2022年年数学中考压轴题 .pdf

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1、. . 2018年数学中考压轴题1由于受甲型H1N1流感( 起初叫猪流感 ) 的影响 .4 月初某地猪肉价格大幅度下调. 下调后每斤猪肉价格是原价格的 . 原来用 60 元买到的猪肉下调后可多买2 斤(1) 求 4 月初猪肉价格下调后每斤多少元？(2)4月中旬 . 经专家研究证实. 猪流感不是由猪传染. 很快更名为甲型H1N1流感因此 . 猪肉价格4 月底开始回升 . 经过两个月后 .猪肉价格上调为每斤14.4 元求 5、6 月份猪肉价格的月平均增长率解析 (1) 【思路分析】设4 月初猪肉价格下调后每斤x 元. 由“下调后每斤猪肉价格是原价格的”可得原价格为每斤x 元根据“原来用60 元买到

2、的猪肉下调后可以多买2 斤”列方程解答解：设 4 月初猪肉价格下调后每斤x 元. 则原价格为每斤x 元 (1 分) 根据题意得：2.(3分) 解得： x10. 经检验 .x 10 是原方程的解(4 分) 答： 4 月初猪肉价格下调后每斤10 元 (5 分) (2) 【思路分析】由(1) 题可知 . 猪肉的原价格是10 元. 设月平均增长率为y. 则第一个月上调后的价格为 10(1 y). 第二个月上调后的价格为10(1y)2. 根据题意可列方程解：设 5、6 月份猪肉价格的月平均增长率为y. 根据题意得 .10(1 y)214.4.(6分) 解得： y10.2 20%.y2 2.2( 不合题意

3、舍去 ). 答： 5、6 月份猪肉价格的月平均增长率为20%.(8 分) 2如图 . 抛物线 yax2bx4(a 0)的图象过A(1.0).B(4.0)两点 . 与 y 轴交于点C.作直线 BC.动点 P 从点 C 出发 . 以每秒个单位长度的速度沿CB向点 B 运动 . 运动时间为t 秒. 当点 P 与点 B 重合时停止运动(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图 . 当 t 1 时. 求 ACP的面积；(3) 如图 . 过点 P向 x 轴作垂线分别交x 轴、抛物线于E、F两点求 PF的长度关于t 的函数解析式 . 并求出 PF的长度的最大值；连接 CF.将 PCF沿 CF折叠得到 PCF.

4、当 t 为何值时 . 四边形 PFP C 是菱形？解析 (1) 【思路分析】将A、B 两点的坐标代入抛物线解析式中. 即可得到关于a、b 的二元一次方程组.解方程组即可解：抛物线yax2bx4(a 0)的图象过 A(1.0).B(4.0)两点 . . 解得： . 抛物线的解析式为：y x23x4 或 y (x 1)(x 4) (3 分) (2) 【思路分析】要求ACP的面积 . 可用 ACB的面积减去 APB的面积本题关键是如何求解APB的面积过点P 作 PQ AB于点 Q.则 PQ是 APB的高在 APB中根据 PB的长度及 PBA的度数 . 利用三角函数求出PQ.该题即可得到解决名师资料总

5、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . 第 2 题解图解：当 t 1 时.CP. 抛物线y (x 1)(x 4) 的图象与 y 轴交于点 C. C(0.4) CO 4.(4分) COB 90 .COOB 4. CBO 45 . CB 4.BPCB CP 3.(5分) 过点 P作 PQ AB于点 Q.如解图 . PQ PB sinCBA 33.(6分) SACPSACBS ABPAB OC AB PQ 5453 .(8 分

6、) (3) 【思路分析】求出直线BC的解析式 . 根据 CBA的度数以及CP的长度与t 的关系式 . 可得到 OE的长度与t 的关系式 . 设出点 P、F 的坐标 . 由点 F 的纵坐标减去点P 的纵坐标即可得出PF 的长度关于t的函数表达式. 结合二次函数的性质即可求出最值；由翻转特性可知PC PC .PFPF . 若四边形PFP C 是菱形 . 则有 PC PF.由此得出关于t 的一元二次方程. 解方程确定t 值解：设直线BC的解析式为ykxm(k0). 直线 BC过 B(4.0).C(0.4)两点. . 解得： . 直线 BC解析式为 yx4.(9 分) CP t. CBA 45 . O

7、E t. 点 P在直线 BC上. 点 F在抛物线上 . 设 P(t. t 4).F(t.t23t 4).(0 t 4) PF t23t 4( t 4) t24t.(0t 4) 当 t 2 时.PF最大4.(10分) 第 2 题解图 PCF沿 CF折叠得到 PCF. 如解图 . PC PC .PFPF . 当四边形PFP C 是菱形时 . 只需 PC PF. t t24t. 解得： t10( 舍去 ).t24. 当 t4 时. 四边形 PFP C 是菱形 (12 分) 3商场为了促销某件商品. 设置了如图的一个转盘. 它被分成了3 个相同的扇形 . 各扇形分别标有数字 2、3、4. 指针的位置固

8、定. 该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取.每次转动后让其自由停止.记下指针所指的数字( 指针指向两个扇形的交线时. 当作右边的扇形). 先记的数字作为价格的十位数字. 后记的数字作为价格的个位数字(1) 请用列表或树状图的方法( 只选其中一种 ). 表示出两次所得数字可能出现的所有结果；(2) 求出顾客购买商品的价格不超过30 元的概率名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . 第 3 题图解析解： (1)

9、 列表如下：第一次结果第二次2 3 4 2 22 32 42 3 23 33 43 4 24 34 44 (4 分 ) 或画树状图如解图：第 3 题解图(4 分 ) 共有 9 种等可能的结果(2) 如(1) 的列表法或树状图法所示. 在一共9 种等可能的事件中. 其中两次指针指向的两个数字组成的价格不超过30 元的有 3 种情况顾客购买商品的价格不超过30 元的概率为： P .(7 分) 4如图 . 在平面直角坐标系中.O为顶点 . 平行四边形ABCD的边BC在x轴上 .D点在y轴上 .C点坐标为(2.0).BC6. BCD60. 点E是AB边上一点 .AE3EB. P过D、O、C三点 . 抛

10、物线yax2bxc过点D、B、C三点(1) 求抛物线的解析式；(2) 求证：ED是P的切线；(3) 若将ADE绕点D逆时针旋转90.E点的对应点E会落在抛物线yax2bxc上吗？请说明理由；(4) 若点M为此抛物线的顶点. 平面上是否存在点N. 使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在 . 请直接写出点N的坐标 . 若不存在 . 请说明理由第 4 题图解析(1) 【思路分析】根据题意先确定D、B、C三点的坐标 . 然后用待定系数法可得抛物线的解析式解：由题意得D、B、C三点的坐标分别是(0.2) 、( 4.0) 、(2.0).分别代入yax 2bxc 中得 . . 解得 . 所

11、以抛物线的解析式为y x 2x2.(2 分) (2) 【思路分析】延长DE交 x 轴于点 F.构造 BFE ADE.利用相似三角形的性质求得BF 的长；在RtDOF中. 利用锐角三角函数得到FDO的度数 . 进而求出 CDE 90.解：延长DE交 x 轴于点 F. 如解图所示 . AD BC. ADE BFE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . 第 4 题解图 . 即 . BF2. B(4.0).OB 4

12、. OF 6.(3分) D(0.2). OD 2. 在Rt DOF中.tanFDO . FDO 60.(4 分) BCD 60 . CDO 30 . CDE 90 . CD DE. ED是 P的切线 (5 分) (3) 【思路分析】根据旋转的性质求得E点的坐标 . 代入抛物线的解析式验证即可解：点 E不会落在抛物线y x 2x2 上理由如下：第 4 题解图将 ADE绕点 D逆时针旋转90.E 点的对应点是E.A 点的对应点是A. 如解图所示. 则 DA DA 6. AD BC.EDO 60 . ADE 30 . AE AE AD 3. A BCD 60. DEA 90.(6 分) 过点 E作

13、EG y 轴于点 G.则AEG 30 . AG . OG 6 2 2. 在RtAEG中. EG . E(. 2).(7分) 当 x时 .y () 2 2. 2. 所以点 E不会落在抛物线y x 2x2 上 (8 分) (4) 【思路分析】先求得M 点的坐标 . 然后分别以MB 、DM 、BD 为平行四边形的对角线. 通过平移的性质确定 N点的坐标解：存在点N.使得以点B、D、M 、N为顶点的四边形为平行四边形. 理由如下：y x2x2 (x 1)2. M(1.).且 B(4.0).D(0.2). 如解图所示：第 4 题解图当 BM为平行四边形BDNM 的对角线时 . 点 D 向左平移4 个单位

14、 . 再向下平移2 个单位得到点B.则点M(1.) 向左平移4个单位 .再向下平移2 个单位得到点N1( 5.); (9分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . 当DM为平行四边形BNDM的对角线时 . 点 B 向右平移3 个单位 . 再向上平移个单位得到点M.则点D(0.2) 向右平移3 个单位 . 再向上平移个单位得到点N2(3.) ；(10 分) 当BD为平行四边形BDMN的对角线时 . 点 M 向左

15、平移3 个单位 . 再向下平移个单位得到点B.则点D(0.2) 向左平移3 个单位 . 再向下平移个单位得到点N3( 3. ).(11分) 综上所述 . 点 N的坐标为 ( 5.) 、(3.) 、( 3. ) (12 分) 5如图 . 在ABC中.ABBC.D是AC的中点 .BE平分ABD交AC于点E. 点O是AB上一点 .O过B、E两点 . 交BD于点G. 交AB于点F. (1) 判断直线AC与O的位置关系 .并说明理由；(2) 当BD6.AB10 时. 求O的半径第 5 题图解析 (1) 【思路分析】连接OE.如解图 . 由 BE平分 ABD和 OE OB.可得 OE BD.由等腰三角形的

16、性质得BD AC.所以 OE AC.根据切线的判定定理可得AC与 O相切解：连接OE.如解图 .(1 分) 第 5 题解图BE平分 ABD. OBE DBE.(2 分) OE OB. OBE OEB. OEB DBE. OE BD.(3 分) AB BC.D 是 AC中点 . BD AC. OE AC. AC与 O相切； (4 分) (2) 【思路分析】设O半径为 r. 易证 AOE ABD.利用相似三角形对应边成比例. 建立关于r 的方程. 然后解方程求出r. 解：设 O半径为 r. 则 AO 10r.(5分) 由(1) 知.OEBD. AOE ABD. . 即 .(6 分) r . 即 O

17、半径为 .(8 分) 6如图 . 直线l：y3x3 与x轴交于点A. 与y轴交于点B. 把AOB沿y轴翻折 .使得点A落到点C.抛物线过点B、C和D(3.0)(1) 求直线BD和抛物线的解析式；(2) 若BD与抛物线的对称轴交于点M. 点N在坐标轴上 . 以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似 .求所有满足条件的点N的坐标；(3) 在抛物线上是否存在点P. 使SPBD6？若存在 . 求出点P的坐标；若不存在. 说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11

18、 页 - - - - - - - - - . . 第 6 题图解析 (1) 【思路分析】由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式解：直线l ：y3x3 与 x 轴交于点 A.与 y 轴交于点 B. A(1.0).B(0.3)；把 AOB沿 y 轴翻折 . 使点 A落到点 C. C(1.0) 设直线 BD的解析式为： ykxb. 点 B(0.3).D(3.0)在直线 BD上. . 解得 k 1.b 3；直线 BD的解析式为： y x3.(1 分) 由于点 D(3.0).点 C(1.0) 均在抛物线上 . 故可设抛物线的解析式为：ya(x 1)(x 3). 点 B(0.3) 也在抛物线上 . 3a

19、( 1)( 3). 解得： a1. 抛物线的解析式为：y(x 1)(x 3) x24x3.(3分) (2) 【思路分析】解题关键首先确定MCD 为等腰直角三角形. 因为 BND与 MCD 相似 . 所以 BND也是等腰直角三角形如解图所示. 符合条件的点N有 3 个解：抛物线的解析式为：yx24x3(x 2)21. 抛物线的对称轴为直线x2. 顶点坐标为 (2. 1)第 6 题解图直线 y x3 与抛物线的对称轴交于点M. M(2.1) 设对称轴与x 轴交点为点F. 则 CFFDMF 1. MCD 为等腰直角三角形以点 N、B、D为顶点的三角形与MCD 相似 . BND为等腰直角三角形如解图所

20、示：( )若 BD为斜边 . 则易知此时直角顶点为原点O. N1(0.0) ；(5 分) ( )若 BD为直角边 .B 为直角顶点 .则点 N在 x 轴负半轴上 . OB OD ON23. N2( 3.0) ；(6 分) ( )若 BD为直角边 .D 为直角顶点 .则点 N在 y 轴负半轴上 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . OB OD ON33. N3(0. 3) (7 分) 满足条件的点N坐标为：

21、 (0.0).(3.0) 或(0. 3)(8 分) (3) 【思路分析】解题关键是求出PBD 面积的表达式 . 然后根据SPBD6 的已知条件 . 列出方程求解即可第 6 题解图解：假设存在点P.使 SPBD6. 设点 P坐标为 (m.n) ( ) 当点 P位于直线 BD上方时 . 如解图所示：过点 P作 PE x 轴于点 E.连接 PD 、PB. 则 PE n.DEm 3. SPBDS梯形 PEOBSBODSPDE(3n)m 33(m3) n6. 化简得： m n7 . P(m.n) 在抛物线上 . nm24m 3. 代入式整理得：m23m 40. 解得： m14.m2 1. n13.n28

22、. P1(4.3).P2( 1.8) ；(10 分) 第 6 题解图( ) 当点 P位于直线 BD下方时 . 如解图所示：过点 P作 PE y 轴于点 E.连接 PD 、PB.则 PE m.OE n.BE3n. SPBDS梯形 PEODSBODSPBE(3m)( n) 33(3n)m 6. 化简得： m n1 . P(m.n) 在抛物线上 . nm24m 3. 代入式整理得：m23m 40. 70. 此方程无解故此时点P不存在 (11 分) 综上所述 . 在抛物线上存在点P.使 SPBD6. 且点 P的坐标为 (4.3) 或( 1.8) (12 分) 第 6 题解图一题多解：假设存在点P.使

23、SPBD6. 如解图所示.过点 P作直线 l 平行 BD.l 与 BD的距离为d. l 与 y 轴交点为B. BD 3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . SPBDBD d6. d2. BD与 y 轴夹角为 45. BB 4. 将 BD上移或下移4 个单位 . 上移 4 个单位 . l 解析式为： yx7. 联立 l 解析式与抛物线解析式得：x23x40. x14.x2 1. 此时点P坐标为 (4.3)

24、或( 1.8) ；下移 4 个单位 . l 解析式为yx1. 联立 l 解析式与抛物线解析式可得：x23x40. 0. 此方程无解 . 此时点 P不存在综上所述 . 点 P的坐标为 (4.3) 或( 1.8) 7如图 . 在ABC和ADE中.ABAC.AD AE.BAC DAE 90.(1) 求证： BD CE.BD CE ；(2) 将图中的 ADE绕点 A 顺时针旋转 角(090) . 如图 .(1)的结论还成立吗？请说明理由第 7 题图解析(1) 【思路分析】要证BD CE.可先证 BD、CE所在的两个三角形即ABD 、 ACE全等 . 根据题意可用SAS证全等；要证BD CE.可先延长

25、BD.交 CE于点 F.证 BFE(或 BFC)为 90即可；而要证BFE 90 . 可先证 ABD BEF 90. 由ABD ACE可得 ABD ACE.而 ACE BEF 90. 问题就得到解决了第 7 题解图解：延长BD交 CE于点 F.如解图 .(1分) 在 ABD和 ACE中. . ABD ACE(SAS). BD CE.ABD ACE.(3 分) 在RtAEC中.ACE BEF 90 . ABD BEF 90 . BFE 1809090 . BD CE.(4 分) (2) 【思路分析】结论仍然成立. 要证 BD CE.还是先证 ABD ACE ；要证三角形全等. 可先证 BAD E

26、AC.然后仍用SAS证全等；要证BD CE.可先延长BD交 CE于点 F. 证 BFC 90；而要证BFC 90只需证出CBF BCF 90即可名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . 第 7 题解图解： (1) 的结论仍成立延长BD交 CE于点 F. 如解图 .(5分) BAD CAD 90 . EAC CAD 90. BAD CAE.(6 分) 在 DAB和 EAC中. . DAB EAC(SAS). BD

27、CE.ABD ACE.(8 分) ABC ACB 90 . CBF BCF ABC ABD ACB ACE 90. BFC 180 CBF BCF 1809090 . EC BD.(9 分) 8 如图 . 已知抛物线与x 轴交于 A(1.0).B两点 . 与 y 轴交于点C(0.3).点 D为抛物线的顶点且对称轴为x1. (1) 求抛物线的解析式；(2) 直线 CD与 x 轴交于点 E.过线段 OB的中点 N作 NF x 轴. 交直线 CD于点 F.求 EF的长；(3) 在第 (2) 问的条件下 . 直线 NF上是否存在点M.使得以点M为圆心 .OM为半径的圆与直线CD相切？若存在 . 求出点

28、 M的坐标；若不存在. 请说明理由第 8 题图解析(1) 【思路分析】设抛物线解析式为yax2bxc(a 0). 把点 A(1.0). 点 C(0.3) 分别代入式中.再由对称轴公式x 1. 列出三元一次方程组求解解：设抛物线解析式为yax2bxc. 由题意可得：. 解得 .(2 分) 抛物线的解析式为yx22x3.(3分) (2) 【思路分析】要求EF 的长 . 可放到RtENF中. 用勾股定理求解. 这就需要知道EN 、FN 的长；而要求 EN 、 FN的长 . 需知道点 E、F 的坐标 . 这就需要先求出直线CD的解析式；设直线CD解析式为ykxb. 将 C、D两点代入 . 用待定系数法

29、求出直线CD的解析式解：点D为抛物线的顶点. D(1.4). 设 CD的解析式为ykxb. 把 C(0.3).D(1.4)代入 . 得. 解得 k1.b 3. 直线 CD解析式为 yx3.(4分) E(3.0). OE OC 3. AEC 45. 令抛物线y x22x3 中 y0. 解得 x1 1.x23. OB 3.(5分) 点 N是 OB的中点 . ON .NE.(6 分) FNx 轴. AEC EFN 45. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页

30、 - - - - - - - - - . . EN FN. EFEN.(7 分) (3) 【思路分析】假设存在符合条件的点M.设 M(.y). 过点 M作 MQ CD于点 Q.根据题意得MQ MO.再证出Rt FQM RtFNE.根据相似三角形对应边成比例列出关于y 的方程求解解：直线NF上存在点 M.过点 M作 MQ CD于点 Q.如解图 .(8分) 第 8 题解图 M与 CD相切 . MQ OM. 设 M(.y). MQ2OM2 y2.(9 分) MFQ NFE. FQM FNE 90. FQM FNE. . . 即 . 整理得： 4y236y630. 解得： y1.y2 .(11 分)

31、点 M的坐标为： M1(.) 、M2(. ) (12 分) 9如图 . 边长为 4 的正方形ABCD的边 AD y 轴. 点 P(0. 1) 是 CD的中点 . 以 P 为顶点的抛物线经过点 B.连接 BD. (1) 求抛物线和直线BD的解析式；(2) 如图 . 若点 M是抛物线上一动点( 点 M不与点 A、B 重合 ). 过点 M作 y 轴的平行线FM与直线AB交于点 F.与直线 BD交于点 E.当线段 ME 2EF时.求点 M的坐标；(3) 如图 . 平移抛物线 . 使平移后的抛物线顶点N 在直线 PB上. 抛物线与直线PB的另一个交点为Q.点 H 在 y 轴正半轴上 .当以 H 、N、Q

32、三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时. 求出所有符合条件的H 点的坐标第 9 题图解析(1) 【思路分析】由点P(0. 1) 是抛物线的顶点. 可设抛物线的解析式为yax21. 抛物线经过点B.故可求出a值. 进而得抛物线的解析式；设直线BD解析式为： ykxb. 用待定系数法即可求出直线解析式解：由正方形ABCD 边长为 4 及点 P(0. 1)可得 . B(2.3) 、D(2. 1). 设抛物线的解析式为yax21. 把 B(2.3) 代入得 . 34a1. 解得 a1, 抛物线的解析式为yx21；(2 分) 设直线 BD的解析式为ykxb. 把 B(2.3) 、D(2. 1)代入得 .

33、. 解得 k1.b 1.(3分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . 直线 BD的解析式为yx1.(4 分) (2) 【思路分析】设点M(x.x21). 进而表示出E.F 点坐标 . 再根据ME 2EF 列方程 . 便可求出M点坐标解：设点M(x.x21). 则 E(x.x 1).F(x.3). ME x1(x21) x2x2.EF3(x 1) 2x.(5分) 当 ME2EF时. 可列方程 x2x22(2

34、 x).(6分) 解得 x2 或 x1.(7分) 点 M不与点 A、B重合 . x1. M(1.0) (8 分) (3) 【思路分析】由平移性质可知：NQ PB.设 PB 与 y 轴的夹角为. 由正方形可得sin ；以点H、 N、 Q 为顶点的三角形如果是等腰直角三角形. 可分三种情况解答. 即 HQN 90、 HNQ 90或NHQ 90三种情况解：由平移性质可知.NQPB 2. 设 PB与 y 轴的夹角为. 由正方形可得sin . 当 HQN 90时 . 如解图 .HQNQ 2. 在RtPHQ中.sin . 解得 HP 10. H(0.9) (9 分) 第 9 题解图第 9题解图当 HNQ

35、90时 . 如解图 .HNNQ 2. 在RtPHN中.sin . 解得 HP 10. H(0.9) (10 分) 当 NHQ 90时 . 如解图 .NQ2. 过点 H 作 HG PB于点 G.由等腰三角形三线合一的性质及直角三角形性质可得.HGNQ . 在RtPHG中.sin . 解得 HP 5. H(0.4) (11 分) 综上 . 所有符合条件的H点的坐标为： (0.9) 和(0.4) (12 分) 第 9 题解图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -