二项式定理各种题型归纳课件.ppt

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1、关于二项式定理各种题型归纳现在学习的是第1页，共39页 二项式定理二项式定理222110baCbaCaCba-nn-nnnnnnnn-n-nnbCabC11二项式展开的通项二项式展开的通项rr -nrnrbaCT1复习旧知复习旧知第第 项项1r现在学习的是第2页，共39页性质复习性质复习性质性质1 1在二项展开式中，与首末两端等在二项展开式中，与首末两端等 距离的任意两项的二项式系数相等距离的任意两项的二项式系数相等. .性质性质2 2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的

2、二项式系幂指数是奇数，中间两项的二项式系 数最大；数最大；nnnknnnnCCCCC2210 性质性质3 3：性质性质4 4：( (a+b)a+b)n n的展开式中，奇数项的二项式系的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和数的和等于偶数项的二项式系数和. .现在学习的是第3页，共39页题型一题型一 利用利用 的二项展开式解题的二项展开式解题na b解法解法1 1413xx4043Cx例例1 1 求求 的展开式的展开式413xx31413Cxx22241(3) ()Cxx3341(3)()Cxx4441()Cx221218110854xxxx直接用二项直接用二项式定理展开式定

3、理展开现在学习的是第4页，共39页题型一题型一 利用利用 的二项展开式解题的二项展开式解题na b例例1 1 求求 的展开式的展开式413xx解法解法2 2413 xx4231xx04421(3 )Cxx134(3 )Cx224(3 )Cx34(3 )C x44C43221(8110854121)xxxxx221218110854xxxx化简后再展开化简后再展开现在学习的是第5页，共39页例题例题2 2 若若,( 2 1)2,nnnn Nab(,)nna bZnb,则则 的值的值( )A A 一定为奇数一定为奇数C C 一定为偶数一定为偶数B B 与与n n的奇偶性相反的奇偶性相反D D 与与

4、n n的奇偶性相同的奇偶性相同解解:2(12)nnnab0nC12nC22( 2)nC33( 2)nC( 2)nnnCnb0nC22( 2)nC44( 2)nC所以所以 为奇数为奇数 故选故选( (A)A)nb思考思考 能用特殊值法吗能用特殊值法吗? ?偶偶奇A现在学习的是第6页，共39页熟记二项式定理熟记二项式定理, ,是解答与二项式定理有关是解答与二项式定理有关问题的前提条件问题的前提条件, ,对比较复杂的二项式对比较复杂的二项式, ,有时有时先化简再展开更便于计算先化简再展开更便于计算. .例题点评例题点评现在学习的是第7页，共39页题型二利用通项求符合要求的项或项的系数例例3 3 求求

5、 展开式中的有理项展开式中的有理项93xx解:1132919( ) ()rrrrTC xx2769( 1)rrrC x 令令273466rrZZ即(0,19)r 39rr 或3344492734( 1)846rrTC xx 99331092793( 1)6rrTC xx 原式的有理项为原式的有理项为: :4484Tx310 xT现在学习的是第8页，共39页例例4(044(04全国卷全国卷) )81()xx的展开式中的展开式中 的的系数为系数为_5x解解: : 设第设第 项为所求项为所求1r 12818()rrrrTC xx288( 1)rrrrC xx 3288( 1)rrrC x 38522

6、rr由可得5x228( 1)28C的系数为的系数为现在学习的是第9页，共39页.)2(. 510和第四项的系数项式系数的展开式中第四项的二求例xx 分析：第 k+1 项的二项式系数 - 第 k+1 项的系数-具体数值的积。cnk解解：.9608c- .120,)2()() 1(310310373103134第四项的系数是数是所以第四项的二项式系因为cxxcTT现在学习的是第10页，共39页求二项展开式的某一项求二项展开式的某一项, ,或者求满足某种条或者求满足某种条件的项件的项, ,或者求某种性质的项或者求某种性质的项, ,如含有如含有x x 项项的系数的系数, ,有理项有理项, ,常数项等常

7、数项等, ,通常要用到二项通常要用到二项式的通项求解式的通项求解. . 注意注意(1)(1)二项式系数与系数的区别二项式系数与系数的区别. . (2) (2) 表示第表示第 项项. .3rrnrnrbaCT1r例题点评例题点评现在学习的是第11页，共39页题型3 二项式定理的逆用011222112122nnnn nnnnnCCCC 原 式(1 2)3nn 例例6 6 计算并求值计算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解(1):(1):将原式变形将原式变形现在学习的是第12页，共39页题型3 二项式定理的逆用例例7 7

8、计算并求值计算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解:(2):(2)原式原式055(1)C x145(1)C x235(1)C x325(1)C x45(1)C x55C55C5(1) 11x51x现在学习的是第13页，共39页 例题点评例题点评逆向应用公式和变形应用公式是高中数学逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点的难点, ,也是重点也是重点, ,只有熟练掌握公式的正只有熟练掌握公式的正用用, ,才能掌握逆向应用和变式应用才能掌握逆向应用和变式应用现在学习的是第14页，共39页题型题型4 4 求多项式的展开式中

9、特定的项求多项式的展开式中特定的项( (系数系数) )例例8 82345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中的展开式中, , 的系数等于的系数等于_2x解解: :仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是2x02C13( 1)C 224( 1) C 335( 1) C 20 解法解法2 2运用等比数列求和公式得5(1)1 (1) 1 (1)xxx原式6(1)(1)xxx在在 的展开式中的展开式中,含有含有 项的系数为项的系数为6(1)x3x3620C 所以所以 的系数为的系数为-202x现在学习的是第15页，共39页ttxC)3(121238

10、24)31 ()21 ()1 (xxxxxx例例9 9求求 展开式中展开式中 的系数。的系数。4xrrxC)(44x解解: :可逐项求得可逐项求得 的系数的系数8)21 (x的展开式通项为的展开式通项为ssxC)2(8当当 时时2s112428C系数为系数为12)31 (x的展开式通项为的展开式通项为1t当当 时时363112C系数为系数为所以所以 展开式中展开式中的系数为的系数为123824)31 ()21 ()1 (xxxxxx1443611244)1 ( x的展开式通项为的展开式通项为当当 时时3r系数为系数为-4-4现在学习的是第16页，共39页求复杂的代数式的展开式中某项求复杂的代数

11、式的展开式中某项( (某项某项的系数的系数),),可以逐项分析求解可以逐项分析求解, ,常常对所常常对所给代数式进行化简给代数式进行化简, ,可以减小计算量可以减小计算量例题点评例题点评现在学习的是第17页，共39页题型题型5 5 求乘积二项式展开式中特定的项求乘积二项式展开式中特定的项( (特特 定项的系数定项的系数) )例题例题10:10:求求 的展开式中的展开式中 项项 的系数的系数. .65(1) (21)xx6x解解62666()rrrrCxC x6(1)x 的通项是的通项是55555(2 ) ( 1)( 1) 2sssssssCxCx5(21)x的通项是的通项是1622556( 1

12、) 2rssrssC Cx 65(1) (21)xx的通项是的通项是65(1) (21)xx现在学习的是第18页，共39页由题意知16226rs 24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得3206252) 1(CC所以所以 的系数为的系数为: :6x426152) 1(CC5046052) 1(CC640 例题点评例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算现在学习的是第19页，共39页（题型题型6 6）求展开式中各项系数和求展开式中各项系数和解：设解：设展开式各项系数和为展开式各项系数和为1例题点

13、评例题点评求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为式中的字母为1 1naaaa210上式是恒等式，所以当且仅当上式是恒等式，所以当且仅当x=1x=1时，时， (2-1) (2-1)n n= =naaaa210 = =（2-12-1）n n=1naaaa210nnnnaxaxax) 1(21202) 12(例例11. 11. 的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为_nx) 12(2现在学习的是第20页，共39页题型题型7 7：求奇数：求奇数( (次次) )项偶数项偶数( (次次) )项系数的和项系数的和776016712(31)xa xa

14、xa xa例已知7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf设解7210) 1 (aaaaf73210) 1(aaaaaf77753142) 1() 1 ()( 2ffaaaa8128221367531aaaa8256)() 1 (716420aafaaaa(1)(1)(2)(2)现在学习的是第21页，共39页题型题型7 7：求奇数：求奇数( (次次) )项偶数项偶数( (次次) )项系数的和项系数的和7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf设解7210) 1 (aaaaf732

15、10) 1(aaaaaf是负数因为7531,aaaa所以7210aaaa7210aaaa)(7210aaaa7) 4() 1( f（3）74776016712(31)xa xa xa xa例已知现在学习的是第22页，共39页例题点评例题点评求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值现在学习的是第23页，共39页题型题型8 8 三项式转化为二项式三项式转化为二项式展开式中的常数项求例8)11(13xx解：三项式不能用二项式定理解：三项式不能用二项式定

16、理,必须转化为二项式必须转化为二项式88 1)1()11(xxxx8878718808)1()1()1(CxxCxxCxxC再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常数项得881268244836284808CCCCCCCCC=1107=1107现在学习的是第24页，共39页的系数是的展开式中例xxx52)23(14_解：解：原式化为523)2(xx其通项公式为其通项公式为rrrrxxCT)3 () 2(52511, 1rx只需的指数为要使xxCT3)2(42152)2844624(1542468xxxxx2402154的系数为所以x240240例题点评括号里含有三项的情况可以

17、把某两项合并为一项括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合合并时要注意选择的科学性并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二也可因式分解化为乘积二项式项式.现在学习的是第25页，共39页题型题型9 9 求展开式中系数最大求展开式中系数最大( (小小) )的项的项与最大二项式系数的比求其项的最大系数的展开式中在例，x20) 32(15解解: :设设 项是系数最大的项项是系数最大的项, ,则则1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6 .126 .11 r项系数最大的项是第13128122032C即二项式系数最大的项为第11项,即1

18、020C所以它们的比是137102012812203211532CC现在学习的是第26页，共39页例例16 16 在在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大的项最大的项 20)23 (yx解：设系数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21( 2)20( 2) 1( 3542537r8r所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为8r812812820923yxCT现在学习的是第27页，共39页例例1717求求 的展开式中的展开式中数

19、值数值最大的项最大的项50)21 ( 211rrrrTTTT解：设第解：设第 项是是数值最大的项项是是数值最大的项1r展开式中展开式中数值数值最大的项是最大的项是29295030) 2(CT 115050115050)2()2()2()2(rrrrrrrrCCCC251101251102rr88.2988.28 r29r现在学习的是第28页，共39页211rrrrTTTT解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有1r由此确定由此确定r r的取值的取值例题点评例题点评现在学习的是第29页，共39页题型题型10 10 整除或余数问题整除或余数

20、问题例例1818。的余数除以求1009192解解: :9292)9100(919291919229029291192929910091009100100CCC前面各项均能被前面各项均能被100100整除整除. .只有只有 不能被不能被100100整除整除929929192290929029291192929292) 1(1010101010) 110(9CCCC19201010101029092902929119292CCC8110001010101029092902929119292CCC811009192除的余数是被可见余数为余数为正整数正整数注意现在学习的是第30页，共39页整除性问题，

21、余数问题，主要根据二项式整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项除的结构，展开后观察前几项或后几项,再再分析整除性或余数。这是解此类问题的最分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数常用技巧。余数要为正整数例题点评例题点评现在学习的是第31页，共39页题型题型11 11 证明恒等式证明恒等式121123219nnnnnnnnCCCC求证例析析: :本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和. .因为因为 由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnn

22、CCCCCC110,nnnnnnnnnnCCnCCCCS13110) 1(320:设解nnnnnnnnCCCnCnnCS0)2() 1(1210两式相加两式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212nnnS现在学习的是第32页，共39页例题点评例题点评利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种最常见的方法最常见的方法,证明等式常用下面的等式证明等式常用下面的等式nnnnnnCCCC221014202nnnnCCCrnnrnCC15312nnnnCCC11mnmnnCmC现在学习的是第33页，共39页例例2020证明证明： 3)11 (2nn1

23、*nNn且当2111111)11 (22221 nCnCnCnnnnn证明证明!11!1!) 1() 1(1knknnkknnnnCkkkkkh 通项通项nnnnnnnCnCnCn1111)11 (221 122121212!1! 31! 212 nn321121n3)11 (2nn所以所以题型题型12 12 证明不等式证明不等式现在学习的是第34页，共39页例题点评例题点评利用二项式定理证明不等式利用二项式定理证明不等式, ,将展开式将展开式进行合理放缩进行合理放缩现在学习的是第35页，共39页题型题型13 13 近似计算近似计算例例21.21.某公司的股票今天的指数为某公司的股票今天的指数

24、为2,2,以后每天的指以后每天的指 数都比上一天的指数增加数都比上一天的指数增加0.2%,0.2%,则则100100天后这天后这 公司的股票股票指数为公司的股票股票指数为_(_(精确到精确到0.0010.001) )解解: :依题意有依题意有2(1+0.2%) 2(1+0.2%) 1001002(10.002)012210010010020.0020.002CCC2(10.20.0198)2.43962.44所以所以100100天后这家公司的股票指数约为天后这家公司的股票指数约为2.442.44点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项现在学习的是第36页

25、，共39页巩固练习巩固练习一选择题一选择题a8)(xax 1(041(04福建福建) )已知已知 展开式的常数项是展开式的常数项是1120,1120, 其中实数其中实数 是常数是常数, ,则展开式中各项系数的和则展开式中各项系数的和 是是( )( )82 A83 B83 1 或C83 2 或DCnxx)12(2 2 若若 展开式中含展开式中含 项的系数与含项的系数与含 项的项的 系数之比为系数之比为-5,-5,则则n n等于等于( )( )21x41xA 4 B 6 C 8 D 10A 4 B 6 C 8 D 10B82A83B831或C821或D 3 3 被被4 4除所得的系数为（除所得的系

26、数为（ ） A0 B1 C2 D39923331 A现在学习的是第37页，共39页632)(1)(1)(1)(1)05(1xxxx湖南展开式中展开式中 的系数是的系数是_2x2 2 被被2222除所得的余数为除所得的余数为 。 20002001135353 3 已知已知 展开式中的展开式中的 系数是系数是5656，则实数则实数 的值是的值是_ 26) 1() 1(axx3xa16或或二填空题二填空题4.4.设设 二项式展开式的各项系数的和为二项式展开式的各项系数的和为P P； 二项式系数的和为二项式系数的和为S S，且且P+S=272P+S=272，则展开式则展开式 的常数项为的常数项为_nxx)13 (3108现在学习的是第38页，共39页感谢大家观看现在学习的是第39页，共39页