2022年差分方程的解法 .pdf

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1、第三节差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差分方程的解方程)(.110nbxaxaxankknkn（ 8）其中kaaa,.,10为常数，称方程（ 8）为常系数线性方程。又称方程0.110nkknknxaxaxa（9）为方程（ 8）对应的齐次方程。如果（9）有形如nnx的解，带入方程中可得：0.1110kkkkaaaa（10）称方程（ 10）为方程（ 8）、（9）的特征方程。显然，如果能求出（ 10）的根，则可以得到（ 9）的解。基本结果如下：（1）若（10）有 k 个不同的实根，则（ 9）有通解：nkknnncccx.2211，（2）若（10）有 m 重根，则通解中有构成项：nmmncnc

2、c).(121（3）若（ 10）有一对单复根i，令：ie，arctan,22，则（9）的通解中有构成项：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - ncncnnsincos21（4） 若有m 重复根：i，ie，则（ 9）的通项中有成项：nncnccnncnccnmmmmnmmsin).(cos).(1221121综上所述，由于方程（ 10）恰有 k 个根，从而构成方程（9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：nx如

3、果能得到方程（ 8）的一个特解：*nx，则（ 8）必有通解：nxnx+*nx（11）（1）的特解可通过待定系数法来确定。例如：如果)(),()(npnpbnbmmn为 n 的多项式，则当 b 不是特征根时，可设成形如)(nqbmn形式的特解，其中)(nqm为 m 次多项式；如果b 是 r 重根时，可设特解：rnnb)(nqm，将其代入（ 8）中确定出系数即可。2、差分方程的 z 变换解法对差分方程两边关于nx取 Z 变换，利用nx的 Z 变换 F（z）来表示出knx的 Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把 F(z)在 z=0 的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的nx例 1设

4、差分方程1,0,0231012xxxxxnnn，求nx解：解法 1：特征方程为0232，有根：2, 121名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 故：nnnccx)2() 1(21为方程的解。由条件1,010 xx得：nnnx)2()1(解法 2：设 F（z）=Z(nx),方程两边取变换可得：0)(2)(3)1.)(0102zFxzFzzxxzFz由条件1,010 xx得23)(2zzzzF由 F（z） 在2z中解析，有

5、000)21() 1(2)1(1) 1(211111)2111()(kkkkkkkkkkzzzzzzzzzF所以，nnnx)2()1(3、二阶线性差分方程组设)(nz)(nyxn，)(dcbaA，形成向量方程组)()1(nAznz（12）则)1()1(zAnzn（13）（13）即为（ 12）的解。为了具体求出解（ 13），需要求出nA，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - （1

6、）如果 A 为正规矩阵，则 A 必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A 的特征值，相似变换矩阵由A 的特征向量构成：) 1()()1(,111zppnzppAppAnnn。（2）将 A 分解成,/,A为列向量，则有AAnnn.)(.).(1/. /从而，) 1(.)()1 ()1(1/AzzAnznn（3）或者将 A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论A 的特征值的性态，找出nA的内在构造规律，进而分析解)(nz的变化规律，获得它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的特征根kii.2 ,1,满足1i

7、（2）一阶非线性差分方程)(1nnxfx（14）（14）的平衡点x由方程)(xfx决定，将)(nxf在点x处展开为泰勒形式：)()()(/xfxxxfxfnn（15）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 故有：1)(/xf时，（ 14）的解x是稳定的，1)(/xf时，方程（ 14）的平衡点x是不稳定的。谢谢大家下载 ,本文档下载后可根据实际情况进行编辑修改.再次谢谢大家下载.翱翔在知识的海洋吧.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -