2022年对称矩阵的性质及应用 .pdf

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1、目录摘要. 错误！未定义书签。关键词. 错误！未定义书签。Abstract. 错误！未定义书签。Keywords . 错误！未定义书签。前言. 错误！未定义书签。1.对称矩阵的基本性质. 错误！未定义书签。1.1对称矩阵的定义. 错误！未定义书签。1.2对称矩阵的基本性质及简单证明错误！未定义书签。2.对称矩阵的对角化. 错误！未定义书签。2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明 . 错误！未定义书签。2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例. 错误！未定义书签。3.对称矩阵的正定性. 错误！未定义书签。3.1正定矩阵的定义 . 错误！未定义书签。3.2对称矩阵正定性的判别. 错误！未定义书签。4

2、.应用举例 . 错误！未定义书签。总结. 错误！未定义书签。参考文献 . 错误！未定义书签。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 1 对称矩阵的性质及应用摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质， 对称矩阵的对角化， 对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等. 关键词： 对称矩阵；对角化；正定性；应用The Properties and Appl

3、ications of Symmetry Matrix Abstract: The article mainly elaborates the definitions of symmetry matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, positive definitenessof symmetry matrices and application

4、s in quadratic form, linear transformations and Euclidean space problems etc. Keywords: symmetry matrix; diagonalization; positive definiteness; application 前言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程， 二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使矩

5、阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质， 是研究二次型， 线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点.本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用. 1.对称矩阵的基本性质在学习中我们发现， 对称矩阵中的特殊类型如： 对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念. 1.1 对称矩阵的定义名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - -

6、- - - - - 2 定义 1 设矩阵()ijs nAa，记()Tjin sAa为矩阵的转置 .若矩阵A满足条件TAA，则称A为对称矩阵 .由定义知：1.对称矩阵一定是方阵 . 2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ijjiaa ，对任意i、j都成立.对称矩阵一定形如111211222212nnnnnnaaaaaaaaa. 定义2 形式为12000000laaa的矩阵，其中ia 是数(1,2, )il，通常称为对角矩阵 . 定义3 若对称矩阵A的每一个元素都是实数，则称A为实对称矩阵 . 定义4 若矩阵A满足TAA，则称A为反对称矩阵 .由定义知：1.反对称矩阵一定是方阵 . 2.反

7、对称矩阵的元素满足ijjiaa ，当ij时，iiiiaa ，对角线上的元素都为零 .反对称矩阵一定形如12112212000nnnnaaaaaa. 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论. 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 证设A、B是 n阶对称矩阵，即TAA,TBB.则：TTTABABAB，TTTTTABABABAB，,TTkCkAkAkA. 性质2 设A为 n阶方阵，则TAA，TAA，TA A是对称矩阵 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

8、 - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 3 证因为TTTTTTAAAAAA，则TAA是对称矩阵 . 因为TTTTTTAAAAAA，则TAA是对称矩阵， 同理可证TA A也是对称矩阵 . 性质3 设A为 n阶对称矩阵（反对称矩阵）， 若A可逆，则1A是对称矩阵（反对陈矩阵） . 证（1）因为A可逆，TAA，111TTAAA，所以1A是对称矩阵 . （2）因为A可逆，TAA，1111()()()TTAAAA，则1A是对称矩阵 . 性质4 任一 n n矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 证设A为nn矩阵，1122TTAAAAA， 由性质 2易证12

9、TAA是对称矩阵，111222TTTTAAAAAA，则12TAA是反对称矩阵 . 性质5 设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则TXAX是对称矩阵 . 证因为TTTTTTTTTX AXX AXXA XXAX,所以TXAX是对称矩阵. 性质6 设A、B都是 n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换. 证必要性：若AB为对称矩阵，则TABAB，又TTTABB ABA，ABBA，因此，A、B可交换. 充分性：若ABBA，则TTTABB ABAAB，AB为对称矩阵 . 2.对称矩阵的对角化任意一个 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有 n个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎

10、样进行对角化， 对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案. 2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明定理1 实对称矩阵的特征值都是实数. 证设A是 n阶实对称阵，是的特征值，12,TnXx xx是属于的特名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 4 征向量，于是有AXX.令12nxxXx，其中ix 是ix 的共轭复数，则_AXX，考察等式_()()()TTTTTXAXXA XAXXAXX ，其左边为_TXX，右边

11、为_TXX.故_TXX=_TXX，又因X是非零量，_1 1220TnnXXx xx xx x故，即是一个实数 . 注意 ， 由 于实 对称 矩阵A的 特 征 值i为实 数 ， 所以 齐 次线 性方 程 组0iAE x为实系数方程组，由0iAE知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立 . 例如，124003001A，1,21，30均为实数，而A不是对称的 . 定理2 设A是实对称矩，定义线性变换,1122nnxxxxAxx.(1)，则对任意向量,nR ，有,或TT. 证只证明后一等式即可 .TTTTTA. 定理3 设A是实对称矩阵，则nR中属于A的不同特征值的特征

12、向量必正交. 证设12,是A的两个不同的特征值，12,XX 分别是属于12,的特征向量：111AXX ,222AXX .定义线性变换如定理2中的（1） ，于是111XX ，222XX .由1212,XXXX，有112212,XXXX.因为12， 所以12,0XX.即12,XX 正交. 定理 4 对任意一个n 级实对称矩阵A，都存在一个n 级正交矩阵P，使1TP APPAP成为对角形且对角线上的元素为A的特征值 . 证设A的互不相等的特征值为12,s()sn，它们的重数依次为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

13、整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 5 12,sr rr12srrrn .则对应特征值i(1,2, )is，恰有ir 个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得ir 个单位正交的特征向量，由12srrrn知，这样的特征向量共可得n个.由定理 3知对应于不同特征值的特征向量正交，故这 n 个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩阵P，则1TP APPAP，其对角矩阵中的对角元素含1r 个1，,sr 个s，恰是A的 n个特征值 . 2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例定理4说明，对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，

14、使它化为对角形.定理4的证明过程也给出了将实对称矩阵A对角化找出正交阵P的方法，具体步骤如下：1.求出实对称矩阵的A全部特征值12,s. 2.对每个i(1,2, )is，由0iEA X求出的特征向量 . 3.用施密特正交法，将特征向量正交化，单位化，得到一组正交的单位向量组. 4.以这组向量为列，作一个正交矩阵P，它就是所要求的正交阵. 根据上述讨论，下面举例说明. 例1 求一正交矩阵P，将实对称矩阵400031013A化为对角阵 . 解由于2400031(2)(4)013AE，A的特征值为12，234.对12，由20AE x得基础解系1011，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

15、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 6 对234，由40AE x得基础解系2100，3011，2与3恰好正交，所以1，2，3两两正交 . 再将1，2，3单位化，令1,2,3iiii，得101212，2100，301212，于是得正交阵123010,1201212012P，则1200040004PAP. 例2 设2112A，求nA.解（1）先将A对角化求出正交阵P. 21(1)(3)012AE，121,3. 由0AE x，30AE x分别得基础解系111，211.

16、则1211,11P，1111112P，则11003P AP. （2）利用1nnPA P求nA. 111101113131111031122 1313nnnnnnnAPP. 3.对称矩阵的正定性二次型的矩阵都是对称矩阵， 二次型和它的系数矩阵是相互唯一决定的，因此二次型正定与它的对称矩阵正定等价.以下将具体讨论对称矩阵正定性的含义以及判别正定性的条件和方法. 3.1正定矩阵的定义名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 7

17、 定义 1 实二次型12,Tnfx xxX AX 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,nc cc 都有12,0nfc cc. 定义2 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型TXAX正定. 由定义可知：1. 二次型2221212,nnfx xxxxx 是正定的，因为只有在120nccc时，22212nccc才为零 .一般地，不难验证，实二次型222121 122,nnnfx xxd xd xd x 是正定的当且仅当0,1,2,idin .非退化的线性替换保持正定性不变. 2. 任意 n阶实对称矩阵A正定就是指，对于任意n维非零列向量X，都有0TX AX. 3. 复正定矩阵的正定性与实对称

18、矩阵类似，只要放到复数域上考虑即可. 4. 正定矩阵是对称矩阵，具有对称矩阵的所有性质，此外，同阶正定矩阵的和仍是正定矩阵 .事实上，设A、B都是 n阶正定矩阵， 则对于任意非零列向量12,TnXx xx，有0TX AX，0TX BX，那么，0TTTXAB XX AXX BX，所以AB仍是正定矩阵 . 3.2对称矩阵正定性的判别定理 1 n元实二次型12,Tnfx xxX AX 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n . 证设 二 次 型12,nfx xx经 过 非 退 化 实 线 性 替 换 变 成 标 准 形2221122nnd yd yd y （1）.上面的讨论表明，12,nfx

19、xx正定当且仅当（ 1）是正定的，而我们知道，二次型（1）是正定的当且仅当0,1,2,idin，即正惯性指数为 n. 由定理 1可以得到下列推论：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 8 1. 实对角阵12nddd正定的充要条件是0,1,2,idin. 2. 实对称矩阵A正定的充要条件是12,Tnfx xxX AX 的秩与正惯性指数都等于 n.3. 实对称矩阵A正定的充要条件是A的特征值全为正 .事实上，由第二部分对

20、称矩阵对角化的讨论可知，A可对角化为12n，,1,2,iin是A的特征值，A正定即二次型12,Tnfx xxX AX 正定，而12,nfx xx的标准形为2221122nnxxx ，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有0,1,2,iin，A的特征值全为正 . 定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. 证由定理 1可知，正定二次型12,nfx xx的规范形为22212nyyy ，而规范型的矩阵是单位矩阵E， 所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵E合同. 由此得：1. 正定矩阵的行列式大于零 .由于正定矩阵A与单位矩阵E合同，所以有可逆矩阵C使TTAC ECC C，两边取行

21、列式，就有20TACCC. 2. 正定矩阵A的逆仍是正定矩阵 .首先正定矩阵A的逆仍是对称矩阵，又A与单位矩阵合同， 则存在可逆矩阵P使TAP EP，两边取逆111TAPE P，令1TQP，则1TAQ EQ，所以1A也与单位矩阵合同 . 有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，为此，引入：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 9 定义3 子式1112121222121,2,iiiiiiiaa

22、aaaaPinaaa称为矩阵ijn nAa的顺序主子式 . 定理3 实二次型12,Tnfx xxX AX 或矩阵A是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零 . 证必要性：设二次型1211,nnnijijijfx xxa x x 是正定的 .对于每个k，1kn，令1211,kkkkijijijfx xxa x x .我们来证kf 是一个k元的正定二次型 .对于任意一组不全为零的实数1,kcc ，有1111,0,00kkkkijijkijfcca ccfcc.因此12,knfx xx是正定的 .由上面的推论，kf 的矩阵的行列式11110kkkkaaaa，1,kn.这就证明了矩阵A的顺序主

23、子式全大于零 . 充分性：对作数学归纳法，当1n时，2111 1fxa x ，由条件110a显然有1fx是正定的 . 假设充分性的论断对于1n元二次型已经成立，现在来证n 元的情形 .令111,111,11,1nnnnaaAaa，11,nnnaa，于是矩阵A可以分块写成1TnnAAa.既然A的顺序主子式全大于零， 当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1n级矩阵G使11TnG AGE，这里1nE代表1n级单位矩阵 .令1001GC，于是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

24、名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 10 111000101TTTnTTnnnnAGEGGC ACaGa. 再令1201TnEGC，有11112112000101TTnnTTnnTTTTnnnnEEEGEGC C AC CaGGGGa. 令12CC C ，TTnnaGGa， 就有11TC ACa.两边取行列式，2CAa.由条件，0A，因此0a.显然111111111aaa. 这就是说，矩阵A与单位矩阵合同，因之，A是正定矩阵，或者说，二次型12,nfx xx是正定的 .根据归纳法原理，充分性得证. 应用定理 3完成下题 .

25、例3 若二次型2221231231223,2422fx xxxxxx xtx x 正定，则 t的取值范围是什么？解设f对应的矩阵为A，则2101104Att，它的三个顺序主子式为12，221111，2342At . 所以当2420t时，即22t时，f为正定二次型 . 4.应用举例例4 设,A B均为实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P使TP APB的充要条件是的,A B特征多项式的根全部相同 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - -

26、- - - - 11 证必要性：由条件可知,A B相似，相似矩阵有相同的特征多项式，得证. 充分性：设,A B的特征多项式的根全部相同，记它们为12,n，则存正交阵12,P P 使111TnP AP，122TnP BP， 那么1122TTP APP BP ，所以112112P PA PPB，取112PPP为正交阵，则有TP APB. 例5 欧式空间V中的线性变换:VV称为反对称变换，若,V.证明：反对称当且仅当在一组标准正交基的矩阵是反对称矩阵 . 证充分性：设()ijn nAa是线性变换在标准正交基12,n下的矩阵，且A反对称，即TAA，任给,V，记11,nnXY，则有11,nnAXAY，那

27、么,TTTTAXYXA YXAY，所以为反对称变换 .必要性：设是反对称变换，且1212,nnA，其中矩阵()ijn nAa，12,n为V的标准正交基，那么，11,niiniaa，11,njjnjaa.因此,ijjiijijaa，所以,ijijijjiaa.即知A为反对称矩阵 . 例6 设:A n阶正定阵，:B n阶实对称阵 .证明：AB的特征值为实数 . 证设AB， 其 中0，由 于A正 定 ， 则1A存 在 且 正定 ， 则11,TTBABA，那么11,TTTTBABA. 因此11TTAA，则10TA.又1A也正定，且0，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

28、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 12 10TA，则0，即为实数 . 总结本文从基础理论和实际应用方面讨论了对称矩阵的基本性质，给出对称矩阵可对角化的理论证明以及对角化的方法，并阐述了对称矩阵正定性的判别等.其中对称矩阵的对角化和正定阵的综合应用是重难点，对此我们要仔细琢磨和思考，努力掌握好对称矩阵的相关问题. 参考文献：1 北京大学数学系.高等代数 M. 北京 : 高等教育出版社,2003.2 戴立辉 .线性代数 M. 上海 : 同济大学出版社,2007. 3 张禾瑞 ,郝

29、鈵新 .高等代数 M. 北京: 高等教育出版社,2007. 4 居余马 ,林翠琴 .线性代数简明教程M. 北京: 清华大学出版社,2004. 5 丘维声 ,高等代数（上册）M. 北京 : 高等教育出版社,2002. 6 王萼芳 ,线性代数 M. 北京 : 清华大学出版社,2000. 7 蒋尔雄 ,对称矩阵计算 M. 上海 : 上海科学技术出版社,1984. 8 陈公宁 ,矩阵理论与应用M. 北京: 科学出版设 ,2007. 9 许以超 ,线性代数与矩阵论M. 北京 : 高等教育出版社,2008. 10 Johns on CR,RAHon Matrix AnalysisM. New York: Cambridge University Press,1985. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -