2022年圆周角与圆心角、弧的关系 .pdf

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1、1 圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。3一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。4直径所对的圆周角是90 度，90 度的圆周角所对的弦是直径。5圆的内接四边形对角之和是180 度。6弧的度数就是圆心角的度数。解题思路：1已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角2已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角3已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角1. 圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。注意圆周

2、角定义的两个基本特征：(1) 顶点在圆上；(2) 两边都和圆相交。二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 【2】理解圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。已知： O中，弧 BC所对的圆周角是 BAC ，圆心角是 BOC ，求证： BAC= 1/

3、2BOC. 分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与BAC的关系本题有三种情况：（1）圆心 O在BAC的一边上 O （2）圆心 O在BAC的内部（3）圆心 O在BAC的外部 B D C 如果圆心 O在BAC的边 AB上, 只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明如果圆心 O在BAC 的内部或外部 , 那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可证明: 圆心 O在BAC的一条边上 A OA=OC= C=BAC BOC= BAC+ C O =BAC=1/2 BOC. B C 【3】圆周角与圆心角的关系（1）在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中

4、有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 （2）一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。（3）直径所对的圆周角是90 度，90 度的圆周角所对的弦是直径。（4）圆的内接四边形对角之和是180 度。（5）弧的度数就是圆心角的度数。三、精讲精练（一）选择、填空题：1在 O中，同弦所对的圆周角（）A相等 B互补 C相等或互补 D都不对2如图，在 O中，弦 AD= 弦

5、 DC ，则图中相等的圆周角的对数是（）A5 对 B 6 对 C 7对 D 8 对3下列说法正确的是（）A顶点在圆上的角是圆周角B两边都和圆相交的角是圆周角C圆心角是圆周角的2 倍D圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4下列说法错误的是（）A等弧所对圆周角相等 B同弧所对圆周角相等C同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D 同圆中，等弦所对的圆周角相等5如图 4，AB是O的直径，AOD 是圆心角，BCD 是圆周角若BCD=25，则AOD= 6如图 5，O直径 MN AB于 P，BMN=30 ，则 AON= 7. O 的弦 AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）A、30 B、150 C、30

6、或 150 D、608. ABC 中，B90，以 BC为直径作圆交 AC于 E，若 BC=12 ，AB=12，则的度数为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 A、60 B、80 C、100 D、1209. 如图，ABC 是O 的内接等边三角形， D是 AB上一点，AB与 CD交于 E点，则图中 60的角共有 ( ) 个A、3 B、4 C、5 D、6 10. 如图， ABC内接于 O ，OBC=25 ，则A的度数

7、为（）A、70 B、65 C、60 D、5011. 圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5 ，那么这个三角形内角的度数分别为 _（二）解答题1如图，以 ABC的 BC边为直径的半圆交AB于D ， 交 AC于 E，过 E 点作 EF BC ，垂足为 F，且 BF：FC=5 ：1，AB=8 ，AE=2 ，求EC的长2 如图，已知圆心角 AOB=100 ，求圆周角 ACB 、ADB的度数？3. 如图， OA 、OB 、OC都是圆 O的半径， AOB=2 BOC 求证： ACB=2 BAC4. 如图，已知 ABC 是等边三角形，以BC为直径的 O交 AB 、AC于 D、E（1）求证： DOE是等边

8、三角形；（ 2）如图 3-3-14 ，若 A=60 ，AB AC ，则中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5 5. 如图，已知 O中，AB为直径， AB=10cm ，弦 AC=6cm ，ACB的平分线交 O于 D，求 BC 、AD和 BD的长6. 如图， AB是O 的直径， CD AB于 D ，AD=9cm ，DB=4cm ，求 CD和 AC的长7. 如图

9、所示，已知 AB为O的直径， AC为弦， OD BC ，交 AC于 D ，BC=4cm （1）求证： AC OD ；（2）求 OD的长；（3）若 2sinA 1=0，求 O的直径名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 8. 四边形 ABCD 中，AB DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a，如图 3-3-15 ，求 BD的长9. 如图 1，AB是半 O的直径，过 A、B两点作半 O的弦，当两弦交点恰好落在半O上 C

10、点时，则有 AC AC BC BC=AB2（1）如图 2，若两弦交于点 P在半 O内，则 AP AC BP BD=AB2是否成立？请说明理由（2）如图 3，若两弦 AC 、BD的延长线交于 P点，则 AB2= 参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性10如图 8，O中，两条弦 AB BC ，AB=6 ，BC=8 ，求 O的半径11如图 9，AB是O的直径， FB交O于点 G ，FD AB ，垂足为 D，FD交 AG于E求证： EF DE=AE EG 12如图，AB是半圆的直径， AC为弦，OD AB ，交 AC于点 D，垂足为 O ，O的半径为 4，OD=3 ，求 CD的长13如图，O

11、的弦 AD BC ，垂足为 E，BAD= ，CAD= ，且 sin =53，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 cos=31，AC=2 ，求（ 1）EC的长；（ 2）AD的长14如图，在圆内接 ABC 中，AB=AC ，D是 BC边上一点（1）求证： AB2=AD AE ；（2）当 D 为 BC延长线上一点时，第（ 1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由15如图，已知 BC为半圆的直径，

12、 O为圆心， D是AC的中点，四边形 ABCD 对角线 AC 、BD交于点 E（1）求证： ABE DBC ；（2）已知 BC=25，CD=25，求 sin AEB的值；（3）在（ 2）的条件下，求弦AB的长16如图，已知 AB 是O 的直径， AC 是弦，过点 O作 ODAC 于 D ，连结 BC （1）求证：12ODBC；（2）若40BAC，求ABC的度数ABCDO（图 16）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 四、小结：1、圆周角与圆心角的概念2、圆心角与圆周角的大小关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -