2022年待定系数法在高考递推数列题中的应用 .pdf

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1、待定系数法在高考递推数列题中的应用弋阳二中超龙各种数列问题在很多情形下， 就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题是一类高考重点考查题型， 也往往是解决数列难题的瓶颈。高考题中越来越重视对递推数列的考查。 对一些常见的递推数列进行归纳和研究是必要的且大有益处的。 高考递推数列题型较多， 并且大都可以总结出求解数列通项公式的方法。 本文给出一种用待定系数法的方法解递推数列，希望能对大家有所帮助。模型 1：an1=panq（其中 p、q 均为常数，（pq（p1） 0） ）解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1=p(an)其中=pq1，再用换元

2、法令 bn=an ，则有 bn1=pbn，从而数列bn为等比数列，于是由 an=bn 可求出数列 an的通项公式。例 1：已知数列 an中，a1=1，an1=2an1。求 an。解：令 an1=2(an)即 an1=2an =1从而 an11=2 (an1)，令 bn= an1 则 b1=a11=2 且1111nnnnaabb=2故数列 bn是以 b1=2 为首项，以 2 为公比的等数列。则 bn=22n1=2nan=2n1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共

3、 4 页 - - - - - - - - - 练习 1、 （06 重庆文）在数列 an中，若 a1=1，an1=2an3(n1)，则该数列的通项an= 练习 2、一牧羊人赶着一群羊通过36 个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩 2 只羊，牧羊人原来有只羊。模型 2：an1= panrqn（其中 p、q、r 均为常数，（pqr(p1)(q1)0） ）解法一般来说，要先在原递推公式两边同除以qn1，得qrqaqpqannnn11，再令 bn=nnqa从而化为 bn1=qrbqpn，此即为模型 1，可用模型 1 待定系数法解之。例 2：已知数列 a

4、n中，a1=65，an1=31an(21)n1，求 an。解：在 an1=31an(21)n1两边乘以 2 n1，得2 n1an1=32(2nan)1 令 bn=2nan，则 bn1=32bn1又令 bn1 =32(bn )即 bn1=32bn3 =3 故 bn13=32(bn3) 数列 bn3是以 b13=21653=34为首项，以32为公比的等比数列。从而 bn3=34(32)n1 即 bn=32(32)n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - -

5、 - - - - - - - an=2nb=3(21)n2(31)n练习 3、已知数列 an满足 a n1=3a n23n1 且 a1=3。求an的通项公式。练习 4、已知数列 an满足 a0=1，an=3 n12an1（nN* ） ，求 an。模型 3：a n1=pananb（p1，0，a0）解法用待定系数法构造等比数列， 令 a n1x(n1)y=p(anxny)与已知递推式比较，解出x、y，从而转化为 anxny 是公比为 p 的等比数列。例 3：设数列 an满足， a1=4，an=3a n12 n1（n2） ，求 an。解：设 bn=anAnB，则 an=bnAnB，将 an，an1代

6、入递推式，得 bnAnB=3bn1A(n1)B2n1 =3bn1(3A2)n(3B3A1) 1113323BAABBAA bn=ann1(1) 则 bn=3bn1，又 b1=6 bn=63n1=23n代入（ 1）得： an=23nn1 练习 5、已知数列 an满足 a1=21，2an1=ann，求 an。模型 4：a n1=prna（p0，an0）解法这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1=panq，再名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - -

7、 - - - - - - 利用待定系数法求解。例 4：已知数列 an中，a1=1，an1=a1an2(a0)，求数列 an的通项公式。解：由 an1=a1an2两边取对数得 lgan1=2lganlga1令 bn=lgan，则 bn1=2bnlga1再利用待定系数法解得：an=a(a1)2n1练习 6、 （05 年江西理）已知数列 an的各项都是正数，且满足a0=1，an1=21an(4an)，nN，求数列 an的通项公式 an。由以上各例可知，待定系数法在高考递推数列中有着很重要的应用，它源于课本，但高于课本，我们只有熟悉了这些常见模型，才能快速准确地做出解答。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -