2022年实验投资的收益和风险与生产计划中的线性规划模型[定 .pdf

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1、180 实验九投资的收益和风险与生产计划中的线性规划数学模型一实验目的根据投资的收益和风险等实际问题建立数学模型，准确理解建模中有关概念. 掌握将双目标优化问题转化为单目标优化问题的思想和方法. 掌握用 Mathematica4.0 求解线性规划问题的基本命令. 二学习 Mathematica 命令1. 约束最大与约束最小命令ConstrainedMax 与 ConstrainedMin 用函数ConstrainedMax 或 ConstrainedMin 求解线性规划问题. 它们的基本使用格式是：ConstrainedMaxf，inequalities， x ，y，, 在不等式或等式ineq

2、ualities 确定的可行区域上求线性目标函数f 的最大值，约定变量x ， y，, 都大于或等于0；ConstrainedMinf，inequalities， x ，y，, 在不等式或等式inequalities 确定的可行区域上求线性目标函数f 的最小值，约定变量x ， y，, 都大于或等于0. 这两个函数有一个可选参数：Tolerance允许误差（默认值是106）. 例如输入ConstrainedMin1.5 x+2.5 y,x+3 y=3,x+y=2,x,y 输出3.5, x - 1.5, y - 0.5 即当5.1x,5.0y时, 函数取最小值3.5. 在约束条件中可以使用等号，但要

3、用“= = ”表示 . 输入ConstrainedMax5x+3y+2z+4t,3x+y+2z+8t= =10,2x+4y+2z+t= =10,x,y,z,t 输出18, x - 3, y - 1, z - 0, t - 0有时 , 输出结果可能有些问题. 输入ConstrainedMax3x+2y-1,x1,y 1, y - 2 即当1x,2y时, 函数取最大值6. 注意 : 约束条件使用严格不等号，结果仍旧取在边界上 . 输入ConstrainedMaxx+y,x+y 15, y - 0这个问题有无穷多最优解, 这里只给出其中之一, 而且没有给出任何提示信息. 无论如何 , 前面的例题总给

4、出一个最优解, 属于正常情况 . 下面的例子是非正常的情况. 输入ConstrainedMaxx+y,x-y=0,3x-y= 0, 3 x - y =-1,-0.5x+y Indeterminate, y - Indeterminate 意思是 : 可行区域无界 , 问题没有最大值, 或说最大值是无穷大. 然后返回投资的收益和风险问题 . 2. 线性规划命令 LinearProgramming当自变量和约束不等式较多时，ConstrainedMax 或ConstrainedMin 用起来就麻烦了. 将目标函数和约束条件用向量或矩阵表示，然后使用LinearProgramming . 其一般形式

5、为LinearProgrammingc ，m，b其中c 是行向量， b 是列向量，m 是矩阵，自变量用x 表示，该命令即求在满足不等式mxb 且 x0 的可行区域中，求函数cx 的最小值点x. 注意，实际输入时，b 仍以行向量表示. 这个函数也有可选参数Tolerance，与前面的相同. 如用约束最小命令计算，输入ConstrainedMin2 x - 3 y, x + y 2, x 1, x, y 输出结果0, x - 6, y - 4 改为用线性规划命令计算，输入LinearProgramming2,-3,-1,-1,1,-1,1,0,-10,2,1 输出6, 4 结果是一样的 . 但表示

6、方法不同. 注意 : 当有无穷多组解时，线性规划命令仍没有提示信息. 三实验内容1. 投资的收益和风险例 1 (1) 问题的提出这是 1998 年全国大学生数学建模竞赛的A 题，问题如下：市场上有n 种资产（如股票、债券、 , ）Si（i1，, ， n）供投资者选择，某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi. 考虑到投资越分散、总的风险越小， 公司确定， 当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量. 购买 Si要付交易费

7、，费率为pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）. 另外，假定同期银行存款利率是r0， 且既无交易费又无风险. （r05）1）已知n4 时的相关数据如下：表 1 Siri() qi() pi() ui(元 ) S128 2.5 1.0 103 S221 1.5 2.0 198 S323 5.5 4.5 52 S425 2.6 6.5 40 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 18

8、2 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小. 2）试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算. 表 2 Siri() qi() pi() ui(元 ) S19.6 42.0 2.1 181 S218.5 54.0 3.2 407 S349.4 60.0 6.0 428 S423.9 42.0 1.5 549 S58.1 1.2 7.6 270 S614.0 39.0 3.4 397 S740.7 68.0 5.6 178 S831.2 33.4 3.1 220 S933.6 53.3 2.7 475

9、 S1036.8 40.0 2.9 248 S1111.8 31.0 5.1 195 S129.0 5.5 5.7 320 S1335.0 46.0 2.7 267 S149.4 5.3 4.5 328 S1515.0 23.0 7.6 131 (2) 模型的分析与建立这是一个优化问题，要决策的是向每种资产的投资额，要达到的目标包括两方面要求：净收益最大和总体风险最小，即本题是一个双目标优化问题. 一般地，这两个目标是矛盾的，净收益愈大，风险也就随之增加；反过来也一样. 因此，不可能提供这两个目标同时达到最优的决策方案 . 我们可以做到的只能是：在风险一定的前提下，取得收益最大的决策；或在收益

10、一定的前提下，使得风险最小的决策；或是在收益和风险按确定偏好比例的前提下的最优决策 . 这样，我们得到的不再是一个方案，而是一组方案供投资者选择. 设购买Si（ i0，1，, ，n； S0表示存入银行，下同）的金额为xi，所付的交易费记为 ci(xi)，则0000()01, 2, , ,()0iiiiiiiiiiixc xp uxuincxp xxu对 Si投资的净收益是Ri(xi)=rixici(xi)（i0，1， , ， n）对 Si投资的风险是Qi(xi)=qixi（i0，1，, ，n） ，q0=0 对 Si投资所需资金（即购买金额xi与所需的手续费ci(xi) 之和）是fi(xi)=x

11、i+ci(xi)（i0， 1， , ， n）投资方案用x=（x0，x1，, ，xn）表示，那末，净收益总额为0( )()niiiRR xx总体风险为0( )max()iiinQQ xx所需资金为0( )()niiiFfxx于是，总收益最大、总体风险最小的双目标优化模型可以表示为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 183 ( )min( ),0( )QFMRxxxxx上述双目标优化模型一般的情况下是难于直接求解的，根据

12、我们前面的分析，通常可以把它转化为以下三种单目标优化问题：模型 a. 假设投资的风险水平是k，即要求总体风险Q（x）限制在风险k 以内：Q（x）k，则模型可转化为：max R(x) s.t. Q(x)k,F(x)M,x0 模型 b. 假设投资的盈利水平是h，即要求净收益总额R（x）不少于h：R（ x） h，则模型可转化为：min Q(x) s.t. R(x) hF(x) Mx 0 模型 c. 线性加权法，在多目标规划问题中，人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重 . 因此，假定投资者对风险收益的相对偏好参数为 （ 0） ，则模型可转化为：min Q(x)（ 1 ）R(x) s.t. F(

13、x) Mx0 (3) 模型的化简与求解由于交易费ci(xi)是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额M 相当大，一旦投资资产Si，其投资额xi一般都会超过ui，于是交易费ci(xi)可简化为线性函数ci(xi)=pixi. 从而，资金约束简化为00( )()(1)nniiiiiiFfxp xMx净收益总额简化为000( )()()()nnniiiiiiiiiiiiRR xr xc xrp xx在实际进行计算时，可设M=1，此时yi=（1+pi）xi（i0，1，, ，n）可视作投资Si的比例 . 以下的模型求解都是在上述两个简

14、化条件下进行讨论的. 1）模型a 的求解模型 a 的约束条件Q(x)k 即00( )max()max()iiiii ninQQ xq xxk，所以此约束条件可转化为qixik（i0，1，, ，n） . 这时模型a 可化简为如下的线性规划问题：00max()s.t. ,=1, 2, , (1)1,0niiiiiiniiirp xq xkinp xx具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表1 给定的数据，模型为：max 0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4s.t. 0.025 x1k，0.015x2k，0.055x3k，0.026x4k，x0+1.01x

15、1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi0（i0，1，, ， 4）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 184 利用 Mathematica 4.0 求解模型a，以 k=0.005 为例：输入Clearf,st,k,var; k=0.005; f=0.05*x0+0.27*x1+0.19*x2+0.185*x3+0.185*x4; st=0.025*x1=k,0.015*x2=k,0.055*x3=k

16、,0.026*x4 0.158192, x1 - 0.2, x2 - 0.333333, x3 - 0.0909091,x4 - 0.192308 这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过0.005 的最大收益是0.177638M. 当 k 取不同的值（ 00.03） ，计算最大收益和最优决策可以利用下面的命令：Clearst; stk_ := 0.025*x1 = k, 0.015*x2 = k, 0.055*x3 = k, 0.026*x4 = k, x0 + 1.01*x1 + 1.02*x2 + 1.

17、045*x3 + 1.065*x4 = = 1; TableConstrainedMaxf, stk, var, k, 0, 0.03, 0.002 输出结果列表如下：表 3 模型a 的结果风险k净收益Rx0 x1x2x3x40 0.05 1. 0 0 0 0 0.002 0.101055 0.663277 0.08 0.133333 0.0363636 0.0769231 0.004 0.15211 0.326554 0.16 0.266667 0.0727273 0.153846 0.006 0.201908 0 0.24 0.4 0.109091 0.221221 0.008 0.211

18、243 0 0.32 0.533333 0.127081 0 0.010 0.21902 0 0.4 0.584314 0 0 0.012 0.225569 0 0.48 0.505098 0 0 0.014 0.232118 0 0.56 0.425882 0 0 0.016 0.238667 0 0.64 0.346667 0 0 0.018 0.245216 0 0.72 0.267451 0 0 0.020 0.251765 0 0.8 0.188235 0 0 0.022 0.258314 0 0.88 0.10902 0 0 0.024 0.264863 0 0.96 0.0298

19、039 0 0 0.026 0.267327 0 0.990099 0 0 0 0.028 0.267327 0 0.990099 0 0 0 0.030 0.267327 0 0.990099 0 0 0 从表 3 中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的S2，然后是S1和 S4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（ ripi）较大的S1和 S2这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果2）模型b 的求解模型 b 本来是极小极大规划：0min max()iii nq xs.t. 0()niiiirp xh0( 1)1niiip x

20、x0 但是，可以引进变量xn+1=0max()iii nq x，将它改写为如下的线性规划：1min()nx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 185 s.t. qixixn+1，i=0,1,2,n,0()niiiirp xh,0(1)1niiip x,x 0 具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表1 给定的数据，模型为：min x5s.t. 0.025x1x5，0.015x2x5，0.055x3x5，0.0

21、26x4x5，0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4h，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi0（ i0，1，, ，5）利用 Mathematica 4.0 求解模型b，当 h 取不同的值（ 0.040.26） ，我们计算最小风险和最优决策可以利用下面的命令：Clearst,var; var = x0, x1, x2, x3, x4, x5; sth_ := 0.025*x1 - x5 = 0, 0.015*x2 - x5 = 0, 0.055*x3 - x5 = 0, 0.026*x4 - x5 = h, x0 + 1.0

22、1*x1 + 1.02*x2 + 1.045*x3 + 1.065*x4 = = 1; TableConstrainedMinx5, sth, var, h, 0.06, 0.26, 0.02 输出结果列表如下（其中第一行1610、1710可以近似看作是0） ：表 4 模型b 的结果净 收 益水平h 风险 Qx0 x1x2x3x40.04 0 1. 1.11022 16100 0 -2.77556 17100.06 0.000391733 0.934047 0.0156693 0.0261155 0.00712241 0.0150666 0.08 0.0011752 0.802142 0.04

23、70079 0.0783465 0.0213672 0.0451999 0.10 0.00195866 0.670236 0.0783465 0.130578 0.0356121 0.0753332 0.12 0.00274213 0.538331 0.109685 0.182809 0.0498569 0.105466 0.14 0.00352559 0.406426 0.141024 0.23504 0.0641017 0.1356 0.16 0.00430906 0.27452 0.172362 0.287271 0.0783465 0.165733 0.18 0.00509253 0.

24、142615 0.203701 0.339502 0.0925914 0.195866 0.20 0.00587599 0.0107092 0.23504 0.391733 0.106836 0.226 0.22 0.0102994 0 0.411976 0.572455 0 0 0.24 0.0164072 0 0.656287 0.330539 0 0 0.26 0.022515 0 0.900599 0.0886228 0 0 从表 4 中我们可以推出和模型a 类似的结果 . 3）模型c 的求解类似模型b 的求解，我们同样引进变量xn+1=0max()iiinq x， 将它改写为如下的线

25、性规划：min xn+1（ 1 ）0()niiiirp xs.t. qixi xn+1，i=0，1，2，, ，n0( 1)1niiip xx0 具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题表1 给定的数据，模型为：min x5（ 1 ） （0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4）s.t. 0.025x1x5，0.015x2x5，0.055x3x5，0.026x4x5，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi0（ i0，1，, ，5）利用 Mathematica 4.0 求解模型c，当 取不同的值（0.70.98） ，我们计算最

26、小风险名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 186 和最优决策可以利用下面的命令：Clearf, st, var; fa_ := a*x5 - (1 - a)*(0.05*x0 + 0.27*x1 + 0.19*x2 + 0.185*x3 + 0.185*x4); st = 0.025*x1 - x5 = 0, 0.015*x2 - x5 = 0, 0.055*x3 - x5 = 0, 0.026*x4 - x5 =

27、0, x0 + 1.01*x1 + 1.02*x2 + 1.045*x3 + 1.065*x4 = = 1; var = x0, x1, x2, x3, x4, x5; TableConstrainedMinfa, st, var, a, 0.7, 0.98, 0.04输出结果列表如下：表 5 模型c 的结果偏 好 系数 风险 Qx0 x1x2x3x40.70 0.0247525 0 0.990099 0 0 0 0.74 0.0247525 0 0.990099 0 0 0 0.78 0.00922509 0 0.369004 0.615006 0 0 0.82 0.00784929 0 0

28、.313972 0.523286 0.142714 0 0.86 0.0059396 0 0.237584 0.395973 0.107993 0.228446 0.90 0.0059396 0 0.237584 0.395973 0.107993 0.228446 0.94 0.0059396 0 0.237584 0.395973 0.107993 0.228446 0.98 0 1. 0 0 0 0 从表 5 的结果可以看出，随着偏好系数的增加， 也就是对风险的日益重视，投资方案的总体风险会大大降低，资金会从净收益率（ripi）较大的项目S1、S2、S4，转向无风险的项目银行存款. 这和

29、模型a 的结果是一致的，也符合人们日常的经验. 2. 生产计划中线性规划数学模型例 2 (1) 问题的提出：某工厂有甲，乙，丙，丁四个车间，生产A，B，C，D，E，F 六种产品，根据车床性能和以前的生产情况，得知生产单位产品所需车间的工作小时数，每个车间每月工作小时的上限，以及产品的价格如下表所示：产品 A 产品 B 产品 C 产品 D 产品 E 产品 F 每月工作小时上限甲0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03 850 乙0.02 0.05 700 丙0.02 0.05 100 丁0.03 0.08 900 单价0.40 0.28 0.32 0.72 0.64 0.60

30、各种产品每月应该生产多少，才能使这个工厂每月生产总值达到最大？(2) 数学建模以621,xxx分别表示产品A，B， C，D，E，F 的每月生产数量，于是他们应满足约束条件0.011x+0.012x+0.013x+0.034x+0.035x+0.036x850；0.021x+0.054x700；0.022x+0.055x100；0.033x+0.086x900 其中6,2, 1,0 jxj并使目标函数65432160.064. 072.032.028.040. 0 xxxxxxf达到最大 . 在这里xTxxxxxx654321,称为决策变量，f称为目标函数，决策变量应名师资料总结 - - -精品

31、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 187 该满足的不等式组称为约束条件，其中0 x称为非负约束 . (3) 求解写成矩阵的形式，并用 LinearProgramming 命令求解 . 在矩阵形式中， 需求目标函数的最小值，而且要用大于等于约束条件. 因此将目标函数与约束条件改写成：min 65432160.064. 072.032.028.040. 0 xxxxxxf90008.003.010005.002.070005.002.085003

32、.003.003.001.001.001.0.635241654321xxxxxxxxxxxxts其中6, 2, 1, 0 jxj输入c=- 0.4, - 0.28, - 0.32, - 0.72, - 0.64, - 0.6; A=- 0.01, - 0.01, - 0.01, - 0.03, - 0.03, - 0.03, - 0.02, 0, 0, - 0.05, 0, 0, 0, - 0.02, 0, 0, - 0.05, 0, 0, 0, - 0.03, 0, 0, - 0.08; b=- 850, - 700, - 100, - 900; x=LinearProgrammingc,

33、 A, b 输出为35000., 5000., 30000., 0, 0, 0这里只输出决策变量的取值，而没有目标函数的最优值. 而目标函数f 的最小值为xcf, 输入c.x 得到输出-25000 因此目标函数f 的最优值为25000. 四实验作业1. 利用投资的收益和风险问题中表2 的数据进行计算. 2. 如果用投资Si的全部费用 （包括投资与手续费）yi= xi+ci(xi)作为基本变量 . 当 M 较大时ci(xi)=pixi，从而yi=（1+pi）xi（i 0，1，, ， n） ，因此，净收益的表达式为0()( )1niiiiirp yRpy. 这样，模型a 就成为00max1s.t.

34、 max1,0,=1, 2, , niiiiiiiiniiirpypq ykpyMyin. 证明：将1iiirpp按由大至小次序排队，投资时尽可能将资金投向1iiirpp最大的投资项目即能获得最优解 . 3. 某化工厂拟生产两种产品A 和 B，它们都将造成环境污染，其公害损失可折算成费用. 有关数据如下表：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 188 产品公害损失万元 /t 生产设备费万元 /t 最大生产能力t/月A4

35、 2 5 B1 5 6 问工厂应如何安排每月生产计划，使每月供应市场总量不少于7t 的前提下，公害损失和设备投资均达到最小. （1）建立数学模型； （2）求解此问题 . （提示：用线性加权法， 取 =0.6）4. 有甲、乙、丙三块地，单位面积的产量（单位：kg）如下：面积水稻大豆玉米甲20 7 500 4 000 10 000 乙40 6 500 4 500 9 000 丙60 6 000 3 500 8 500 种植水稻、大豆和玉米的单位面积投资分别是200 元、 500 元和100 元. 现要求最低产量分别是25 万公斤、 8 万公斤和50 万公斤时， 如何制定种植计划才能使总产量最高，而

36、总投资最少？试建立数学模型. 5. 某工厂计划生产甲、 乙两种产品 . 需要在 A, B, C, D 四种设备上加工. 有关数据如下：A B C D 利润（万元）甲产品2 1 4 0 2 乙产品2 2 0 4 3 设备有效时数12 8 16 12 问如何安排生产计划, 使得到的利润最大？6. 某工厂计划生产A、B 两种产品 . 已知制造产品A 一百桶需要原料P, Q, R 分别为 5公斤、300 公斤、12 公斤，可得利润8000 元. 该厂现有原料P为 500 公斤 , Q 为 20000 公斤，R 为 900 公斤 , 问在现有条件下, 生产 A、B 各多少才能使该厂利润最大？7. 某工厂

37、的车工分别为A, B 两个等级 . 各级车工每天的加工能力、产品合格率及日工资如下表：级别加工能力产品合格率工资A 240 0.97 5.6 B 160 0.995 3.5 工厂每天加工配件2400 个, 每出一个废品 , 工厂损失2 元，现有 A 级车工 8 人, B 级车工 12人, 而且工厂至少安排6 名 B 级车工 . 试安排车工生产, 使工厂每天支出的费用最少？8. 运输问题：设有三个工厂A, B, C 同时需要某种原料，需要量分别是17 万吨 , 18 万吨,15 万吨. 现有两厂X, Y 分别有该原料23 万吨 , 27 万吨 . 每万吨运费如下表(单位 : 元 ): A B C X 50 60 70 Y 60 110 160 问应如何调运才能使总运费最少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -