在0 xyz条件下的极值 . 解 由0 xyz解得，2zxy将上式代入函数( , , )f x y z，得g(x,y)=xy(2-x+y)解方程组222y20220 xygxyygxxyx得驻点1222PP =33（0，0），（，-）2xxyg，222xygxy ，2yygx在点1P 处，0,2,0ABC22=0240ACB，所以1P 不是极值

8、点从而函数( , , )f x y z在相应点(0,0,2)处无极值；在点2P 处，44,2,33ABC224424()03333ACB，又403A，所以2P 为极小值点因而，函数( , , )f x y z在相应点22 2(,)33 3处有极小值极小值为22 28(,)33 327f. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 4.2 拉格朗日乘数法3拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比

9、较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用. 求目标函数12(,)nf x xx在条件函数12(,)0,(1,2,)knx xxkm mn 组限制下的极值，若12(,)nf x xx及12(,)knx xx有连续的偏导数，且Jacobi 矩阵111122221212nnmmmnxxxxxxJxxx的秩为 m，则可以用拉格朗日乘数法求极值. 首先，构造拉格朗日函数12112121(,)(,)(,)mnmnkknkL x xxf x xxx xx然后，解方程组0,1,2,0,2,ikLinxLkim从此方程组中解出驻点的坐标00012(,)inP xxx(1,2, )ik，所得驻点是函数极值的可疑点

10、，需进一步判断得出函数的极值. 定理 4.2.1 （充分条件）设点000012(,)nxxxx及 m个常数12,m满足方程组100miiikkklLfxxx(1,2, ;1,2,)kn lm，则当方阵20,12(,)mkln nLxxx为正定（负定）矩阵时，0 x 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0()f x为满足约束条件的条件极小（大）值. 例 4.2.1 求椭球2222221xyzabc在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

11、 - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解 此椭球在点000(,)P xy z处的切平面为000000222222()()()0 xyzxxyyzzabc化简, 得0002221xyzxyzabc此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,abcxyz则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积2220006a b cVx y z由题意可知，体积存在最小值，要使V最小，则需000 x y z 最大；即求目标函数( , , )f x y zxyz在条件2222221xyzabc下的最大值，其中0,0,0 xyz，拉格朗日函数为222222( , , ,)(

12、1)xyzL x y zxyzabc由22222222220;20;20;1LxyzxaLyxzybLzxyzcxyzabc解得,333abcxyz; min3(,)2333abcVVabc说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中， 我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法. 4.3 标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时, 我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量 , 称其余各量为比较量, 然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来, 这样就将其变为研究标准量与辅

13、助量间的关系了. 如果给定条件是几个变量之和的形式 , 一般设这几个量的算术平均数为标准量. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 例 4.3.1 4设xyza, 求222uxyz 的最小值 . 解取33xyza为标准量 , 令,33aaxy, 则3az(,为任意实数 ), 从而有222()()()333aaau2222223a22222()33aa等号当且仅当0, 即3axyz时成立，所以 u 的最小值为23a.

14、4.4 不等式法 44.4.1 利用均值不等式均值不等式是常用的不等式，其形式为1212nnnaaaa aan，这里0,1,2kakn，且等号成立的充分条件是12naaa . 例 4.4.1.1 已知11112xyz，(0,0,0)xyz，求( , , )222f x y zxyz的极小值. 解0,0,0,xyz( , , )222f x y zxyz14()2xyz1114 () ()xyzxyz4 ( 3)xyyzxzyxzyzx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7

15、 页，共 17 页 - - - - - - - - - 4 ( 3222 )3当且仅当6xyz时，等号成立 . 4.4.2 利用柯西不等式柯西不等式：对于任意实数12,na aa 和12,nb bb ，总有21 122()nnaba ba b2222221212()()nnaaabbb,iiaR bR, 当且仅当实数12,na aa 与1, 2,nb bb 对应成比例时， 等号成立 . 运用柯西不等式， 主要是把目标函数适当变形，进而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值. 例 4.4.2.1已知222(2)(1)(4)9xyz，求( , )22fx y zxyz的

16、最值 . 解首先将( , , )22f x y zxyz变形为( , )fx y z2(2)2(1)(4)10 xyz；再设( , )2(2)2(1)(4)g x y zxyz，于是，根据柯西不等式及已知条件，有22(2)2(1)(4)xyz2222222( 2)1(2)(1)(4)81xyz即：92(2)2(1)(4)9xyz当且仅当222214221(2)(1)(4)9xyzkxyz时，等号成立；即当1435kxyz时，max( , , )9g x y z；当1013kxyz时，min( , , )9g x y z，所以，max( , , )19f x y z，min( , , )1f x

17、 y z. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 4.5 二次方程判别式符号法例 4.5.15若2221xyz, 试求22fxyz的极值 . 解因为1(2)2yxzf, 代入2221xyz得2221(2)104xxzfz即2225(42 )(844)0 xzf xzfzf (1) 这个关于 x的二次方程要有实数解 , 必须222(42 )20(844)0zfzfzf即224950fzfz解关于f的二次不等式 , 得:

18、 2225(1)25(1)11zzfzzz显然, 求函数f的极值 , 相当于求225(1)11fzzz (2) 或225(1)11fzzz (3) 的极值 . 由(2) 得229450zfzf (4) 这个关于 z的二次方程要有实数解 , 必须221636(5)0ff, 即290f解此关于f的二次不等式 , 得33f. 所以max3f,min3f. 把3f代入(4), 得23z名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 再

19、把3f,23z代入(1), 得13x, 最后把3f,23z,13x代入1(2)2yxzf, 得23y. 所以, 当13x,23y,23z时, 函数f达到极大值 3. 同理可得 , 当13x,23y,23z时, 函数f达到极小值 -3. 也可以从 (3) 作类似讨论得出f的极大值 3 和极小值 -3. 4.6 梯度法6 用梯度法求目标函数12(,)nf x xx在条件函数时12(,)0inx xx(1,2,)im mn组限制下的极值，方程组1212112(,)(,)(,)0,(1,2,)mniiniingradf x xxgradx xxx xxim的解, 就是所求极值问题的可能极值点. 其中g

20、radf表示目标函数12(,)nf x xx的梯度向量12(,)nfffxxx，igrad表示条件函数12(,)inx xx的梯度向量12(,)iiinxxx例 4.6.1 从斜边之长为l的一切直角三角形中 , 求最大周长的直角三角形 . 解: 设两条直角边为,x y, 本题的实质是求( ,)f x yxyl在条件222xyl下的极值问题 . 根据梯度法 , 列出方程组222222()()grad xylgrad xylxyl进一步求解得2221,12 ,2xyxyl容易解出2lxy根据题意,22ll是唯一的极大值点 , 也是最大值点 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

21、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 所以，当两条直角边都为2l时, 直角三角形的周长最大 . 4.7 数形结合法数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距， 点到直线的距离， 圆的半径等几何性质决定目标的条件极值. 例 4.7.1 设2219xxyy，求22xy 的最值 . 解法一 数形结合法7 解设,xuv yuv则222319xxyyuv，即2222119( 19)()3uv22222()xyuv表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的2 倍显然最大值为长轴

22、的长38，最小值为383解法二 消元法解 设cosxr，sinyr，则2221(1sin 2 )192xxyyr2221911sin22xyr故当sin 21，即193xy时，22383xy达到最小值 . 当sin21，即19xy时，2238xy达到最大值 . 解法三 均值不等式法解 （1）若0,0,xy注意到222xyxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 当且仅当xy时等号成立因此：222222019192x

23、yxxyyxy，当且仅当xy时等号成立即223()192xy故22383xy，此时193xy（2）若0,0 xy，设yu，则问题变为2219xxuu求22xu的最值由于222xuxu，所以2222222222xuxuxxuuxu因此22222()38xuxxuu即最大值为 38 （3）若0,0 xy，做变换,xu yv，则问题转化为（ 1）（4）若0,0 xy，则问题转化为（ 2）解法四 拉格朗日乘数法解 设2222( , ,)(19)F x yxyxxyy令222(2)02(2)0190FxxyxFyyxyFxxyy则22xy若xy，则2319x，193xy此时22383xy；名师资料总结

24、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 若xy，则219x，19xy或19xy此时2238xy从该题可以看出，用拉格朗日乘数法和均值不等式法解题过程都比较繁琐，但通过数形结合法和消元法法都可以简捷地求得结果. 所以在解条件极值问题时，我们可以先分析题目的特点再选择最合适的解题方法，从而提高解题效率.二. 多元函数极值的应用多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广

25、泛的应用. 由于本人其余学科知识和时间上的限制， 不能很好地展开条件极值在证券投资分析和多元统计分析上的应用问题，具体内容可以参考文献 8 和文献 9 ，下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用.5.1 不等式证明例 5.1.1 证明不等式：ln0,(1,0)yexxxxyxy. 证 令( ,)lnyf x yexxxxy，则只需证明函数( , )f x y在区域(, ) |1,0Dx yxy上存在最小值0，对于1x，令( , )0yyfx yex，得lnyx，且当0lnyx时，( , )0yfx y当lnyx时，( , )0yfx y. 由一元函数取极值的第一充分判断法，ln

26、yx为最小值点，即在曲线lnyx上( , )fx y取得最小值，最小值ln( ,ln)lnln0 xf xxexxxxx. 故在D上( , )0f x y，即ln0yexxxxy. 5.2 物理学中光的折射定律证明例 5.2.1 设定点A和B位于以平面分开的不同光介质中， 从A点射出的光线折射后到达B点，已知光在两介质中的传播速度分别为1v ，2v ，求需时最短的传播方式 . 解 设A到平面的距离为 a ，B到平面的距离为b，（如图），CDd ，光线从A点射到M点所需时间为1cosav，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

27、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 光线从M点射到B点所需时间为2cosbv且CMMDd，即tantanabd问题转化为函数12(,)coscosabfvv在条件tantanbd下的最小值 . 作拉格朗日函数112( , )(tantan)coscosabLabdvv令112211222sin0,coscossin0,coscostantan0.aaLvbbLvLabd由此解得112sinsinvv，即光线的入射角与折射角应满足：12sinsinvv（光的折射定律）时光线传播时间最短. 5.3 生产销售在生产和销售商品

28、的过程中， 销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的 . 厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润. 5.3.1 用条件极值得出生产成本最小化方案例 5.3.1.110设生产某产品需要原料A和 B，它们的单价分别为 10 元、15 元，用 x单位原料 A和y单位原料 B可生产22208xxyy 单位的该产品， 现要以最低成本生产 112 单位的该产品，问需要多少原料A和 B？【分析】由题意可知，成本函数( , )1015C x

29、yxy. 该问题是求成本函数在条件22208112xxyy下的条件极值问题，利用拉格朗日常数法计算 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解 令22( , )1015(208112),F x yxyxxyy解方程组2210220015162002081120fxyxfyxyxxyy2,2()4,yyx舍去这是实际应用问题，所以当原料A 和 B 的用量分别为 4 单位， 2 单位时，成本最低. 5.3.2 利用条

30、件极值得出利润最大化方案例 5.3.2.110为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为, x y时，销售量是200100510 xySxy，若销售产品所得利润是销量的15减去广告费，现要使用广告费25 万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？解 依题意，利润函数为1402025255510 xySxy且25xy设402025(25)510 xyFxyxy令222000(5)2000(10)25xyFxFyxy得15100.5xy依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15 万元和 10 万元利润最大 . 例 5.3.2.23一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格

31、决策时面对如下数据：（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100 万台；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - （2）去年该厂共售出10 万台，每台售价为4000 元；（3）仅生产 1 台电视机的成本为4000元；但在批量生产后， 生产 1 万台时成本降低为每台 3000 元. 问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少？数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为x ，每台生产成本为 c，销售价格

32、为 v ，那么厂家的利润为( , , )()u c v xvc x根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系：,0,0,avxMeM这里M为市场的最大需求量，是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少） . 同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算：00ln , ,0,cckx c k x这里0c 是只生产 1 台电视机时的成本，k是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低） . 于是，问题化为求利润函数( , , )()u c v xvc x在约束条件0lnavxMecckx下的极值问题 . 作 Lagrange 函数0( , , , ,)()()(ln ),avL

33、 c v xvc xxMecckx就得到最优化条件00,(1)0,(2)0,(3)0,(4)ln0.(5)cavvxavLxLxMekLvcxxMecckx由方程组中第二和第四式得到=1，即1=将第四式代入第五式得到0(ln)cckMv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 再由第一式知x. 将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到01(ln)0,vckMvk由此解得最优价格为0*1ln1ckMkvk。只要确定了规

34、模系数k与价格系数，问题就迎刃而解了 . 现在利用这个模型解决本段开始提出的问题. 此时1000000M，04000c. 由于去年该厂共售出10 万台，每台售价为4000 元，因此得到lnlnln1000000ln1000000.000584000Mxv；又由于生产 1 万台时成本就降低为每台3000 元，因此得到040003000108.57lnln10000cckx. 将这些数据代入*v的表达式，就得到今年的最优价格应为*14000 108.57ln1000000108.570.00058439210.00058 108.57v（元/ 台）. 参考文献：1 唐军强 . 用方向倒数法求解多元

35、函数极值J. 科技创新导报， 2008，（15）：246-247 2 汪元伦 . 两类多元函数条件极值的简捷求法J.绵阳师范学院学报， 2008，27（2）：14-15. 3 陈纪修，於崇华，金路 . 数学分析 . 下册/ 2 版M. 北京：高等教育出版社，2004.10 4 裴礼文 . 数学分析中的典型问题与方法- 北京：高等教育出版社， 1993.5 5 王延源 . 条件极值的六种初等解法J, 临沂师专学报 , 1999(12):21-24. 6 肖翔，许伯生 . 运用梯度法求条件极值 J ，上海工程技术大学教育研究，2006(1): 35-37 7 陈传理，张同君竞赛数学教程(第二版 )M 北京：高等教育出版社， 2004：147 8 法博齐投资管理学 M. 北京：经济科学出版社， 1999 9 林德光 . 多元统计教程 M. 华南热带作枋学院印， 1988 10 陈文灯 . 考研数学基础核心讲义/ 经济类 M. 北京：北京理工大学出版社，2010.1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -