2022年奥数中的巧数图形讲义及习题 .pdf

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1、数学竞赛中常遇到数图形问题。这类问题一般都要先寻求规律，而后按照这个规律去数图形。数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复。因此，一般步骤应是：仔细观察、发现规律、应用规津。运用规律常能使解法简便。例 1 下面两根线段中各有多少条线段？解 （1）由一条基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 、DE ，共 4 条；由两条基本线段构成的线段有：AC 、BD 、CE ，共 3 条；由三条基本线段构成的线段有：AD 、BE ，共 2 条；由四条基本线段构成的线段只有AE1条。因此共有线段：4+3+2+1 = （4+1）42 =10 （条）（2）可以采用（ 1）同样的解法：由一条基本线段组成的线

2、段有6 条，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 由两条基本线段组成的线段有5 条，由三条基本线段组成的线段有4 条，由四条基本线段组成的线段有3 条，由五条基本线段组成的线段有2 条，由六条基本线段组成的线段有1 条，共有线段：6+5+4+3+2+1 =（6+1）62 =21（条）答 （1）中有 10 条线段。（ 2）中有 21 条线段。这种先分类再排序的方法称为分类排序法。这样排序，不易遗漏和重复。由以上例子可以

3、推知，如果线段上有五个点，就构成了四条基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：4+3+2+1。如果有 n 个点，线段总数为（n-1 ）+（n-2 ）+3+2+1=n （ n-1）2（条）。找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。例 2 在AOB （图 62）内有 8 条从 O点引出的射线， 可组成各种大小不同的角一共有多少个？解 这问题类似于例1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 1092=45（个

4、）答 图中有 45 个角。解 3 数一数，图63一共有几个长方形？分析可以按照顺序去数长方形的个数，也可以通过分析研究，找出数长方形的规律。长方形是由长和宽组成的，图中共有 3 个长（横向线段）、3 个宽（竖向线段），解33 9（个）答 图中共有 9 个长方形。这一类型的问题在后面还要专门讨论。例 4 如图 64。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - （1）如上图这样的形状，如果最底层有11 个三角形， 那么这堆小三

5、角形共有多少个？（2）现在共有169 个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？分析根据图示可以得到规律，底层与总数有“24，39，416”的关系。而 224，33=9，44 16 ，就是：“底层的个数的平方正好等于总数”。所以可得：（1）下层有11 个小三角形，共有1111= 121（个）（2）因为 13 13 169 ，所以 169 个小三角形如上图排列，底层有13 个小三角形。练习1线段 AB上除两端外有49 个点，问这条线段上共有多少条线段？2下图中共有多少个三角形？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6、名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3把长 2 厘米、宽 1 厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。（1）如果叠 5 层，周长是（）厘米。（2）如果周长是120 厘米，共有（）层。知识要点：数图形时我们要按照一定的顺序、有条理、有计划、有方法的去解答题目，可由单个图形数起，再数两个图形合成的图形，依此规律一个一个往下数。例 1数一数图中共有几条线段？D A B C 这样想：数之前，先将每条线段写上字母，写好后，先数AB这条线段上有4 条小线段， 再数两条合并成的有3 条，再名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

7、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 数三条合并成的有2 条，最后数四条合并成的有1 条，4+3+2+1=10 条。同样 CD这条线段上也有10 条，和起来一共有 20 条。例 2数一数图中共有几个小长方体？这样想：从上面先数，第一排有2 个小长方体，再数第二排有 4 个小长方体，最后数第三排有6 个小长方体，所以2+4+6=12，有 12 个小长方体。例 3数一数图中共有几个三角形？这样想：数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形共10 个。再数两个图形合成

8、的三角形，按顺序两个两个合并，共8 个三角形。所以10+8=18，共 18 个三角形。例 4数一数图中共有几个三角形？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 这样想：先数单个三角形共4 个。再数两个三角形合成的三角形，按顺序两个两个合并，共2 个三角形。最后数由3个小三角形组成的大三角形，有1 个。所以 4+2+1=7，共 7个三角形。例 5数一数图中共有几个三角形？这样想：先数每个角上三角形共5 个，再数由两个不靠着

9、的角和中间五边形合成的三角形，按顺序数共3 个三角形，所以 5+3=8，共 8 个三角形。知识要点：同学们，在数图形时，一定要按顺序仔细数，如果给图形编个号，这样数起来就更方便，不会重复，也不会遗漏。例 1数一数图中共有几个三角形？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 这样想：数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形 1、4、3 号，共 3 个。再数两个图形合成的三角形，1+2 号， 2+3 号， 3+4 号

10、， 4+1 号，按顺序两个两个合并，共4 个三角形。 最后数由1+2+3+4号组成的大三角形，有 1 个。所以 3+4+1=8，共 8 个三角形。例 2数一数图中有西红柿的正方形有几个？这样想：先数单个正方形，有西红柿的正方形有1 个。再数四个正方形合成的大正方形，有西红柿的大正方形有4 个。最后数由9 个小正方形组成的大正方形，有1 个。所以1+4+1=6，有西红柿的正方形共6 个。例 3数一数图中共有几个正方形？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页

11、 - - - - - - - - - 这样想：先数单个正方形1、2、3、4、5、6 号，共 6 个。再数四个正方形合成的大正方形，1+2+4+5 号，2+3+5+6 号，按顺序四个四个合并，共2 个正方形。所以6+2=8，共 8 个正方形。例 4数一数图中共有几个正方形？这样想：先数小正方形，共4 个。再数稍大的正方形，共5个。最后数大正方形，有1 个。4+5+1=10，所以图中共有10个正方形。例 5数一数图中共有几个圆形？这样想：先数小圆，共5 个。再数大圆有1 个。图中共有6个圆。题目 1：数一数图中共有几个三角形？图 1 A.6 B.5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

12、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 题目 2：数一数图中共有几个三角形？图 1 A.9 B.8 题目 3：数一数图中共有几个三角形？图 1 A.10 B.12 题目 4：数一数图中共有几个正方形？图 1 A.8 B.7 题目 5：数一数图中有青蛙的正方形有几个？图 1 A.3 B.6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -