2022年导数的应用-函数的构造 .pdf

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1、导数与不等式构造函数导数的应用，最主要的是利用导数来判断函数的单调性。导数与不等式问题中的一种，是根据题目中所给出函数( )fx与其导函数)(xf的关系，构造新函数，并根据导数判断其单调性从而达到解决问题的目的。一、直接构造例题 1. 设函数(x) g(x)f，在3,7上均可导，且(x)g (x)f，则当37x时，有A. (x)g(x)f B. (x)+g(3)g(x)(3)ffC. (x)g(x)f D. (x)+g(7)g(x)(7)ff解析：因为(x)g (x)f，即0)()(xgxf，所以函数)()(xgxfy在（ 3，7）上单调递减，所以)3()3()()()7()7(gfxgxfg

2、f，所以(x)+g(3)g(x)(3)ff。答案： D 解惑练习1：定义域为R的函数( )f x满足(1)1f，且( )f x的导函数1( )2fx，则满足2( )1f xx的x的集合为（ ) A11xxB1x xC1,1x xx或 D1x x二、根据题意或选项中的提示构造函数1.当题意中出现)()(xfxf x时， “+”对应的原函数是)(xxfy， “-”对应的原函数是xxfy)(。例题 2.已知定义域为R 的奇函数)(xfy的导函数为)(xfy，当0 x时，0)()(xfxf x，若eefa)(，2ln)2(lnfb，3)3(fc，则a，b，c的大小关系正确的是（）A.B. C. D.

3、解析：设xxfxg)()(，2)()()(xxfxfxxg，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 因为当0 x时0)()(xfxfx，所以函数xxfxg)()(在),0(上单调递减，因为)(xfy是 R 上的奇函数，所以3)3(3)3(ffa。)(ega，)2(lngb，)3(gc，因为2ln3e，所以)2(ln)()3(gegg，即bac。答案： D 解惑练习 2：已知定义在R 上的奇函数)(xf的导函数为)(xf，

4、当0 x时，0)()(xxfxf，若)21(21fa，)2(2 fb，)21(ln21lnfc，则a、b、c的关系为（）A.cbaB.acbC.abcD.cab2. 当题意中出现)()(xfxf时， “+”需要构造函数)(xfeyx， “ -”需要构造函数xexfy)(.例 题 3.已 知 函数( )f x的 导 函 数 为( )fx， 若( )( )2,(0)5fxfxf， 则 不 等 式( )32xf xe的解集为A(0,)B(,0)C(,0)(1,)D(1,)解析：因为2)()(xfxf，所以构造函数xxexfexg2)()(，0)2)()()(xfxfexgx，所以)(xg在 R 上单

5、调递增，32)0()0(fg。因为( )32xf xe，所以32)(xxexfe，即)0(3)(gxg，所以0 x。答案： A 解惑练习 3. 已知定义在R上的函数fx满足fxfx，则关于m的不等式1 32120mfmfm e的解集是（）A. 1,3B. 10,3C. 1,3D. 1 1,2 3解惑练习4.设)(xf是定义在R 上的函数)(xf的导函数，且)()(xfxf，ef) 1(（e为自然对数的底数），则不等式xxf)(ln的解集为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

6、 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - A.),0(eB. ),0(eC)2,1(eeD),(ee四、复杂构造， 是对题意条件所给函数关系进行深入分析，研究其结构特征关系，构造出新函数，从而达到解决问题的目的。例题 4.设函数)(xf满足xexxfxfxx)(2)(2，8)2(2ef，则当0 x时，)(xf( ) A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值解析：因为xexxfxfxx)(2)(2，所以xexfxx )(2，所以)()(2xfxxF，则xexFx)(。332)(2)(2)(xxFexxfxexfxx，令)(2

7、xFeyx，则xxexeexFeyxxxx)2(2)(2，当0y，则2x，当0y，则20 x，所以)(2xFeyx在)2,0(上单调递减，在),2(上单调递增，因为2)(4)2(2exfF，所以0)2(2)(22FexFex，所以0)(xf在),0(上恒成立，即)(xf在),0(上无极大值也无极小值。答案： D 解惑练习 5.已知定义在),0(的可导函数)(xf，满足)() 1()(xfxxfx，下列结论正确的是（）A.)2(2)1(fefB)2(2) 1(fefC)2()1 (ffD)2() 1(ff名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

8、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 解惑练习解析解惑练习 1：解析：要解不等式2( )1f xx，只要解不等式02121)(xxf，令2121)()(xxfxg，则只要解不等式0)(xg。因为1( )2fx，所以021)()(xfxg，即)(xg在 R上单调递增。因为(1)1f，所以0)1(g，所以0)(xg，则1x。答案： B 解惑练习 2：设)()(xxfxg，)()()(xfxxfxg。因为0)()(xxfxf，所以0)()(xxfxfx，即0)(xxg，当0 x时，0)(xg，)(xg单调递增。因为

9、)(xf是奇函数，所以)(xg是偶函数，因为)21(ga，)2()2(ggb，)2(ln)21(lnggc，22ln21，所以acb。答案： B 解惑练习 3：解析：设)()(xfexgx，因为fxfx，所以0)()()(xfxfexgx，所以)(xg在 R 上单调递增。因为1 32120mfmfm e，所以memfmf31)2() 12(，所以)2()12(212mfemfemm，即)2()12(mgmg，所以mm212，31m。答案： A 解惑练习 4：解析：设xexfxg)()(，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

10、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 因为)()(xfxf，所以0)()()(xexfxfxg，所以)(xg在 R 上单调递增。因为ef)1(，所以1) 1(g。因为xxf)(ln，所以1)(lnxxf，即1)(lnln xexf，)1 ()(lngxg，所以1ln x，ex0。答案： A 解惑练习 5：设xexxfxg)()(，则xxxxexfxxf xeexxfexf xxfxg)()1()()()()()()(2，因为)()1()(xfxxf x，所以0)(xg，所以)(xg单调递减，所以)2()1 (gg，即2)2(2) 1(efef，)2(2)1(fef。答案： A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -